有趣的图形分割

王素琴

分割图形是几何学中一个非常有趣味的课题，研究图形的分割问题不仅可以增强对几何图形的直观感受和判断能力，丰富对图形的想象力，提高数学思维能力，而且还有一定的实用价值.

一、将正方形分割成若干个小正方形

1926年前苏联数学家鲁金对“完美正方形”的存在提出了猜想.所谓“完美正方形”，是指它可以分割成一些边数各不相等且边长为整数的正方形.分割成小正方形的个数称为它的阶.

1936年这个问题引起了英国剑桥大学三一学院的四个学生塔特、斯通、布鲁克斯、史密斯的兴趣.他们当时考虑了这样一个问题：把一个矩形分割成边长各不相等的正方形.值的说明的是，当时人们已经知道长为33、宽为32的矩形可以作正方形分割，如图1.斯通从一开始就怀疑“完美正方形”的存在，然而无法证实自己的想法;而其余三人则致力于寻找一个实际存在的“完美正方形”，但是几经失败后也开始倾向于斯通的看法.

就在一筹莫展之际，柏林的施柏拉格居然找到了一个真实存在的“完美正方形”.这无疑是对塔特、斯通等人的一记闷棍，然而他们并没有气馁，很快改变了自己的研究方向.在理论的指导下，在1938年终于找到了一个由39个不同整数边的正方形组成的大正方形，被称为“39阶完美正方形”，如图2.这一成果大大增强了他们继续研究的信心，通过研究，发现了宽为176、长为177的矩形可分为边长不等的1 1个长方形（如图3）.光阴流逝，一晃过去了几十年，当年的大学生都成了蜚声数坛的组合数学专家和图论专家，他们的研究成果被成功地运用到电子、化学、建筑学、运筹学、通讯学和计算机等多个领域，成为造福人类的有力工具.

1964年，塔特的学生威尔逊博士找到了一个25阶的完美正方形，后来这个图形保持了12年的最佳记录，直到威尔科克斯所创造的24阶完美正方形（如图4）.

1978年荷兰数学家特温特技术大学的杜依维斯廷，用大型电子计算机找出了一个21阶的完美正方形（如图5）.1962年荷兰数学家丢伐斯丁证明了小于或等于19阶的完美正方形不存在;1978年他又证明了20阶的完美正方形不存在，因而可以断定：21阶完美正方形是最小阶“完美正方形”，这个结论也同时被前苏联数学家鲁奎所证明.

那么如何将矩形分割为边数各不相等且边长为整数的正方形呢？办法是先作一个草图，然后用尽可能少的未知数标出每个正方形的边长，再写出这些边长应满足的关系式，最后再求解这个方程组.

1992年，布卡姆和杜伊维斯廷给出了21-28阶全部207个完美正方形：

截至2018年，已经知道的21-35阶完美正方形的个数为：1，8，12，30，172，541，1372，3949，10209，26234， 71892， 196357， 528866 ，1420439. 3784262.

二、将正方形分割成若干个直角三角形

将一个正方形分割成若干个边长不相等的直角三角形，且使正方形的边长尽可能小，分割后的直角三角形数目也尽可能地少.这一问题最早由日本的铃木昭雄提出.至今虽然取得一些进展，但似乎看不见最终的结论.

1966年，有人将一个边长为39780的大正方形分割若干个三角形;在以后的15年内，人们找到了20种将边长在1000以下的正方形分割为三角形的方式.1968年，有人将边长为1248的正方形分割为5个直角三角形，如图8.1976年，有人将边长为48的正方形分割为7个直角三角形，如图9.以上分别是分割的直角三角形数最少和大正方形边长最小的，迄今为止的最好纪录.

三、將正方形分割成若干个锐角三角形

将一个正方形分割成若干个锐角三角形，要求分割的锐角三角形的个数尽可能少（虽不要求边长为整数）也是让人感兴趣的问题.

如图10、图11、图12、图13分别是将正方形分割成11个、10个、9个、8个锐角三角形的图形，将正方形分割成8个锐角三角形是一种巧妙的方法，要想再减少锐角三角形的个数是不可能的.有趣的是，人们证明了如下事实：用边长分别为1、2、3……的正方形去覆盖平面，至少可以铺满整个平面的四分之三;还有人已经证明：要用边长大小不等的小正方体去填满一个大正方体是不可能的，亦即完美正方体是不存在的.

四、分割其他图形

如果把三角形、平行四边形分割成大小完全不同的正三角形，人们发现这种分割方式是不存在的.如果降低某些要求，比如允许某些正三角形边长相等，则可以找到这种分割方式.可将一个平行四边形分割成13个小正三角形（据称这是最小阶数的分割），如图14;可将一个正三角形分割成15个小正三角形，如图15.如果把正三角形记为“+”，把倒三角形记为“一”，在某种意义下，这种分割方式是完美的，那么图14、图15都可视为是完美分割图形.

至此，数学家们的研究并没有停止，他们还将完美分割图形的问题推广到莫比乌斯带、圆柱面、环面和克莱因瓶上，也取得了许多有趣的成果，