基于快速动态时间弯曲和最小覆盖球的多日负荷曲线聚类方法

刘晓峰，康 进，马 翔，沃建栋，吕磊炎，吴 浩

（1. 浙江大学电气工程学院，浙江杭州 310027；2. 国网浙江省电力有限公司金华供电公司，浙江金华 321016）

0 引言

“十四五”以来，以新能源为主体的新型电力系统得到大力发展，电力负荷作为终端，是新型电力系统建设的重点，也是源网荷储的重要环节之一。为构建清洁、低碳、安全、高效的能源体系，新能源分布式发电、柔性负荷、电动汽车等的比重大幅上升［1］。该类负荷受天气、调控、用户意愿的影响较大，使得总负荷在多日间的波动较明显，给负荷曲线聚类研究带来了难度。此外，随着用电信息采集装置的部署与数据采集技术的发展，电力系统负荷数据资源得到了快速积累［2］，给多日间负荷波动的研究带来了可能性。因此，有必要且有条件进行多日负荷曲线聚类研究，探索负荷在多日间的波动特性，进而提升负荷调控能力以及深化电力体制改革［3-4］。

负荷曲线聚类是电力系统负荷特性分析的重要手段之一［5］。负荷曲线聚类研究通常包括负荷特征提取及降维、负荷间的相似度定义、聚类算法这3 个方面。近年来，众多研究者针对上述3 个方面，从算法效率、聚类准确率等多个角度对传统负荷曲线聚类研究进行了改进及深化。

在负荷特征提取及降维方面，现有研究主要从2 个角度开展。一部分研究针对特定的聚类方法，选取合适的负荷特征向量：文献［6］通过离散小波变换提取负荷曲线的频域特征，并与模糊K-modes 聚类方法结合得到聚类结果；文献［7］提出一种谱聚类特征向量的优化选取方法，提高了谱聚类算法的效率。另一部分研究采用传统降维方法对负荷曲线进行降维：文献［8］利用奇异值分解对日负荷曲线进行降维，从而提取特征；文献［9］比较自组织映射、主成分分析等降维技术在电力系统负荷曲线聚类中的应用效果。

在负荷间的相似度定义方面，现有研究主要从3 个角度开展，分别为采用欧氏距离等点对点的距离作为相似度定义［10］，采用动态时间弯曲等考虑负荷曲线时间滞后特性的相似度定义［11］，以及利用前2种方式综合衡量负荷曲线间的相似度。

在聚类算法方面，常见算法有层次聚类算法、划分聚类算法、密度聚类算法、模型聚类算法、谱聚类算法等［5］。由于谱聚类算法能够划分任意形状的数据集，且对稀疏矩阵的处理效果优于其他算法，因此本文采用该算法。

从聚类对象上而言，上述研究大多集中于单日负荷曲线。实际上多日间的负荷曲线可能差异较大，导致算法在不同日间应用的稳定性较差，因此有必要开展多日负荷曲线的降维与聚类研究。目前多日负荷曲线聚类方法主要是统计多日同一时刻的负荷分布情况以表征负荷的多日波动情况［12-13］。由于负荷曲线属于时间序列，不同日的相同用电行为未必发生在同一时刻，因此应考虑日负荷曲线的时间滞后特性。

针对现有研究的不足，本文提出一种基于快速动态时间弯曲FDTW（Fast Dynamic Time Warping）与最小覆盖球的多日负荷曲线聚类方法。首先，基于FDTW 与多维尺度缩放MDS（Multi-Dimensional Scaling）提取负荷曲线的时间滞后特性，并将负荷曲线降至3 维；然后，为每个负荷迭代寻找最小覆盖球，并基于最小覆盖球定义负荷间的相似度计算公式；最后，将相似度矩阵应用于基于k-最近邻法的谱聚类算法。算例结果表明，本文所提方法在准确度和鲁棒性上较传统方法有一定优势。

1 基于FDTW和最小覆盖球的多日负荷曲线聚类

1.1 多日负荷曲线的特点

为了说明多日负荷曲线的特点，图1 给出了某地区一台10 kV 专变2 周（2019 年8 月1 日至2019 年8月14日，其中8月1日为周四）内的日负荷曲线图。由图1（a）所示的归一化功率曲线可见：普通日负荷曲线、曲线3 和曲线4 均为双峰曲线，其形状大致相似，且这些曲线数量占85%以上，因此可以确定该专变下主要为双峰型负荷；曲线1和曲线2分别具有晚高峰和错峰曲线的特点，与双峰曲线相似度极低，经调查，曲线1 和曲线2 分别出现在8 月9 日（周五）和8月10日（周六），因此，异常曲线不完全是由节假日、非工作日产生的。由图1（b）所示的实际功率曲线可见，曲线1 和曲线2 的实际功率较高，可排除数据采集、日内负荷波动（此处负荷波动表示日内负荷曲线的起伏，以日内负荷波动命名，以与多日间的负荷波动相区别）等异常的影响，因此，推测此类曲线的出现可能是该专变下用户加班、调休等原因所导致的。显然，如果采用单日负荷曲线聚类的方法提取到曲线1或曲线2所对应的负荷，则该负荷的聚类结果就会错误，因此，有必要考虑多日负荷曲线间的波动特性，研究多日负荷曲线的聚类方法。

图1 某10 kV专变2周内的日负荷曲线Fig.1 Daily load curves of a 10 kV specialized transformer within two weeks

曲线3 和曲线4 分别出现在8 月3 日（周六）和8月6 日（周二），二者均为双峰曲线，但是曲线4 相对于曲线3 有约2 h 的时间滞后，因此，在多日负荷曲线的聚类过程中需考虑负荷曲线的时间滞后特性。

目前，从电网获取有功功率数据的采样间隔为15 min，相应地，日负荷曲线的数据共有96 点，即数据维度为96 维。考虑到多日负荷曲线的时间通常为2 周及以上，直接对负荷曲线进行聚类时数据维度超过1000维，可能导致聚类的准确度和鲁棒性较低，因此，有必要在多日负荷曲线聚类的过程中对其进行降维。

1.2 算法思路

针对上述多日负荷曲线的特点，本文提出一种基于FDTW 和最小覆盖球的多日负荷曲线聚类方法。该方法主要包含负荷曲线降维、基于最小覆盖球的相似度定义、谱聚类这3个步骤。

1）负荷曲线降维。将多日负荷曲线按日分割，考虑负荷曲线的时间滞后特性，采用FDTW 形成日负荷曲线距离矩阵，并采用MDS 算法将该距离矩阵降至3维。

2）基于最小覆盖球的相似度定义。在3 维空间中为每个负荷迭代寻找最小覆盖球，并以3 种方式度量球间的相似度，以反映多日间的负荷波动大小，并减少负荷异常日的影响。

3）谱聚类。采用k-最近邻法根据球间相似度矩阵构造相似度图，并将其应用于谱聚类算法，得到多日负荷曲线的聚类结果。

所提方法的流程图如附录A图A1所示。

2 基于FDTW和MDS的负荷曲线降维

2.1 降维思路

设多日负荷曲线的样本数为n（即为10 kV 专变和公变数），持续时间为m日，每日采样点为96 点，将负荷数据构成的矩阵记为X∈Rn×96m。首先，对数据矩阵X进行曲线平滑及max-min 归一化处理；其次，考虑负荷曲线的时间滞后特性，将n个负荷按日分割，得到重构的负荷数据矩阵Y∈Rnm×96，并将矩阵Y中有数据采集异常的日负荷曲线剔除，得到Y1∈Rs×96(s≤nm)；然后，利用FDTW 计算日负荷曲线之间的距离，得到日负荷曲线距离矩阵D∈Rs×s；最后，利用MDS对矩阵D进行降维，得到3维负荷数据矩阵Z∈Rs×3。

2.2 FDTW

动态时间弯曲DTW（Dynamic Time Warping）在计算2 个时间序列的距离时自动扭曲时间序列（即点与点间的匹配在时间轴上进行局部的提前或滞后，但不打乱时间序列内部各点的先后次序），使得2个序列的形态尽可能一致，得到最短距离［11］。

给定长度分别为x、y的时间序列，首先，计算2个序列各点之间的距离，形成距离矩阵d∈Rx×y，然后，设定起始条件L（1，1）=d（1，1），递推规则如式（1）所示，构造路径矩阵L∈Rx×y，最终得到的L（x，y）即为2个序列的DTW距离。

在利用DTW 计算负荷曲线间的距离时算法复杂度较高，且可能会造成时间尺度过度扭曲，因此，本文采用FDTW［14］限制时间扭曲尺度，即算法搜索范围，使时间复杂度由O(t2)降为O(τt)，其中t=max(x，y)，τ为限制算法搜索的范围。

由于图1（a）中曲线3 和曲线4 间的时间滞后约为2 h，因此，本文取τ=2 h，即8 个点。FDTW 提取负荷曲线时间滞后特性后形成距离矩阵D∈Rs×s，其第i行第j列的元素D( )i，j为第i条和第j条日负荷曲线间的FDTW距离。

2.3 MDS

MDS是一种能在降维过程中保持数据样本间距离或者相似性的方法［15］。本文将MDS应用于FDTW所得的距离矩阵D∈Rs×s，将其降至3维矩阵Z∈Rs×3，使得任意2 条日负荷曲线在3 维空间中的欧氏距离尽可能等于矩阵D所反映的距离，即：

式中：zi和zj分别为第i条和第j条日负荷曲线在3 维空间中的表示。在s个已知条件下求取3 维未知坐标，由于s≫3，因此式（2）有解，本文采用梯度下降法对该式进行求解。

3 基于最小覆盖球的相似度定义

3.1 最小覆盖球的生成

本文的最小覆盖球是指包含3 维空间中给定点的最小球［16］，其生成的具体流程如下。

1）以离均值点最近的3 个点构造初始最小覆盖球。

2）计算球外各点与球心的欧氏距离，对球外负荷点按照相应欧氏距离从小到大的顺序重新排序。

3）计算将球外距球心欧氏距离最小的3 个点包围进来后的最小覆盖球。

4）重复步骤2）、3），直至60%的点被包含进球内。

5）重复步骤2），并计算将球外距球心欧氏距离最小的1个点包围进来后的最小覆盖球。

6）计算球内负荷点数量和成本指标Icost，Icost为球体积增大的比例与球内点数量增加的比例的比值，反映了在最小覆盖球中添加某点所需要付出的成本，其表达式为：

式中：r-、n-和r+、n+分别为添加某点前、后的最小覆盖球半径和球内负荷点数。

7）当Icost＞2 时，认定该点为异常负荷点，输出包围该点前的最小覆盖球，迭代结束，否则，重复步骤5）、6）。

8）得到最小覆盖球矩阵B∈Rn×4，其中前3 列为球心坐标，第4列为球半径。

最小覆盖球实质上体现了剔除负荷异常日后各负荷点的最优包络，其球心及半径反映了该负荷的日负荷曲线特征及波动特性。

3.2 相似度定义

2 个最小覆盖球之间存在相离、相交、相含3 种情形，因此，须对3 种情形分别定义相似度计算方式。为此，先明确3种情形下的相似度定义要求。

1）两球相离应表示2个负荷的相似度为0。

2）两球相交时的相似度应与两球相交的方向无关，而仅与相交部分的体积占比有关。

3）两球相含时的相似度不仅与被含的体积相关，还与两球半径之差和球心间距离相关。具体地：当两球半径之差一定时，球心间距离越小则相似度越高；当球心间距离一定时，两球半径之差越小则相似度越高。

根据上述3 个要求，对给定半径分别为r1和r2、体积分别为V1和V2的2个球，可定义相似度如下：

式中：Vol为两球相交部分的体积，其计算公式如式（5）所示；rmin=min(r1，r2)；d12为球心间距离。

式中：h1、h2的含义如图2所示。

图2 两球相交示意图Fig.2 Schematic diagram for intersection of two balls

显然，该相似度定义满足上述3 个要求。当两球相离时相似度最小，此时εsi=0；当两球重合时，r1=r2且d12=0，此时εsi达到最大值1；由于式（6）、（7）恒成立，因此，εsi处于［0，1］之间，其值越大，则2 个负荷越相似。

式中：rmax=max(r1，r2)。式（6）反映了大小球相交的体积小于等于小球的体积，小于等于大小球体积的几何平均值；式（7）反映了大小球半径之和小于等于2 倍的大球半径，小球半径小于等于大小球半径的几何平均值。

下面论证该相似度定义满足两球相离、相交、相含时的边界条件。两球外切为两球相离、相交的边界条件，此时Vol=0，式（4）中相离和相交下的计算结果相同，因此边界条件成立；两球内切为两球相交、相含的边界条件，此时Vol=4πr3min/3，r1+r2-d12=2rmin，式（4）中相交和相含下的计算结果相同，因此边界条件成立；rmin=0 且d12=0 为两球相离、相含的边界条件，此时式（4）中相交和相含下的计算结果均为0，边界条件成立。综上，该相似度的定义具有一致性。考虑到本文的谱聚类算法将距离矩阵作为输入，距离越小，则2个负荷越相似，因此定义ds=1/εsi，将相似度转化为距离，以此得到对称距离矩阵Ds∈Rn×n。

4 谱聚类及聚类评价指标

4.1 基于k-最近邻法的谱聚类

谱聚类算法是一种基于谱图理论的聚类算法，它将数据点映射为无向图，将点与点之间的相似性表示为带权重的边，从而将聚类问题转化为图划分问题［10］。谱聚类的关键是相似度图的构造，本文采用k-最近邻法来构造相似度图。k-最近邻法构造相似度图的思路为：对于包含n个点的数据集，令其中每个点xi对应相似度图上的一个节点vi，若vj属于vi的前k个最近邻节点集，则称vj是vi的k近邻，并连接vi和vj，其权重为距离矩阵Ds的第i行第j列元素。由于k近邻关系不对称（vj是vi的k近邻，而vi未必是vj的k近邻），因此，通过上述方法构造的图是有向的。通常有2 种方法将k-最近邻法构造的相似度有向图转化为无向图：只有2 点互为对方的k近邻，才将2点连接；只要2 点间有k近邻关系，就将2 点连接。本文采用第2种方法构造无向图。

基于上述k-最近邻法构造的相似度无向图，谱聚类的流程［7］如下。

1）由相似度图构建邻接矩阵W，其第i行第j列元素wij为节点vi、vj间的权重，若两节点间不连接，则权重为0。

2）由邻接矩阵W构建度矩阵Dd，其第i行第i列元素为和节点vi相连的所有边的权重之和，即：

3）计算拉普拉斯矩阵Ld=Dd-W，进而构建标准化后的拉普拉斯矩阵D-1/2dLdD-1/2d。

4）将D-1/2dLdD-1/2d最小的k个特征值对应的特征向量f标准化，形成n×k维的特征矩阵F。

5）对特征矩阵F进行k-means聚类。

4.2 聚类评价指标

聚类评价指标是用来评价聚类质量的指标，常用的聚类评价指标包括轮廓系数、CH 指标CHI（CalinskiHarabasz Index）和DB 指标DBI（Davies-Bouldin Index）［17］。

1）轮廓系数。

轮廓系数结合了聚类的凝聚度和分离度，用于评估聚类的效果，其值处于［-1，1］之间，其值越大表示聚类效果越好。样本i的轮廓值s(i)定义为：

2）CHI。

CHI 定义为分离度与紧密度的比值，其值越大表示类自身越紧密，类与类之间越分散，即更优的聚类结果。CHI的计算公式为：

式中：ICHI为CHI；SB为类中各点与类中心的距离平方和；SW为各类中心点与数据集中心点的距离平方和；kc为指定的聚类数。

3）DBI。

DBI 综合考虑了类内紧密性和类间分散性，其值越小表示聚类效果越好。DBI的计算公式为：

式中：IDBI为DBI；Si为类i中样本点到其所属类中心的距离平方和；Mij为类i与类j的类中心间距离。

5 算例分析

5.1 算例构造

算例选用某地区2019 年8 月1 日至2019 年8 月14 日共2 周的10 kV 专变和公变共8 230 条负荷曲线。为验证所提方法的合理性与优越性，本文基于轮廓系数、CHI、DBI 这3 个指标，将本文方法与5 种对比方法的聚类结果进行比较。5 种对比方法分别为：基于欧氏距离的单日法（简称单日法），取一天的负荷数据，以欧氏距离衡量相似度并进行聚类［13］；基于欧氏距离的连续日法（简称连续日法），取多日负荷以欧氏距离衡量相似度并进行聚类；基于FDTW的连续日法（简称FDTW 法），取多日负荷以FDTW距离衡量相似度并进行聚类；基于欧氏距离的均值方差法（简称均值方差法），提取负荷曲线均值和方差以形成新的2 维数组，并采用欧氏距离衡量相似度以及进行聚类；基于欧氏距离的最小覆盖球法（简称覆盖球法），在第2 节降维步骤中以欧氏距离代替FDTW 计算日负荷曲线的距离矩阵，并将其代入最小覆盖球算法。

5.2 成本指标阈值的确定

图1 中曲线1 和曲线2 与其他曲线间的差异极大，因此，本文所提方法利用式（3）所示的Icost指标，在最小覆盖球的生成过程中剔除此类异常日负荷曲线。若Icost阈值过小，则可能导致部分正常日负荷曲线被剔除；而若Icost阈值过大，则可能导致部分异常日负荷曲线无法被剔除。因此，本文需要确定Icost阈值。

为确定最优的Icost阈值，本文取采样比例为nch（采样比例为所选数据集中数据总数占总数据集中数据总数的比例，本文采用随机采样，此处取nch=20%，40%，…，100%）的算例数据，在不同Icost阈值下，分别计算所提方法聚类结果的轮廓系数指标以评价聚类效果。轮廓系数越大，聚类效果越好，对应的Icost阈值也越合理。不同情况下Icost的取值如下。

1）理想情况下，假设多日负荷曲线足够多，且这些曲线均可在某一条日负荷曲线上叠加随机高斯扰动得到，此时不存在异常日负荷曲线，则3 维空间中的各点将呈球状均匀分布，球体积增大的比例与球内点数量增加的比例一致，因此，Icost恒等于1。

2）实际情况下，多日负荷曲线中存在异常日负荷曲线，球内异常点变得稀疏，此时球体积增大的比例超过球内点数量增加的比例，Icost大于1。

综上，Icost阈值大于等于1才有剔除异常日负荷曲线的意义，因此，本节将Icost阈值分别取为1.0、1.5、…、3.0，并设置不剔除异常日负荷曲线的结果进行对比。表1 为不同Icost和nch取值下重复采用本文方法聚类10 次得到的轮廓系数平均值。可以看出，不剔除异常日负荷曲线时轮廓系数指标最差，当Icost阈值为2.0时轮廓系数指标较优，因此，设置Icost阈值可有效提高聚类质量，本文取Icost阈值为2.0。

表1 不同Icost和nch取值下的轮廓系数平均值Table 1 Average value of silhouette coefficient under different values of Icost and nch

图3 为在Icost阈值为2.0 下图1 所示负荷曲线对应的最小覆盖球。由图可见，除曲线1 和曲线2 外，其余曲线均在最小覆盖球内或球面上。该球的球心坐标为（-1.775 9，-0.062 5，0.127 9），半径为0.982 6。曲线1、曲线2对应的点坐标分别为（1.4086，1.4757，1.523 4）、（1.376 5，-3.748 4，-2.896 0），其与球心的欧氏距离分别为3.801 9 和5.715 5，相离较远，因此2条曲线被剔除。可见，Icost阈值为2.0 时可有效剔除异常日负荷曲线。

图3 图1所示负荷曲线对应的最小覆盖球Fig.3 Minimum covering ball corresponding to load curves shown in Fig.1

5.3 负荷曲线-最小覆盖球-相似度间的一致性

为了说明2 周负荷曲线、最小覆盖球、相似度间的一致性关系，选取附录A 图A2 所示的2 周负荷曲线中的4 条曲线进行分析。由图可看出：曲线1—3为典型的双峰型负荷曲线，它们之间的相似度较高，且曲线1 和曲线3 的相似度最高；曲线4 为晚高峰型负荷曲线，与曲线1—3 的相似度均较低。因此，这4 条负荷曲线涵盖了极不相似、较相似、十分相似这3种情况。

附录A 图A3 为附录A 图A2 中4 条负荷曲线对应的最小覆盖球。由图可以看出：曲线1—3对应的最小覆盖球之间均相交，且曲线1和曲线3对应的最小覆盖球相交程度最高；曲线4 对应的最小覆盖球与曲线1—3对应的最小覆盖球之间均相离。

附录A 表A1 为附录A 图A2 中4 条负荷曲线间的相似度εsi，其中曲线自身之间的相似度显然为1。由表可以看出：曲线1—3间的εsi均大于0，且曲线1和曲线3 间的εsi最高，为0.842；曲线4 与曲线1—3间的εsi均为0。

综上可知：2 周负荷曲线间相似度高的，其对应的最小覆盖球间的相交程度较高，对应的相似度εsi也较高；2 周负荷曲线间相似度低的，其对应的最小覆盖球间的相交程度较低（甚至可能相离），对应的相似度εsi也较低。因此，本文方法中2周负荷曲线、最小覆盖球、相似度具有一致性，验证了本文方法的合理性。

5.4 算例结果的比较分析

为确定最佳聚类数，本文采用轮廓系数、DBI、CHI作为评价指标，将3个指标最优时对应的聚类数作为各方法的最佳聚类数。经过比较，各方法的最佳聚类数均为4。表2为不同方法的聚类性能比较。由表可见：均值方差法、覆盖球法及本文方法在3 个指标上均有明显优势，这说明无论是单日负荷曲线还是多日负荷曲线聚类，直接聚类的效果均较差，而均值方差法、覆盖球法及本文方法这类通过提取负荷特征进行聚类的方法效果较好；本文方法比其他方法在轮廓系数和DBI 上均有所改善，在CHI 上仅小于覆盖球法，但是差距较小。这说明本文方法的聚类效果有较明显的优势。此外，由表中各方法的计算时间可见，本文方法耗时较长，具有一定劣势，本文方法的时间损耗主要由FDTW 和最小覆盖球算法产生，由于本文研究是基于MATLAB 平台展开的，而MATLAB 对于FDTW 和最小覆盖球算法的优化十分有限，且无法使用多核运算，因而大幅影响了效率。虽然本文方法的计算时间约为1 h，但是聚类结果的应用可以大幅缩短后续负荷预测、负荷建模的耗时，因此仍具有一定的实用性。

表2 6种方法的聚类性能比较Table 2 Comparison of clustering performance among six methods

图4 为均值方差法、覆盖球法及本文方法的负荷曲线聚类中心。

图4（a）为均值方差法的负荷曲线聚类中心。其中，类1 曲线为典型居民负荷曲线，类2 曲线为典型商业负荷曲线，类3 曲线为典型工业负荷曲线，类4曲线为非典型负荷曲线。由图可见，类4 曲线近似为类1和类3曲线的平均曲线，曲线特点不明确。

图4（b）为覆盖球法的负荷曲线聚类中心，4 类曲线含义与图4（a）中相同。由于各负荷曲线在聚类前均经过max-min 归一化处理，因此，曲线数值分布在［0，1］之间，而类4 曲线的数值在各时刻均保持在0.5附近，这说明该类负荷曲线在各时刻的数值波动均较大，负荷曲线较杂乱，聚类结果不合理。

图4 3种方法的负荷曲线聚类中心Fig.4 Clustering centers of load curves for three methods

表3 为均值方差法、覆盖球法及本文方法下各类负荷曲线数量占比。由表可见，均值方差法和覆盖球法的类4曲线数量占比分别为19.5%和26.3%，数量较多，可排除采样异常的影响。因此，可判断这2 类曲线的出现均是聚类算法的缺陷所导致的，其实际意义不明确。

表3 3种方法下各类负荷曲线数量占比Table 3 Percentage of each type of load curve under three methods

图4（c）为本文方法的负荷曲线聚类中心。其中，类1 曲线为典型的居民负荷曲线，类2 曲线为典型的商业负荷曲线，类3 和类4 曲线为数值不同、数量大致相同的典型工业负荷曲线。由图可见，本文方法聚类结果中各类曲线的定位和特点明确，具有更好的实用性。

5.5 算例鲁棒性分析

为检验本文方法的鲁棒性，在上述算例的基础上叠加比例为±r（r=5%，10%，…，25%）的均匀分布扰动，以模拟在实际用户负荷曲线采样过程中因随机因素造成的日内负荷波动。

为说明不同程度的扰动对聚类结果的影响，本文设置Im指标描述不同干扰下各方法的聚类结果与无干扰下聚类结果的一致程度，其值越高则表示该方法的鲁棒性越高。Im的计算公式为：

式中：nm为某方法在不同干扰下与在无干扰下聚类结果一致的样本数量；nall为该方法的样本总数。

图5 为不同程度扰动下6 种方法的Im指标。由图可知：随着负荷曲线扰动程度的增加，各方法的Im指标均呈下降趋势；随着扰动程度的增加，单日法、连续日法、FDTW 法的Im指标下降较明显，这说明这3 种方法的鲁棒性明显不足；均值方差法、覆盖球法及本文方法由于考虑了多日负荷曲线并对其进行降维，因此，在各干扰下均有较高的Im指标，且本文方法的Im指标最高，这说明本文方法具有较高的鲁棒性。

图5 不同干扰下的Im指标Fig.5 Index of Im under different interferences

6 结论

本文针对目前负荷曲线聚类准确度和鲁棒性的不足，提出一种基于FDTW 和最小覆盖球的多日负荷曲线聚类方法。利用FDTW 和MDS 将负荷曲线降至3维，并在3维空间中对每个负荷寻找最小覆盖球。在此基础上，定义最小覆盖球间的相似度，进而得到相似度矩阵。最后利用谱聚类算法得到聚类结果。所提方法具有以下特点：能同时考虑日负荷曲线内的时间滞后特性和多日负荷曲线间的波动特性；在最小覆盖球的迭代过程中自动剔除异常负荷。算例结果表明，该方法可有效提高聚类准确度及鲁棒性，具有较好的实用价值。

附录见本刊网络版（http：//www.epae.cn）。