新教材背景下题根教学法在高中数学教学中的实践研究

单尧

【摘要】伴随着我国高中数学新教材的颁布，题根教学法在高中数学课堂上被应用就显得尤为重要.笔者基于自己多年的教学实践，总结出这种教学法所富有的教学意义与价值，接着又从三个方面讲解了该教学方法的有效实施路径，希望能够最大限度地发挥出该教学方法的作用，使学生能够从中得到更多有价值的数学收获.

【关键词】高中数学;题根教学法;教学

高中数学是中学的一门非常重要的基础性课程，同时也是一门比较容易丢失分数的学科.这是因为这门学科本身具有一定的学习难度，再加上对学生也做出了较高的思维要求.这也就容易出现这样一种情况：当学生解决不出某一道数学难题，学生就会对这门学科的学习产生出一定的消极情绪.而数学知识之间是具有一定的联系性和连贯性的，高中数学教师可以基于这一特点，对学生进行合理的“题根”模式教学，帮助学生正确找到学习数学课程的技巧，从而有效促进学生的数学成绩得到明显提升.

一、题根教学法的概述

“词根”这个词最初是在英语教学中产生的，其含义比较固定，掌握了词根，就能迅速记住英语词汇.而高中数学习题的题干则是由几个已知的条件和最后的结论构成的，这些已知的条件，也就是数学问题的“题根”.很多数学练习看似不同，其实都使用了同类的解题方式.我们把课本上的例题、习题，或一系列的变形、扩展、提炼，最后可以被广泛地运用于解题的结论，统称为“题根”.若是能抓住这些数学习题的题根展开教学，学生就能找到该类型数学习题的大致解决思路，这些数学习题也就可以迎刃而解.而题根可以是一个已知条件，也可以是一个数学公式，或者是一个数学定义等等，它是一类具有典型性和代表性的问题.作为一名高中数学教师，在实施题根教学法的过程中，必须带领学生正确找到题根，学生才能真正领会到该教学方法的真谛，通过这种方式，学生们才能真正体会到高中数学学习的快乐.

二、题根教学法在高中数学教学中的教学价值

（一）题根教学法有利于帮助学生巩固数学基础

很多高中数学教师在选择数学习题的时候，往往习惯于选择一些自己所熟悉的或者难度较高的数学习题，但是这些习题有时候并不是学生所需要的.这样的数学习题选择，不但让这些数学习题失去了本身原有的教学价值，而且会浪费学生学习高中数学这门课程的时间和精力，学生的数学学习效果不理想.而题根教学法的实施，则可以帮助教师在数量广大的数学习题中找到既促进教学目标完成又满足学生数学学习需求的数学习题.教师通过务实基础选择数学习题，这样不仅可以帮助学生巩固数学基础，而且可以让学生形成系统的数学解题思路.

比如，在学习“棱锥”的时候：首先，教师可以为学生选择一道求三棱锥体积的习题，并且令学生独立思考解决该习题的思路.其次，教师不要急于说出正确的解题方法，而是让学生举手分享自己的内心想法.有的学生可能会举手说：“我认为可以用定义法来解决.”有的学生可能还会举手补充：“我认为还可以用分割法来解决.”最后，教师可以向学生讲解所有的解题思路，并且将学生所做出的回答进行总结，让学生了解到解决这道习题的秘诀在于找到三棱锥中的垂直关系，这是锥体体积习题的题根，同时也是解决锥体体积习题的重要思路.通过这样的数学教学，学生也就可以正确认识到锥体体积习题的题根，让学生的数学基础得到更好的巩固.

（二）题根教学法有利于帮助学生形成灵活思维

变式训练，是高中数学这门课程中的重要教学模式之一，但变式训练并不是简单地将某一个数学习题的数据进行修改.一个好的数学变式训练应该是对某一类数学习题的再次巩固和升华，更是对学生数学思维的一种开拓.而“题根”教学方法能使高中数学教师更好地进行“变式”的练习.教师可以将某个数学习题的题根作为引导学生展开数学探究的起点，随之而来的将会是更多的数学习题，使学生可以从中得出更加深奥的数学知识.学生要想学好高中数学这门课程，本身就必须形成更加灵活的思维，才能更加轻松地拿下这门课程.

比如，依旧以“棱锥”为例子.首先，教师可以将上面求三棱锥体积的习题进行改变，让学生求取该三棱锥体积的最大值，并且令学生思考该习题有几种解决方法.其次，教师可以在学生思考的过程中进行提点：“想一想，这道习题与我们之前所讲解的是否有相似之处？它的题根是什么呢？”这时候，有的学生可能就会从中受到启发：“我认为首先应该列出求三棱锥体积的公式，找到其中的变量，这样才可以求出该三棱锥体积的最大值.”最后，教师就可以向学生公布所有可能让三棱锥体积最大的情况，并且再次为学生留出独立思考的时间，让学生可以自主确定该变式习题的正确答案.通过这样的数学教学，学生的数学思维也将会得到更好的培养.

（三）题根教学法有利于帮助学生克服数学难题

高中数学这门课程的讲解肯定需要用到数量众多的数学难题，但是，直接将这些数学难题摆放在学生的眼前，学生往往很难做到一下子完全接受，甚至还会因此而产生出一定的消极情绪.而题根教学法，则可以帮助学生克服掉这些数学难题.教师可以找出某一题根，将其作为数学难题的一个跳板，为学生做好铺垫.当学生有了之前的数学铺垫之后，学生也就可以自然而然地过渡到数学难题的解题思路中.这样不仅可以让学生产生出克服数学难题的成就感和自豪感，而且可以有效提升学生在数学课堂上的参与度，学生的数学学习成绩也就会直线上升.

比如，依旧以“棱锥”为例子.首先，教师可以选择一道历年求取三棱锥体积的数学真题，由于有了之前的铺垫，相信学生对该类型的数學习题已经有了一定的基础.其次，教师可以让学生之间互相讨论这道求三棱锥体积数学真题的解决方案，增进学生之间的数学交流.最后，教师可以带领学生经过严密的推理以及精确的计算而得出这道习题的正确答案.通过这样的数学教学，学生也就会建立起克服数学难题的自信心.

三、高中数学教学中“题根”教学法的实践途径

（一）正确寻找题根，发掘本质

高中数学教师要想让题根教学法能够发挥出真正的教学价值，第一步要做的就是带领学生正确寻找数学习题的题根，引导学生发掘出数学习题的本质.当学生能够充分掌握到某类型数学习题的题根之后，他们也就可以将这些数学习题轻松解决掉.

比如，在学习“解三角形”的时候，我们有两大武器可以选择——正弦定理、余弦定理.首先，老师可以根据正弦和余弦定理，为学生提供一种数学练习：“在一个三角形中，tan B的值为3[]4，边长b的值为2，假如sin A的值为1[]2，求它的另外两个边长”，并且让学生独立解决这道习题.其次，老师引导学生们分享和交流个人的思考方式与解题思路.有的学生可能就会开始举手分享：“我选择运用正弦定理来解决.”而其他学生可能就会继续：“这道题还可以用余弦定理来解决.”这时候，学生之间可能会出现分歧，教师就可以让学生将这两种解决方法进行对比，找出更加简便的方法.最后，教师可以带领学生进行总结，在今后遇到两角一边的情况时，选择正弦定理进行解决更好.

（二）展开多种变式，加强锻炼

当学生已经学会如何正确寻找数学习题的题根之后，为了帮助学生更好地巩固，高中数学教师应该灵活地展开多种数学变式教学，加强对学生的思维锻炼.当学生可以轻松地解决数量较多的数学习题的时候，学生的数学解题能力也就会得到相应的提高.

比如，依旧以“正弦定理和余弦定理”为例.首先，教师可以将以上习题进行变化：在一个三角形中，tan B的值为3[]4，边长b的值为2，解此三角形面积的最大值.其次，学生在之前的基础上展开探究，并且得到结论：当三角形另外两个边长相等时，这个三角形的面积就会得到最大值.最后，教师再次将该习题进行变式：“同学们，你们再想一想，若是将该三角形的面积进行改变的话，那么这个三角形还会有怎样的变化呢？”学生也就会再一次展开积极的数学探究.教师通过这样不断地为学生展开变式训练，引导学生逐步展开深入探究，让学生们在学习的同时，也能使数学思维更加灵活机动.学生在今后遇到类似的数学习题时，也就会尝试着采用多种角度思考和解决，这对学生的数学思维发展将有着意想不到的积极作用.

（三）引导总结题根，深化认知

总结，是学生学习数学课程过程中不可或缺的重要部分.单单只靠寻找题根和变式教学，学生的数学学习将会是不完整的，甚至还会产生出边学边忘的尴尬情景.因此，高中数学教师要引导学生总结题根，深化学生对数学题根的认知，以此促使学生可以正确认识到数学典型习题为他们的数学学习带来的巨大价值.

比如，依旧以“正弦定理和余弦定理”为例.首先，教师可以让学生回顾刚刚的解题过程，并且进行一定的反思，让学生找出刚刚的不足之处.其次，教师可以让学生将之前所做过的习题摆放在一起进行对比，让学生发现这些习题之间的递进性.最后，教师可以让学生总结解决这些习题所用到的题根，以此来帮助学生加深印象，使学生在今后遇到正弦定理或者余弦定理习题的时候，可以有更加明确的解题思路.所以，教师通过带领学生对题根进行总结，让学生充分感受到数学课程的奥妙之处，并且提高了学生对数学解题方法的认识以及运用能力.

（四）有效设计范例——题根，提高学生解决问题的能力

有很多数学问题，表面上看起来很不一样，但实际上所用到的方法却是类似的.在日常数学教学中，我们若能捕捉到这些典型的数学问题，并将其作为范例形式加强训练，那么在面对成千上万的数学题时，学生将不再感到不知所措，而是能够迅速地发现问题的本质，找到关键的题根，从而掌握问题的精髓，进而激发学生学习数学的兴趣和动力.那么题根该从哪里探寻呢？

1.公式题根

比如，已知tan a=2，

求：3sin a+2cos a[]

sin a-cos a.

解：3sin a+2cos a[]

sin a-cos a=3tan a+2[]tan a-1=3×2+2[]2-1=8.

由于已知分子、分母是齐次式，所以可直接除以cos a，转换为仅包含tan a的式子，即进行求解，得到8.

在上述范例中，我们不断地抓住来自公式的题根，从而掌握问题的本意.在无数的数学公式中，每一个公式都可以作为解题的一个新的增长点，产生新的问题和知识.在此过程中，我们不能忽略公式的变式，可以看出，公式和公式的变形形式是题根的一个重要因素和来源.

2.方法题根

当解答一些数学问题时，通常会有一定的解法和步骤，如果能熟练地掌握和运用这些解法和步骤，当学生遇到这一类的问题时，就可以很好地解决问题了.

比如，（1）计算y = x3-x +3在（1，3）处的切线方程.在某点处的切线方程中，其关键字是“在”，表示此点为切点，因此该直线是唯一的.过某点处的切线方程中，其关键字是“过”，说明这个点未必就是切点，所以这条线并非唯一的.在实际教学中，可将此解法分成如下步骤：（1）设切点;（2）写切线方程;（3）代入所过点;（4）求解方程，得到切点坐标;（5）从切点求得切线方程，最终得到2x-y+1=0，或 x+4 y-13=0.

这两个问题是高中阶段数学切线问题中的一个重要考题，其重点是对特征词的判断和对切点的判断，是一种很明显的方法类题根.在日常教学中，通过帮助学生正确认识关键字，并能正确理解具体的操作步骤，可以减少学习上的错误.

上面的例子统称为“范例题根”.通过对老师所提供的范例的观察，学生可以对传统的解题方式进行研究，从而使问题的解法更易于由学生进行归纳和提炼.与传统的学习方式相比较，范例学习与题根教学密切相关，其优点在于：（1）范例学习中，采用标准范例，提出了恰当的解题方式，让学生更注重知识结构的构建，避免出现问题的错误解决方式，不但节省了时间，而且可以缓解学生在学习中的壓力，帮助他们提高学习效果.（2）大部分学生会选择对老师所给出的范例进行分析，而非依靠自己的复杂无章的计算来解决问题，所以，范例学习可以让学生更轻松地获得知识.教师在教学中要为学生提供大量的学习、研究和模仿的范例，以及研究怎样设计范例“题根”.（3）范例学习能够最大限度地调动学生的学习积极性，改变他们的被动接受习惯，所以，范例学习能够加速学生的数学迁移，帮助他们高效率地解决数学问题.

（五）善于发掘表面上简单的数学问题，深入思考寻找“根”

从简单到复杂是解决问题的一条有效途径.在实际的解题教学中，不少老师都对这种重要的教学方式未给予重视，甚至存在着不以为然的态度.有些学生对于觉得很简单的问题就会马上入手解答.有些老师在教学中，对于简单的问题往往点到为止、一带而过，觉得“题目太简单，没什么好讲解的”.但是，复杂的本质来源于简单，不管是学习数学知识，或者培养学生的数学逻辑思考和探索的能力，都是从简单开始的.对一些看似简单的数学题目，教师要善于激活学生的思维之门，将学生的主观能动性调动起来，使其经过必要的“变化”来发现问题的普遍形式，从而在深层思考中寻“根”.

例如：在一节关于数列的练习中，教师会给学生提供下列练习：

已知数列{an}的首项a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N），求数列∑10[]k=11[]ak.

如果是平时，许多教师都只是简单地解答这道题，而那些有着丰富教学经验的教师，在看到问题后，首先会深思：“这道题很容易，但如何才能将‘简单’教得更有效？”对此，在教学中融入“以学定教”与“以教导学”教学理念，即教师不能包揽、代劳，要避免越俎代庖，而要根据学情来确定教法;同时，教学要避免停留于表面，即在传授知识、渗透数学思维和方法的过程中，要进行循循善诱的引导.为此，可以采用以下几种教学方式：

在展示完问题之后，老师并没有马上解答，而是让他们思考一下自己的解题方法，再按照自己的想法和預先设定好的方案，尝试着解出来，结果大部分同学都能找到正确的答案，而且解题思路也基本一致.为推动预先设定的教学方案，教师在课堂结束后，将两名同学的解题过程以实体投影形式呈现.学生的解题思路是：先用累加法求得数列{an}的通项公式an即n（n+1）[]2，然后根据这一点得到倒数1[]an即2[]n（n+1），随后再把它拆开，即1[]an=21[]n-1[]n+1，接着用错位加法计算∑10[]k=11[]ak.

老师对这一解答给予了肯定的评价，接着提问：“不过，这道题目是不是就这么算完了？问题的解决流程是否可以被优化？大家的思路能不能拓宽一下？”然后老师抛出一些思考和探究的题目：（1）这是一道高考题目，虽然每个人都能找到答案，但是，从“特殊”到“普遍性”的思考模式来看，这个问题的核心是：有哪些条件，结论是什么？能不能对一般性的问题进行分析？（2）请同学们分享个人观点，并根据自己的分析找出解题方式的不同之处.这个结论是否唯一？（3）这类数列问题能不能利用一般命题来优化？由此，教师与学生对所要解答的问题的性质有了进一步的了解，即要求解一个数列递推关系的数学问题，它的一般性质：若已知数列{an}的首项，并且该数列满足an+1=pan+f（n）（n∈N）的递推关系，则数列{an}的通项公式是什么？就此老师基于f（n）的类型，为解题做示范与指导，即若 f（n） 为一次函数，即an+1=pan+bn+c，可构造an+1+λn+μ=p[an+λ（n-1）+μ]，借助待定系数法，求出参数λ，μ.若f（n）为二次函数（或二次以上函数），可构造an+1+λ（n+1）2+μ（n+1）+η=p[an+λn2+μn+η]，通过待定系数法求出参数λ，μ，η.若an+1=pan+qn，则可构造新的等比数列来求解：当p=q时，即an+1=pan+pn，由an+1+t（n+1）pn+1=p（an+tnpn），求得t=-1[]p，于是可构造等比数列an-1[]ppn;当p≠q时，由an+1+tqn+1=p（an+tqn），求得t=1[]p-q，于是可构造等比数列an+1[]p-qpn.

教师在确定学生们对这些一般性结论和探究方式有了更深入的了解之后，就给他们安排了一个新的任务：利用已学“题根”，学习小组间进行编题、解题活动，回答别人编写的问题，并做出相应的评价.在这种情况下，“题根”的有效教学使学生更积极地参与到数学问题的实际操作中，使有关的“联成体”“串成线”“生成根”的数学问题得到了进一步了解，意识到题根在数学中的重要作用.

四、结 语

综上所述，题根教学法在高中数学课堂上的实施已经变得尤为重要了.因此，高中数学教师在实施该教学方法的过程中要带领学生正确寻找题根，使学生可以理清楚这类数学习题的解决方法，学生也就不会像一个无头苍蝇一样，同类题目做了很多遍，稍微变化一点，就又不会做了.教师要对这一类型的题根展开适当的训练，从而帮助学生跳出数学题海，在举一反三中找到学好高中数学课程的新思路.

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