“定义比较法”在实变函数课程教学中的运用

李小朋

【摘要】定义是数学学习的核心，无论证明还是计算，归根结底都要围绕定义进行，而实变函数课程中很多定义非常抽象，难以理解，给这门课程的学习者带来了很大的困难.本文通过两个例子把实变函数中出现的定义和在数学分析中同学们已经熟知却未必理解深刻的相似定义进行比较，从而使学生在对新定义有了比较准确的认识的同时也对已经学过的定义加深了理解.

【关键词】比较法;上下极限;一致收敛;一致连续;一致可积

在数学学习的各个阶段，我们会遇到各种各样的定义，而不同场合下的数学定义，有些名字很像甚至完全一样，这并不是巧合，它们之间一定有着很深刻的联系，我们要学会发现它们之间的联系，这对我们学习数学定义有着很大的帮助，在实变函数中就有很多这样的例子，以下是两个实例.

一、集合序列上下极限和数列上下极限之间的比较

实变函数理论是集合论体系之下的，所以几乎每本实变函数教材的开始都会介绍基本的集合论知识，其中一个重要概念就是集合序列的上下极限.我们先看看集合序列上下极限是如何定义的：

定义1（集合序列上下极限）：对于一串给定的集合A1，A2，…，An，…，我们称

{x：有无穷多个n，使得x属于An}

为这串集合的上极限，记为limnsup An，我们称

{x：只有有限多个n，使得x不属于An}

为这串集合的下极限，记为limninf An.

很多同学都感觉这个概念太抽象，难以理解，而数学分析里正好也有一个相似的定义，就是数列的上下极限.在联系这两个定义之前，我们需要把数学分析中一些相关定义进行拓展，这是因为在数学分析体系，并没有引入有关无穷大的计算，而在实变函数中需要引入无穷大的相关计算.

首先是上下确界的概念需要进行拓展.数学分析中的确界存在公理说的是有上界的数集必有上确界，有下界的数集必有下确界，上下确界的定义局限于只能描述有界集合，这里我们可以把上下确界的定义拓展到无界集合，一个无上界集合的上确界定义为+∞，一个无下界集合的下确界定义为-∞.其次是单调收敛定理也可以拓展，原来单调收敛定理是单调有界数列必有极限，现在可以拓展为：任意单调数列都有极限，单调增加数列的极限就是这个数列转化为数集的上确界，单调减小数列的极限就是这个数列转化为数集的下确界.这样数列上下极限的讨论范围就可以从数学分析中的有界数列变为一般数列.

定义1（数列上下极限）：设{xn}n≥1是一个数列，令αn=infk≥n{xk}，βn=supk≥n{xk}，

则αn↑，βn↓.由于单调数列一定有极限，所以

liminfn→+∞ xn=limn→+∞αn=supn≥1{αn}=supn≥1infk≥n{xk};limsupn→+∞ xn=limn→+∞βn=infn≥1{βn}=infn≥1supk≥n{xk}

分别称为数列{xn}n≥1的下极限和上极限.

数列上下极限定义的刻画过程其实是非常典型的一种数学思维，就是对于一个复杂问题，我们总是先讨论最簡单情况，然后再用简单情况采用的办法来帮助我们处理一般情况.所有数列中最容易直观感受其极限变化过程的就是单调数列，所以我们先讨论单调数列，在上下确界的定义帮助下，我们发现单调数列的极限一定存在，单调增加数列的极限就是这个数列转化为数集的上确界，单调减小数列的极限就是这个数列转化为数集的下确界.对于一般的没有单调性的数列{xn}n≥1，我们分别刻画了两个包夹{xn}n≥1的数列{αn}n≥1和{βn}n≥1，对n≥1，有an≤xn≤βn，就取{αn}n≥1的极限作为{xn}n≥1的下极限，取{βn}n≥1的极限作为{xn}n≥1的上极限，即liminfn→+∞ xn=limn→+∞αn=supn≥1{αn}，limsupn→+∞ xn=limn→+∞βn=infn≥1{βn}.下面我们来仿照数列上下极限的定义来刻画集合序列上下极限.

首先最容易直观感受集合序列极限变化过程的就是单调集合序列，虽然对于集合来说缺少了上下确界这个定义的辅助，但我们同样可以对集合实现上下确界的内涵逻辑，数集的下确界的直观解释是最大下界，对于集合序列来说其最大下界恰好可以用交运算来实现，一列集合的交集正好比每一个集合都“小”，而且是最“大”的那个比每个集合都“小”的集合.相应的，数集的上确界的直观解释是最小上界，对于集合序列来说其最小上界恰好可以用并运算来实现，一列集合的并集正好比每一个集合都“大”，而且是最“小”的那个比每个集合都“大”的集合，这样我们就可以定义单调集合序列的极限了.

设{An}n≥1是一个集合序列，如果对n≥1，有AnAn+1，则取{An}n≥1的极限为：limn→+∞An=∪+∞n=1An.

类似的，如果对n≥1，有AnAn+1，则取{An}n≥1的极限为：

limn→+∞An=∩+∞n=1An.

这样最简单的集合序列情形我们就刻画好了.

其次，对于一般的集合序列{An}n≥1，我们用交并运算，替换数列上下极限定义刻画过程中用到的上下确界这个辅助定义，同样可以刻画两个包夹{An}n≥1的集合序列{αn}n≥1和{βn}n≥1，对n≥1，有anAnβn，其中αn=∩k≥n{Ak}，βn=∪k≥n{Ak}，因为{αn}n≥1和{βn}n≥1是单调集合序列从而有极限，其中{αn}n≥1是单调增加集合序列，就取{αn}n≥1的极限作为{An}n≥1的下极限，而{βn}n≥1是单调减少集合序列，就取{βn}n≥1的极限作为{An}n≥1的上极限，这样我们仿照数列上下极限的定义逻辑就得到了一个集合序列上下极限定义.

定义2（集合序列上下极限）：设{An}n≥1是一个集合序列，

令αn=∩k≥n{Ak}，βn=∪k≥n{Ak}，则αn↑，βn↓，

由于单调集合序列一定有极限，所以

liminfn→+∞ An=limn→+∞αn=∪n≥1αn=∪n≥1∩k≥nAk，

limsupn→+∞ An=limn→+∞βn=∩n≥1βn=∩n≥1∪k≥nAk

分别称为集合序列{An}n≥1的下极限和上极限.

这个版本的集合上下极限定义和原始定义在形式上有所区别，但本质上是等价的，下面我们来证明定义“1”和定义2这两个版本的集合序列上下极限的定义等价：

定理：对于一串给定的集合A1，A2，…，An，…，都有下面两式成立：

{x：有无穷多个n，使得x属于An}=∩∞n=1∪∞k=nAk

{x：只有有限多个n，使得x不属于An}=∪∞n=1∩∞k=nAk

证明：先证明第一个等式：对任意x属于左边集合，则有无穷个N，使得X属于An，因此对任意大于等于1的自然数N，N之后一定有自然数K大于等于N，使得X属于Ak，如若不然，就和已知有无穷多个An包含X矛盾，即X属于右边的集合，所以左边的集合包含于右面的集合;另一方面，对任意X属于右边集合，由交集和并集的定义，对任意大于等于1的自然数N，都存在大于等于N的自然数K，使得X属于Ak，按此逻辑，对于N=1，应存在n1，使得X属于An1，对于N等于n1+1，应存在n2大于n1，使得X属于An2，依次类推，我们可得到数列n1<n2<…<nk<…，使得X属于每一个Ank，即有无穷多个An包含X，所以X属于左边的集合，所以右边的集合又包含于左边的集合，综上，左右两边集合相等.

再来证明第二个等式：对任意X属于左边的集合，则至多有有限个An不包含X，假设一共有I个An不包含X，按下标从小到大顺序记为An1，An2，…，Ani，这样当K大于ni时，一定有X属于Ak，即X属于等式右边的集合，所以等式左边的集合包含于等式右边的集合;

另一方面，对任意X属于等式右边的集合，由交集和并集的定义可知，存在N使得，对任意N大于等于N，必有X属于An，这说明只有当N小于N时才可能有X不属于An，即至多有有限个An不包含X，所以等式右边的集合也包含于等式左边的集合，综上，等式两边集合相等.

相信通过上面定义的比较，同学们通过定义2更容易理解和记忆集合序列上下极限这个相对比较抽象的数学定义.

二、函数列一致收敛，函数一致连续以及函数族一致可积之间的比较

实变函数中的EGOROFF定理给出了函数列几乎处处收敛如何转化为一致收敛的方法，其中函数列一致收敛和函数一致连续以及勒贝格积分下的函数族一致可积这三个定义中都提到了“一致”，它们之间有没有什么联系呢？虽然前两个定义在数学分析的学习中就已经学过了，可大多数同学对这两个定义理解得都不到位，再加上更难理解的函数族一致可积这个新定义，更是不知所云.其实通过定义的比较，找出三者内在的逻辑联系，这对理解这三个定义非常有帮助.我们先看看这三个定义的具体描述.

定义3（函数列一致收敛） 设函数列{fn（x）}n≥1和函数f（x）定义在闭区间[a，b]上，如果对ε>0，都N≥1，使得对x∈[a，b]，当n≥N时，有|fn（x）-f（x）|<ε，

則称函数列{fn（x）}n≥1在[a，b]上一致收敛于f（x）.

定义4（函数一致连续） 设函数f（x）定义在闭区间[a，b]上，如果对ε>0，都δ>0，使得对x∈[a，b]，y∈[a，b]，当|x-y|<δ时，有|f（x）-f（y）|<ε，则称函数 f（x）在闭区间[a，b]上一致连续.

定义5（函数族一致可积） 设E是一个Rn中的可测集合，F是一族在E上的可积函数，如果对任意ε>0，都有仅与ε有关的δ>0，使得对E的任意可测子集A，当mA<δ时，对一切f∈F，都有∫Af（x）dx<ε，则称F在E上是一致可积函数族.

这三个定义看上去有些相似，但又有很大差别，但事实上，当我们选对观察角度时，三者的思维逻辑是完全一样的.所有收敛都会涉及三个问题：第一是收不收敛？第二是收敛到谁？第三是收敛的速度是多少？我们现在研究的这三个定义中关键词“一致”，主要是和第三个问题相关，当我们站在收敛速度这个角度来观察，就会发现三者之间的联系.

首先，我们先来看函数列一致收敛这个定义，其中的ε和N之间的配比关系就决定了收敛的速度，我们都知道函数列在闭区间[a，b]上一致收敛一定是点点收敛的，即对x0∈[a，b]，limn→+∞fn（x0）=f（x0），但不同的x0∈[a，b]，当n→+∞时，fn（x0）收敛到f（x0）的速度是不一样的，有的快有的慢，一般来说，对于相同的ε，取得能满足要求的N越大，收敛速度越慢，反之，取得能满足要求的N越小，收敛速度越快，点点收敛的时候，不一定能找到一个固定的速度（也就是某个ε和N之间的配比关系），这里我们可以把这个固定速度称为控制速度，使得每一个x0点所对应的数列fn（x0）收敛到f（x0）的速度都比这个控制速度快，被它所控制.而我们看一致收敛定义，里面的ε和N之间的配比关系就正好可以控制每一个x0点所对应的数列fn（x0）收敛到f（x0）的速度，换句话说，每一个x0都对应一个数列的收敛速度，如果我们能在这些速度中找到一个最慢的收敛速度，那么这个速度就是上面所说的控制速度，一旦找到了这个控制速度就可以实现一致收敛.

例如：设fn（x）=xn，x∈[0，1]，f（x）=0，x∈[0，1）

1，x=1，则显然{fn（x）}n≥1在[0，1]上点点收敛于f（x）.但不同的x0∈[0，1]，fn（x0）收敛到f（x0）的速度是不一样的，x0越接近于0，收敛速度越快，而x0越接近于1，收敛速度越慢，而且永远也找不到一个最慢的收敛速度作为控制速度，但对δ，0<δ<1，当我们挖掉（δ，1]这个左开右闭区间后，对x0∈[0，δ]，fn（x0）收敛到f（x0）的速度都会比δn→0的速度快，从而δn→0就是我们为实现一致收敛所需要的那个控制速度，即{fn（x）}n≥1在[0，δ]上一致收敛于f（x）.

其次，我们再来看函数一致连续这个定义，我们只需要把定义中的符号稍微换一下，我们马上就能发现两者的联系.

定义4*（一致连续）设函数f（x）定义在闭区间[a，b]上，如果对ε>0，都

δ>0，使得对x0∈[a，b]，y∈[a，b]，当|x-y|<δ，有|f（x0）-f（y）|<ε，则称函数f（x）在闭区间[a，b]上一致连续.

我们只是把定义4中的x替换成了x0，对比函数在x0连续的定义，这样逻辑关系就会与函数列一致收敛和点点收敛的关系一模一样，函数在闭区间[a，b]上一致连续一定会点点连续，即对x0∈[a，b]，limx→x0f（x）=f（x0），但不同的x0∈[a，b]，当x→x0时，f（x）收敛到f（x0）的速度是不一样的，有的快有的慢，一般来说，对相同的ε，取得能满足要求的δ越小，收敛速度越慢，反之，取得能满足要求的δ越大，收敛速度越快，点点收敛的时候，不一定能找到一个固定的速度（也就是某个ε和δ之间的配比关系），这里我们可以把这个固定速度称为控制速度，使得每一个x0点所对应的f（x）收敛到f（x0）的速度都比这个控制速度快，被它所控制.而我们看一致连续的定义，里面的ε和δ之间的配比关系就決定了我们前面提到的控制速度，正好可以控制每一个x0点所对应的f（x）收敛到f（x0）的速度，这和函数列一致收敛的情形是相同的.

最后，我们来看函数族一致可积这个定义，函数族一致可积的另一个叫法是积分等度绝对连续函数族，来源于可积函数的绝对连续性，这里所说的“连续”和函数的连续在形式上有区别，但本质逻辑是一样的，它是指当积分区域A的测度趋于0时，f（x）的绝对值在A上的积分也相应地趋于0，这里我们可以把连续函数的概念抽象成一个连续映射φ来理解，把自变量对应积分区域A的测度值，而把f（x）的绝对值在A上的积分运算值对应映射本身，因为当积分区域测度为0时，积分值一定是0，所以我们刻画的这个映射φ在自变量为0时，对应的映射值也是0，即“φ（0）=0”，当F为可积函数时，由可积函数的绝对连续性定理，当自变量（也就是A的测度值）趋于0时，映射φ的像趋于φ（0）=0，这和普通函数在0点的连续性是一样的，因此才有“连续”这个叫法.再回到定义5，对任意f∈F可看出当mA趋于0时，有f（x）的绝对值在A上的积分趋于0，但是不对不同的F，积分值趋于0的速度是不一样的，这个速度正是由定义中的ε和δ的配比关系所决定的，相同ε时，可取得的δ越大，收敛速度越快，反之则越慢，而定义5中的ε和δ是可以控制每一个F的收敛速度，也就是找到了一个所谓的“最慢收敛速度”，这就和前面两个定义中“一致”完全对应上了，事实上数学里有很多和“一致”相关的定义，基本上都是这个逻辑，所谓一致，一定是和无穷个收敛速度相关，在这无穷个收敛速度里如果能找到一个最慢的收敛速度，也就是前面反复提到的那个“控制速度”，那就是“一致”的，相信经过这样的比较，学生会对这三个定义有了更加深刻的认识.

【参考文献】

[1]江泽坚，吴志泉，纪友清.实变函数论（第三版）.北京：高等教育出版社，2007.

[2]程其襄，等.实变函数与泛函分析基础.北京：高等教育出版社，1997.

[3]欧阳光中，朱学炎，金福临，等.数学分析：上，下册（第四版）.北京：高等教育出版社，2019.