奇完全数素因子指数的下界和相异素因子个数

李妍玲，陈慧娇，吴晓玲，谭嘉欣

（韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041）

完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数.它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.例如6是最小的完全数，因6=3+2+1.

寻找更多完全数并不是容易的事.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中指出，如果2p-1是素数（这样的素数成为梅森素数，其中指数p也是素数），则2(p-1)(2p- 1)是完全数.这指出了梅森素数与完全数的关联，即找到一个梅森素数也就找到了一个完全数.但梅森素数也不好找，截止目前，共找到了51 个梅森素数，其中第51 个为2018 年12 月21 日找到的.这也意味着目前一共找到了51 个完全数.显然，通过梅森素数找到的完全数都是偶数.那么有没有奇完全数呢?至今，许多数学家都在尝试解决这个著名的问题.尽管暂时没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是12p+1或36p+9的形式，其中p是素数.对于奇完全数的性质以及某些正整数是否是奇完全数的问题已有大量文献，如侯汉生的《奇完全数每个素因子的指数≥8及推论》［1］.

设N=表示整数N的标准分解式，K为N含不同素因子的个数.设n为正整数，σ(n)表示n的所有正因子之和.例如：σ(4)= 4 + 2 + 1 = 7，σ(6)= 6 + 3 + 2 + 1 = 12，σ(12)= 12 + 6 +4 + 3+ 2 + 1= 28.显然n是一个完全数，当且仅当σ(n)= 2n.当σ(n)>2n，称n是过剩数.例如12就是一个过剩数.σ(n)为研究奇完全数的重要工具，它有一个常用的性质［2］：p，q是两个互质的正整数，则σ(pq)=σ(p)σ(q).这个性质将在下文的证明中多次用到.下面三个结论与本文要证明的主要结果关系密切.

结论1［3］：奇完全数必形如P4t+1θ2，t为整数，P是4T+ 1形素数，(P,θ)= 1.结论2［4］：以ω(n)表示为奇完全数n相异素因数的个数，ω(n)≥9.

结论3［5］：若3不整除n，则ω(n)≥40.

本文将证明如下两个定理：

定理1如果正整数n是既不被3整除也不被5整除的奇完全数，则ω(n) ≥221.

定理2设N=，其中pi均为素数且α1≡p1≡1(mod4)，α2,…,αk为偶数，若N为奇完全数，则对任意i≤k，有αi≥k- 1.

由上述两个定理可得如下推论：

推论1如果正整数n是既不被3 整除也不被5 整除的奇完全数，则n的每个素因数的指数不小于220.

1 定理1的证明

定理1如果正整数n是既不被3整除也不被5整除的奇完全数，则ω(n)≥221.

证明将n写成标准分解式n=，其中p1,p2…ps是相异的奇素数，α1,α2,…,αs∈N+，由于n是奇完全数，根据完全数的定义，有σ(n)= 2n，而σ是积性函数，进而有如下关系式

进而有

构造函数f(x)=，当x1,x2∈[3,+∞)，且x1

则函数f(x)=在区间[3,+∞)是单调递减的，又x≥3,f(x)>1.那么，在讨论奇完全数n=的奇素因数pi(i= 1,2,…,s)时，只需考虑最小奇素数的情况，而根据文献［6-7］，可知，在奇完全数n=的奇素因数pi(i= 1,2,…,s)中，n的最大质因数大于108，第二个大质因数大于104.而在素数序列中，100000007是大于108且满足100000007 ≡3(mod4)的第一个素数，10007是大于104且满足10007 ≡3(mod4)的第一个素数.

现假设ω(n)= 220，13 是第一个继5 之后满足13 ≡1(mod4)的奇素数，根据文献［8-9］的结论，以及上面的分析，可令

2 定理2的证明

定理2设N=，其中pi均为素数且α1≡p1≡1(mod4)，α2,…,αk为偶数，若N为奇完全数，则对任意i≤k，有αi≥k- 1.

此前有文献［9］对定理2曾用非数论专业的语言给出证明，下文用数论专业语言证明定理2.为此，先证明下述两个引理：

引理1对任意的i≥2,pi|σ().

证明N=为N的标准分解式 K为N的不同素因子个数，

令N=·θ2=，其中α1= 4t+ 1，αi为偶数，2 ≤i≤k，pi为奇素数.

下面用反证法证对任意i≥2，pi|σ(pα).

假设此结论不成立，则存在一些pt不整除σ(pα)(t≥2).

不妨设p2p3…pj都整除σ(pα)，而pj+1pj+2…pk都不整除σ(pα).

引理2对任意1 ≤i≤k,2 ≤j≤k且i≠j，都有Pi|σ().

证明选取σ()为研究对象，令

所以σ(θ2)=.

下面用反证法证∀1≤i≤k,2≤j≤k且i≠j，都有Pi|σ().

假设此结论不成立，则存在一些Pt不整除σ()(t≠2 ).

不妨设P1,P3,…,Pj都整除σ()而P2,Pj+1,…,Pk都不整除σ().

这与过剩数不能充当奇完全数N的因数矛盾，故P1P3…Pk|σ().

以此类推，有∀1≤i≤k,2 ≤j≤k且i≠j，都有Pi|σ().

由引理1和引理2得：∃正整数t1,t2,…,tk使得对任意1 ≤j≤k，

（致谢：本文在韩山师范学院大学生创新创业训练计划项目（编号2020221）的支持下完成.感谢项目组黄琪、詹晓燕、黄丽萍、林芷晴等同学对完成本文的支持与帮助.）