带形状参数的n次Bézier曲线

程黄和

（广东汕头幼儿师范高等专科学校，广东 汕头 515078）

计算机辅助几何设计（CAGD）是随着航空、汽车等现代工业的发展与计算机的出现而产生与发展起来的一门新学科，研究对象主要是工业产品的几何形状设计，其自由型曲线曲面是产品形状设计中的一种主要方式.Bézier 曲线曲面有诸多的优点，它是自由型曲线曲面设计中常用的曲线之一.虽然Bézier 曲线具有诸多优点，但也存在一些不足.例如：对于Bézier 曲线曲面而言，当选定曲线曲面次数以后，其形状便由控制顶点唯一确定，因此在需要调整曲线的形状时，只能通过调整控制多边形所对应的控制顶点来实现.但有理Bézier 曲线和有理B-样条曲线［1-2］中的权因子以及带形状参数的均匀B样条曲线［3］中的形状参数都具有调整曲线形状的作用.为了对此进行改进，近年来学者们提出了多种带形状参数的Bézier 曲线曲面［4-19］.这些曲线曲面有的定义在多项式函数空间上［4-14］，有的定义在非多项式函数空间上［15-19］，如三角函数空间［15-16］、双曲函数空间［17-19］.这些曲线曲面的共同点是构造含参数的调配函数，然后用调配函数与控制顶点来定义曲线曲面.正是因为调配函数中含有参数，通过选择不同的参数值，使得真正参与计算的调配函数是不一样的，这样一来，即使不改变控制顶点，曲线曲面的形状依然可以通过改变形状参数的取值来进行调整.

虽然目前有众多文献给出了多种带形状参数的Bézier 曲线曲面［4-14］，但多数都是低次带形状参数Bézier 曲线曲面［4-9］，而提出的n次带形状参数Bézier 曲线曲面［13-14］尽管具有与Bézier 曲线类似的端点性质、对称性、凸包性、几何不变性等，但没有分割性.本文提出了一类新的n+1（n≥1）次带形状参数的多项式调配函数，并讨论了其调配函数的性质，其具有递推性、规范性和非负性等.由给出的多项式调配函数，建立了带形状参数的自由曲线生成方法，研究了所生成曲线的性质，所生成曲线具有如端点性质、对称性、凸包性、几何不变性等与Bézier 曲线的类似性质.研究结果表明：在控制多边形不变的情况下，可以通过改变形状参数的值来调整曲线的形状.

1 调配函数的定义及其性质

当λ= 0 时，式（3）为第i+ 1 个n次Bernstein 基函数Bi,n(t).称函数组为n次λ-Bernstein调配函数.图1给出了形状参数λ取不同值的三次λ-Bernstein调配函数的图形.

图1 不同形状参数的bi,3(t),(i = 0,1,2,3)图形

下面若干命题说明（3）式定义的n次λ-Bernstein调配函数符合自由曲线曲面设计的要求.

命题1λ-Bernstein调配函数具有递推性.即

其中n= 3,4,5…,i= 0,1,2,…,n.并规定b-1,n-1(t)=bn,n-1(t)≡0.

证明因为Bernstein基函数Bi,n(t)具有递推性，即

因此，只需证Ai,n(t)具有递推性即可，直接计算有

命 题2当t∈[0,1]，λ∈[-2,1]时，对 所 有n≥2，由 式（3） 定 义 的λ-Bernstein调 配 函 数具有非负性.

证明取n= 2，由（3）得

式（5）是文献［4］定义的二次带形状参数λ的调配函数，由文献［4］知

当t∈[0,1]，λ∈[-2,1]时，bi,2(t)≥0,(i= 0,1,2).

再结合式（4）可证当t∈[0,1],λ∈[-2,1]且n≥3时，有

命题3对所有n≥2，由式（3） 定义的λ-Bernstein调配函数具有规范性，即

证明由文献［4］或直接计算知，当n= 2时，式（6）成立.

假设当n=k时，有bi,k(t)≡1成立，则当n=k+ 1时，由式（5）及归纳假设有

命题4对所有n≥2，由式（3）定义的λ-Bernstein调配函数具有对称性，即

bi,n(1 -t)=bn-i,n(t),i= 0,1,2,…,n

证明先证n≥2时，Ai,n(t)(i= 0,1,…,n)具有对称性，由式（2）有

又Bernstein基函数也具有对称性，再结合式（3）得命题成立.

命题5当λ∈(-2,1]时，对所有n≥2，由式（3）定义的λ-Bernstein调配函数线性无关的.

证明注意到n次Bernstein基函数有升阶公式，即

从而式（5）可以改写成

又λ≠2，从而k0=k1=k2= 0，即n= 2时，命题5成立.

假设n=k时，命题5成立，则当n=k+ 1时，考虑线性组合

根据归纳假设得mi= 0(i= 0,1,…,k+ 1).

命题6对所有n≥2,i= 0,1,…,n有

证明由式（3）与式（7）可得，对所有n≥2,i= 0,1,…,n有

即第i+1个n次λ-Bernstein调配函数可以表示成2个相邻的同次Bernstein基函数的线性组合.又因为Bernstein基函数具有以下端点性

从而由式（11）、（12）、（13）直接计算可证式（9）、（10）成立.

2 可调曲线的定义及性质

设给定控制顶点pi∈Rd(d= 2,3,i= 0,1,…,n),n≥2

式（14）对于∀λ∈[-2,1]确定了一条多项式曲线，称该曲线p(t)为带形状参数λ的Bézier曲线.

根据命题1 到命题6 可知，带形状参数λ的Bézier 曲线p(t)与Bézier 曲线有许多类似的性质，包括对称性、凸包性、几何不变形、首末端点的插值性以及首末端点处的导矢性等特性.另外带形状参数λ的Bézier 曲线p(t)可以通过调整形状参数的值来改变曲线的形状.在自由曲线设计时，复杂的曲线往往由若干分段曲线拼接而成，只需要求在拼接点处满足一定的连续性要求即可.

考虑另一带形状参数∀ω∈[-2,1]的m次Bézier曲线

其中pi+n∈Rd(d= 2,3,i= 0,1,…,m),m≥2为控制顶点.

命题7当三控制顶点pn-1,pn,pn+1(n≥2)共线时，式（14）与（15）定义的带形状参数Bézier 曲线是G1连续的.

证明由式（9）（10）直接计算得

因此式（14）与（15）定义的带形状参数Bézier 曲线在连接点p n处是G1连续的，且与形状参数λ、ω的取值无关，即对拼接而成的曲线，形状参数的选择是局部的.

3 曲线的应用

图2 给出了具有相同控制顶点，但形状参数λ取不同值的带形状参数的三次Bézier 曲线.图中折线部分为控制多边形p0p1p2p3，曲线部分依次为λ= -2,-1,0,1,2 时带形状参数的三次Bézier 曲线.可见，λ取值越接近2，曲线越靠近控制多边形.且当λ= 2时，曲线过线段p1p2的中点，这一点对带形状参数的三次Bézier 曲线来说具有普遍性，图3 给出了λ= 2 是bi,3(t),(i= 0,1,2,3)的图形，另一方面当λ= 2时，根据式（3）直接计算可得

图2

图3

图4 给出了形状参数去不同值时的星形图形的应用实例，通过调整形状参数可以很好的对曲线形状进行微调.后续将进一步讨论带形状参数的Bézier曲线性其它相关性质.

图4

4 结论及展望

带形状参数的多项式调配函数构造的曲线具有Bézier 曲线的特征，如端点插值、端边相切、凸包性、几何不变性等.但在计算上比同次的Bézier 曲线计算量大，可以利用海纳算法计算，另外因为调配函数具有递推性，也可以用德卡斯特里奥（De Casteljau）算法来计算曲线.本文的曲线优点在于：对于相同的控制顶点，可以通过调整形状参数来调整曲线的形状；运用张量积，可以将曲线情形推广到曲面情形.篇幅所限本文没有对形状参数的取值范围以及形状参数的选取对曲线的影响进行详细的探讨.这也是将来需要进一步研究和完善的工作.