基于几何画板实现大自然中分形图形的绘制

李 钰，李晓颖，吴晓紫，许绍元

（韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041）

分形几何，就是研究无限复杂但具有一定意义的自相似图形和结构的几何学［1］.一般地说，分形具有五个基本特征或性质：形态的不规则性；结构的精细性；局部与整体的自相似性；维数的非整数性；生成的迭代性.具有如上性质的图形就被称做分形，如大自然中的山、树、云、海岸线［2］.因此，分形在自然界中可以说无处不在.

分形图形有个很重要的性质就是自相似性，即部分和整体严格的相似，部分又可以无限小，这样的图形给人造成视觉上的强烈冲击体验.之所以选择几何画板作为分形图形的绘制工具，是因为它是数学教学中必不可少的教育软件，以数学为根本，以“动态几何”为特色来动态表现设计者的思想［3］.另外，它还拥有强大的迭代功能与图形处理能力，所以通过几何画板可以灵活实现数学中大自然之美——分形图形的绘制.在几何画板软件作图中，绘制的主要思路是从一个基本图形（称其为原像图）开始进行迭代操作，利用自相似原理，得到下一层自相似的构造图形（称其为初像图），再把当前构造图形作为基本图形，利用迭代操作得到下下一层自相似的构造图形，无限迭代操作就得到分形图形［4］.本文通过基础图形尤其是三角形的迭代效果研究，制作了大自然中有趣的分形图形如海螺、花纹刺绣、莲花、五角星.分形几何本意是用来描述自然界中传统欧氏几何无法描述的不规则的复杂的几何对象，如蜿蜒曲折的海岸线，起伏不定的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云［5］.通过绘制分形图形，可以联想到将分形几何和自然界的事物联系起来，从而使图形更具有实际意义进而探讨对初等数学教学研究的意义.

1 海螺

1.1 制作步骤

（1）在水平方向上构造线段AB，鼠标单击线段AB并执行“构造-中点”命令构造AB中点C.

（2）鼠标单击点B双击点C并执行“变换-缩放1/5”命令得到点B'，再用同样命令鼠标单击点A双击点C并执行“变换-缩放1/5”命令得到点A'，鼠标单击线段A'A并执行“构造-中点”命令构造A'A中点A''.

（3）依次单击点C、B'、A'执行“构造-圆上的弧”命令得到弧A'B'，依次单击点A、A''、A'执行“构造-圆上的弧”命令得到弧A'A.

（4）鼠标单击点B'双击点C并执行“变换-旋转68°”命令得到点E，鼠标单击点A'双击点C并执行“变换-旋转-68°”命令得到点F.

（5）鼠标单击点E、F执行“构造-线段”得到线段EF，鼠标单击线段EF并执行“构造-中点”命令构造EF中点D，再依次单击点E、D、F执行“构造-圆上的弧”命令得到弧EF.

（6）鼠标分别单击弧EF、弧A'B'双击点C并执行“变换-旋转180°”命令，结果如图1所示.

图1 海螺原始图像

（7）利用工具栏上数据中的新建参数功能，建立参数n=3.依次单击点A、B和参数n，按住Shift键不动并选择“变换-深度迭代”命令，在迭代窗口A→A'、B→B，再选择结构中添加新的映射A→A'、B→A，最后按迭代选项，结果如图2所示.

图2 海螺参数n=3

改变参数n的数值，海螺结构数量会变化.n=4的海螺如图3所示.

图3 海螺参数n=4

1.2 图形意义

海螺是大自然中的实物，从原始图像到最后呈现的海螺，它的迭代过程比较灵活，在几何画板的创作过程中可以让学生直观地感受分形迭代的运算过程，给予学习者充分的想象空间和创造空间；在教学中引入这种“大自然的几何”，可以给课堂带来更多生动性，同时培养学生数形结合的能力，为拓展学生的数学知识面打下良好的基础.另外，大自然中的数学魅力，展现了数学的美学价值，使学生对分形几何产生浓厚的兴趣.用几何画板绘制的成果（图2、图3）还可以用作网络图标、宣传图案等，充分体现了分形图形应用的多元性以及实用性.

2 花纹刺绣

2.1 制作步骤

（1）在画板上构造线段AB，鼠标单击点A双击点B并执行“变换-旋转-60°”命令得到点A'，再分别单击点A、A'、B执行“构造-线段”命令（ctrl+L）得到三角形AA'B.

（2）鼠标分别单击线段AB和A'B并执行“构造-中点”命令构造AB中点C和A'B中点D.

（3）鼠标单击点A、C双击点B并执行“变换-旋转60°”命令得到点A1、C1，再将点A1、C1用同样方式得到点A2、C2（以此类推得到点A3、C3、A4、C4），结果如图4所示.

图4 花纹刺绣原始图像

（4）利用工具栏上数据中的新建参数功能，建立参数n= 4.依次单击点A、B和参数n，按住Shift键不动并选择“变换-深度迭代”命令，在迭代窗口A→A'、B→B，再选择结构中添加新的映射A→D、B→A'，以此类推重复上面操作（A→C、B→A）；（A→C1、B→A1）；（A→C2、B→A2）；（A→C3、B→A3）；（A→C4、B→A4），最后按迭代选项，结果如图5所示.

图5 花纹刺绣参数n=4

（5）改变参数n的数值，花纹结构数量会变化.n=5的花纹如图6所示.

图6 花纹刺绣参数n=5

2.2 图形意义

刺绣是中国古老的手工技艺之一，制作花纹刺绣，将这些大自然中的元素融合到一起，形成独特的美感，创造出奇异的视觉效果.所以分形图形的美学可以与生活中的许多元素挂钩，比如中国刺绣绣品在图案的结构上非常严谨，并且有着非常明确的几何布局，可以将花纹刺绣与分形几何的教学相结合.

3 莲花

3.1 制作步骤

（1）在画板上构造点O、点A，鼠标单击点A并执行“变换-平移0°；2cm”命令得到点B.

（2）鼠标单击点A、B双击点O并执行“变换-旋转90°”命令得到点A'、点B'，再分别单击点A、O、A'执行“构造-过三点弧”命令得到弧AOA'.

（3）鼠标单击点A、B双击点O并执行“变换-旋转45°”命令得到点A1、B1，再将点A'、B'执行“变换-旋转90°”命令得到点A2、B2，再用同样的方式得到点A3、B3，结果如图7所示.

图7 莲花原始图像

（4）利用工具栏上数据中的新建参数功能，建立参数n=2.依次单击点A、O和参数n，按住Shift键不动并选择“变换-深度迭代”命令，在迭代窗口A→A'、B→O，再选择结构中添加新的映射A→A3、B→O，以此类推重复上面操作（A→B1、B→O）；（A→B'、B→O）；（A→B2、B→O）；（A→B3、B→O），最后按迭代选项，结果如图8所示.

图8 莲花参数n=2

（5）改变参数n的数值，莲花花瓣结构数量会变化.n=3的莲花如图9所示.

图9 莲花参数n=3

3.2 图形意义

莲花也是大自然中的自然风光，具有数学之美，将自然中的花与分形图形的自相似性结合起来，可以让学生感受到数学世界与真实世界之间深奥的关系，利用几何画板这样优秀的教学软件，让学生对数学的认知产生一个更深层面的理解.绘制成果（图2、图8）可以用来作网络图标、宣传图案等，也可以用来当作教学分形图形中的自然例子，从而吸引学习者对数学的兴趣.

4 五角星

4.1 “星”连“星”制作步骤

（1）利用线段工具，任取线段AB，选中线段及点A，双击点B，利用变换中的旋转功能，旋转参数为固定角度36°，将新产生的点命名为C.用同样的方法，依次绕C、D、E点旋转，得到五角星图形如图10所示.

图10 五角星原始图像

（2）利用移动箭头工具，鼠标在各线段交叉点处点击下，出现交点，分别命名为F、G、H、I、J点.

（3）新建参数n=2，顺次选择A、B两点和参数n，按下shift键不放，作深度迭代（A，B）→（F，J）→（J，I）→（I，H）→（H，G）→（G，F），结果如图11所示.

图11 “星”连“星”参数n=2

（4）改变参数n，观察图形变化，结果如图12所示.

图12 “星”连“星”参数n=3

4.2 五“星”镶嵌制作步骤

（1）操作与4.1一样，如图10所示.

（2）利用移动箭头工具，鼠标在各线段交叉点处点击下，出现交点，分别命名为F、G、H、I、J点.选中F、G、H、I、J点，构造五边形内部，度量其面积，然后选中五边形内部和度量结果，点击【显示】【颜色】【参数】.

（3）新建参数n= 3，顺次选择A、B两点和参数n，按下shift 键不放，作深度迭代（A，B）→（J，I）→（I，H）→（H，G）→（G，F）→（F，J），结果如图13所示.

图13 五“星”镶嵌参数n=3

（4）改变参数n，观察图形变化，结果如图14所示.

图14 五“星”镶嵌参数n=4

4.3 图形意义

五角星的创意来源于我国的五星红旗，它的迭代结构与数学紧密联系，利用现代计算机信息技术，可以将其引入教学课堂中，最大限度帮助学生更好地理解所学的知识，五角星中还有一个五角星这样清晰的图片展示能有效激发学生的想象力，调动学生主动探索科学知识的兴趣，同时，赋予原本令人枯燥无味的数学生机活力，使学生在趣味学习中认识分形.该分形图形（图11、图13）可以应用于广告封面、logo制作等宣传工作，在弘扬爱国之心的同时彰显着数学的魅力.

5 结 语

文中给了来自大自然的分形图形，它们都与现实世界紧紧联系.加上“几何画板”的动态几何功能，可以形象生动地展现几何图形之间的内在关系，使学生非常直观地了解分形几何，能在观察中进行积极的思考，并探索其存在的规律，从而培养学生的探索精神，提高其数学学习的兴趣［6］.其实生活中还有很多的分形，它们都存在于大自然中，这也很好应证了“数学来源于生活”的说法.在图形的完善方面我们还存在不足，后续我们将继续优化图形的绘制步骤，增强图象的展示效果，同时还会对大自然中的分形有更多研究，发现更多存在于大自然中的有趣分形.