架设高度对牵引网阻抗矩阵值的影响分析与计算*

魏 祥，陈剑云

（华东交通大学 电气与自动化工程学院，南昌 330013）

高速铁路牵引供电网作为一组架空平行多导体输电系统，其自阻抗值与互阻抗值是系统分析计算以及继电保护整定的重要参数。在工程设计过程中，一般都采用简化Carson 公式进行计算，该公式引入了导线—大地等值深度的概念，计算结果只与电流频率、大地土壤导电率的大小有关，而与导线架设高度无关［1］。简化Carson 公式在50 Hz工频情况下，其计算精度基本满足工程要求，但是随着牵引网对谐波分布、电磁暂态信号传播特性深入分析的需要，宽频段的阻抗特性曲线也是必须获取的基础参数，导线架设高度对阻抗值的影响也许不容忽略，特别考虑到我国大多的高速铁路主要架设在离地面很高的桥梁上，牵引网的架设高度差别很大，架高对牵引阻抗值的影响有多大，是个值得深入分析与研究的问题。

架空导线阻抗计算的关键在于求解大地的内阻抗以及导线与大地间互阻抗，这是一个非常复杂的电磁场理论分析与数值计算问题。早在1926年，Carson 和Dommel［2-3］通 过分析 半无 限 平面 大地模型的电磁场，给出了导线—大地回路的自阻抗与互阻抗的积分计算公式及其级数解，成为经典求解公式。Carson 级数解是由无穷级数构成，计算项复杂繁琐，所谓简化Carson 公式即是只取级数的第一项而忽略后面的高次项，级数第一项与导线架设高度无关，而高次项都相关［4］。虽然架空平行导 体 阻 抗 计 算 还 有Tylavsky［5］和Dubanton［6］等 公式，但Tylavsky 公式主要应用于隧道中牵引网阻抗计算，而Dubanton 公式形式简单，却误差较大［7］，所以目前仍认为Carson 公式计算较为准确有效。对于高架桥区段的牵引网阻抗计算，文献［8］虽然结合Carson 理论但没有计算出高架桥路段的阻抗矩阵，也没有考虑架高对阻抗矩阵造成的影响。文献［9］考虑到了高架桥的影响，计算出了供电回路和桥墩回路的耦合系数，但没有涉及架高后的牵引网阻抗矩阵。对于不同土壤电阻率和谐波频率下的架高对牵引网阻抗矩阵值造成的影响，国内外文献还未见到对这一问题进行详细探讨。

文中以Carson 级数公式中与高度无关的第一项作为基本值，把剩余的高次项作为修正值，分析与计算牵引网架高对阻抗值的影响。通过电气化铁路牵引网为实例，计算给出在不同大地土壤导电率情况下的阻抗—架高特性曲线；计算不同谐波频率下的阻抗—架高特性曲线，并分析了不同情况下架高对阻抗值的影响；根据不同情况下架高对阻抗值影响大小，从而判断该情况下架高对阻抗值的影响是否可以忽略，最后整理出数据以供参考研究。

1 Carson 阻抗计算公式

1926 年，Carson、POLLACZEK 等 人 几 乎 同 时解决了架空导线-地回路阻抗计算的问题［10］。计算公式如式（1）～式（4）：

式中：

式中：μ0为导线导磁率，取4π·10-4，H/km；ri为导线半径，m；hi为导线对地平均高度，m；ω为角频率，rad/s；θ为导线电阻率，Ω·m；dij为导线i与j之间的距离，m；Dij为导线i与j的镜像距离，m。

上述的Zg和Zgm为大地回路对于输电线路自阻抗和互阻抗所引起的修正，由式（5）～式（12）表达：

式中：

以及

式（8）中：sign 函数每隔4 项改换符号；D在计算自阻抗时为2hi，计算互阻抗时为Dij。

在工程设计过程中，频率f为50 Hz，计算牵引网阻抗矩阵时对大地回路阻抗Rg与Xg取第一项近似，也就推导出了简化Carson 法，其中导线—地回路等值自阻抗［11］为式（13）～式（14）：

式中：

2 条导线—地回路间的等值互阻抗为式（15）：

式中：Re为导线交流电阻，Ω/km；r′为导线等效半径，m；f为电流频率，Hz；ρ为土壤电阻率，Ω·m；dij为两导线间的距离，m。

2 架高相关的阻抗修正公式

由上节可知，当架空导线中通过的是50 Hz 工频交流电时，对式（6）、式（7）取第一项来近似，也就 是 式（13）中 的0.05 和0.144 6。与Carson 法 相比，简化Carson 法只计入了Rg与Xg第一项，计算出的阻抗值只是基本值，而大地回路阻抗Rg与Xg第一项后的多项式即为Carson 法对简化Carson 法的修正值ΔZ，为式（16）～式（20）：

式中：

即：

结合式（11）、式（12）易得自阻抗修正ΔZii和互阻抗修正ΔZij公式，由于两者都是关于频率f、土壤电阻率ρ和导线对地高度h3 个变量的多元函数公式，以下将借助修正公式来分析不同土壤电阻率和谐波频率下的架高对牵引网阻抗矩阵值的影响。

3 实例分析

3.1 牵引网空间分布结构

在AT 牵引供电系统中，承力索、接触线以及正馈线和保护线都是同杆架设，平行于钢轨，综合接地线也是沿着铁路沿线铺设，平行于钢轨［12］。复线AT 供电方式牵引网空间分布如图1 所示。国内复线AT 供电方式牵引网导线空间分布结构基本上是相同的，即架高之后牵引网各导线的架设高度会整体改变，但各导线的横向间距不变。其中，各导线型号及参数见表1。

图1 复线AT 供电方式牵引网悬挂图

表1 牵引网各导线型号及参数[1]

3.2 不同土壤电阻率情况下阻抗—架高特性曲线

在实际线路中，牵引网各导线中通过的单相交流电频率为工频，当线路铺设高架桥跨越江河峡谷时，牵引网各导线的架设高度就会发生改变，而牵引网阻抗矩阵值与导线架设高度有关；再者，牵引网输电线路上土壤的电阻率不是一成不变的，线路的串联电阻、电抗易受土壤电阻率影响［7］，分析工频时不同土壤电阻率情况下架高对阻抗矩阵值的影响。

高速铁路高架桥高度没有专门规定，不同地形、地质条件有所差异，桥墩高度一般在数米至20 m［13］，研究中考虑特殊情况，选择高架桥高度范围5～50 m，步长为5 m，以上行接触导线为例，分别计算不同土壤电阻率情况下接触导线自阻抗值、接触导线与钢轨的互阻抗值的修正。为了方便分析不同情况下架高对阻抗值的影响及大小，引入阻抗值修正比δ，计算公式如式（21）：

式中：h为架设高度；ρ0为土壤电阻率；频率为f0情况下第i根导线的自阻抗值（或与第j根导线的互阻抗值）。在研究不同情况下架高对阻抗矩阵值的影响时，频率f0和土壤电阻率ρ0为常量，自阻抗（或互阻抗）修正公式ΔZii(ij)(h，ρ0，f0)就变为只与高架桥高度相关的修正公式ΔZii(ij)(h)。不同土壤类别电阻率的参考值（沙质泥土为典型值100 Ω·m［10］）见表2，工频时不同土壤电阻率情况下阻抗修正比-架高特性曲线如图2、图3 所示。

表2 常见土壤电阻率[14]

图2 不同土壤电阻率情况下自阻抗值修正比—架高特性曲线

图3 不同土壤电阻率情况下互阻抗值修正比—架高特性曲线

由图2、图3 可知，自阻抗值和互阻抗值的修正比δ都会随着架设高架桥的高度增加而增加，最大可达2%，且在较高的土壤电阻率情况下，阻抗值修正比δ反而较小，基本在0.5%以下。故在不同土壤电阻率情况下，工频时架高对牵引网阻抗矩阵响很小，可以忽略不计。

3.3 不同谐波频率下阻抗—架高特性曲线

在实际线路中，牵引网各导线中不只含有频率为50 Hz 的交流电，这是因为电气化铁路中的非线性负载在运行时会产生大量谐波，而不同次数的谐波流入牵引网输电线路中都会对牵引网阻抗矩阵值造成影响，此节讨论不同频率下架高对阻抗矩阵值的影响。

牵引网各导线中的谐波不仅仅是3、5、7 次等低次谐波，而是20～50 次之间的甚至更高次的谐波，故谐波次数取3～99 次中各奇数次，即频率取150～4 950 Hz，土壤电阻率为典型值。如上节所述，采用式（21）来分析不同频率下架高对阻抗矩阵值的影响。以上行接触导线的自阻抗和接触导线与钢轨的互阻抗为例，5、7、9、25、55、99 次谐波频率下阻抗修正比—架高特性曲线如图4、图5所示。

图4 不同谐波频率下自阻抗值修正比—频率特性曲线

图5 不同谐波频率下互阻抗值修正比—频率特性曲线

由图4、图5 可知，在不同谐波频率下，自阻抗值和互阻抗值的修正比δ都会随着架设高架桥高度增加而增加，且架高对互阻抗值的影响比自阻抗值大。在99 次的高次谐波（4 950 Hz）下，自阻抗值和互阻抗值的修正比δ最大分别可达8.75%和18.70%。具体数据见表3、表4。

表3 不同谐波频率下自阻抗值修正比—架高数据表

表4 不同谐波频率下互阻抗值修正比—架高数据表

由表3、表4 可知，在7 次谐波（350 Hz）下，架设高架桥高度在0～50 m 时，自阻抗值和互阻抗修正比δ基本在5%以下，即满足实际工程需要［15］，故在此频率下架高对牵引网矩阵阻抗值的影响可以忽略。对于自阻抗而言，在频率高于1 250 Hz时，例如55 次谐波（2 750 Hz），当架高超过30 m时，自阻抗值修正比δ大于5%，此时就需要考虑架高对自阻抗值造成的影响，而在99 次谐波（4 950 Hz）下，架高达到20 m 时就需要考虑到架高对自阻抗值造成的影响了。同理，在频率高于1 250 Hz 时，架高超过15 m 时需要考虑架高对互阻抗值造成的影响，而在55 次谐波（2 750 Hz）下，架高达到5 m时就不能忽略架高对互阻抗值造成的影响了，其余情况都可以以此作为参照来推算，不再赘述。

4 结 论

根据Carson 理论进行分析，得出与高度相关的高次项并作为修正值，结合国内AT 牵引供电系统为实例进行计算分析，得出以下结论：

（1）当牵引网中通过工频交流电时，架高对牵引网阻抗矩阵值造成的影响很小，在实际工程设计中是可以忽略的。

（2）当牵引网中含有谐波电流，且所含谐波的次数在7 次以下时，架高对牵引网阻抗矩阵值的影响可以忽略；当所含谐波的次数在7～25 次之间时，架高对阻抗矩阵中自阻抗值造成的影响仍可以忽略，但要考虑对互阻抗值造成的影响；当所含谐波的次数高于25 次时，架高对牵引网阻抗值的影响较大，超过了实际工程误差允许的范围5%，其影响不可忽略。