“双减”背景下基于历史相似性的精准教学

岳增成 白莉莉

“双减”的根本目的在于减轻学生的课业负担，减轻负担的根本之策则在于全面提升教学质量。精准教学可以助力教学实施过程精准高效，是“双减”背景下小学数学教学提质增效的必然选择。笔者考察精准教学实践发现，在信息技术支持下，精准教学可以通过学情分析、内容选择、路径指导、教学干预等方式，让教师更加精准地把握学生知识技能中存在的问题，提高学生学习效率，对于优化教学、减轻学生课业负担具有重要意义。但同时也暴露出信息技术强烈的工具理性基质，以及信息技术支持下的精准教学过分重视知识技能，忽视思维的发展和知识的发生过程等重要问题，这就需要我们进一步优化精准教学路径。数学历史相似性是将数学史应用于课堂教学的基础，是指学生对数学知识的认知过程和历史上该知识的发展过程存在一定的相似性，这种相似性主要包括认知特点、认知障碍、认知顺序上的相似性。这为我们探究学生的认知规律，开展精准教学活动提供了借鉴。本文以人教版六年级上册“圆的认识”与“圆的周长”为例，对基于历史相似性的精准教学进行说明。

一、以历史相似性探究学生的认知特点，精准教学目标

历史上，初等几何的发展大致经历了直观几何、实验几何、论证几何三个阶段，圆知识的发展同样如此。在直观几何阶段，人类的直觉识别出圆是特别的图形，圆中蕴含着美。于是，人类祖先在很多器物、壁画上留有圆的图案。图案中的圆够不够圆？人类受此驱动研究画圆的工具，进入实验几何阶段。人类在研究画圆工具的过程中探究出了圆的性质，对圆进行了定义——“圆，一中同长也”“圆是由一条曲线包围成的图形，其内有一点与这条线上的点连接成的所有线段都相等”。以此为基础，研究圆的其他性质，人类进入了论证几何阶段。人类对圆的周长的认识同样如此，现实的需要让人类开始测量圆的周长，通过观察发现圆的周长与圆的直径或半径有关，通过测量发现圆的周长与圆的直径的比值在一个固定的区间内。认识到实验几何固有的误差后，开始用数学的方法对比值进行精确的计算，人类从实验几何进入论证几何。但横亘在数学家面前的一大难题是用圆内接正多边形的周长逼近圆的周长得到的圆周率是近似的还是精确的，很多数学家无法理解以直代曲的极限思想，从而认为圆周率是一个近似值。

以历史为参照对现行教材进行分析发现，“圆的认识”教材内容编排基本上遵循了初等几何的发展历程，从生活中的圆到数学中的圆，最后回到用数学语言描述圆。“圆的周长”教材内容编排则考虑到了学生认知发展水平，将重点放在实验几何，先安排滚圆法、绕圆法的圆周长测量方法，再安排多次测量求圆的周长与直径的比值，未将其置于历史的发展脉络之上，仅附加地介绍了中国古代数学家对圆周率计算的贡献，错失了将学生引入论证几何的机会。

实际上，学生对圆的认识、对圆周长的认识与这两个主题的历史发展具有相似性：一方面，在这两个主题的学习中，学生会从直观入手形成对数学对象的主观认识，然后运用度量的方法对数学对象进行研究，加深对数学对象的了解，最后尝试运用数学的方法研究数学对象，形成理性认识。另一方面，数学家面对某些数学问题时遭遇到的困难也是今天学生的学习障碍，而困难的解决往往将数学的发展推向更高的层次，因此学生的学习障碍往往出现在数学主题从一个阶段发展到另外一个阶段的节点处。如何用数学的方法刻画“够不够圆”？如何计算圆的周长与圆的直径的比值？如何理解以直代曲的极限思想？这些都是圆、圆的周长历史发展的关键节点，是教学的重点与难点，也是精准教学指向的核心问题。

基于以上对历史、教材、学生的分析，将“圓的认识”一课的教学目标确定为：（1）通过对古今各种形状的物体的观察、比较，感受圆之美，初步认识圆;（2）尝试利用各种工具画圆，从中认识圆心、半径;（3）在古今对照中，加深对圆的认识，能辨析给定的图形是否为圆，提高数学学习的兴趣与信心。将“圆的周长”的教学目标确定为：（1）探究测量圆周长的方法;（2）会用测量法计算圆周率，在对比中感受测量法的误差;（3）重走古人计算圆周率的历程，经历圆内接正多边形周长逐渐逼近圆周长的过程，感受以直代曲的极限思想;（4）在历史的进程中，了解古人的智慧，感受古人勤奋好学、孜孜不倦的精神。其中，“圆的认识”中的目标（2）、“圆的周长”中的目标（3）是实施精准教学的关键。

二、参照历史相似性，重构教学路径，着力历史关键节点

基于历史相似性重构教学路径将顺应学生的认知发展规律。同时，注重数学主题从一个阶段发展到另外一个阶段节点处的任务设计，将有助于突出重点、突破难点，这为精准教学的实现提供可能。

重构圆的历史，以“够不够圆”作为精准教学“圆的认识”的突破口。从圆之美入手，学生从对各种文物的欣赏中感受到圆在古代的广泛应用及背后的缘由。探究圆之理，引入古巴比伦泥板中的圆，学生认为这些图形不够圆，教师追问“为什么不够圆”，学生回答“未运用工具”，教师顺势呈现除圆规外的其他画圆工具。学生通过小组探究、对比、归纳等得到画圆的要素是定点、定长，前者确定圆的位置，即圆心，后者确定圆的大小，即半径。随后引入历史上有关圆的定义，加深学生对圆的性质的理解。在这一环节，教师借助古巴比伦人的圆引出了精准教学的着力点——用数学的方法刻画够不够圆。在用各种工具画圆的探究任务中，学生归纳出了画圆的要素，真正地理解了圆，精准教学得以发生。最后回到认识圆，一方面让学生欣赏各种圆形物品，另一方面通过提问“圆在哪里”为学生克服直观几何的负迁移提供机会。

“圆的周长”的教学让学生经历直观几何、实验几何、论证几何三个阶段。通过现实情境的引入，让学生产生精确测量圆周长的需求，学生探究出滚圆法、绕圆法等以直代曲的思想方法后，让他们在多个圆的周长的比较中猜测圆的周长与什么有关系。引导学生设计实验方案验证猜想。学生在多组周长、半径的测量与计算后，发现其比值接近一个定值。如何准确地求得定值？这是精准教学的着力点。教师呈现《周髀算经》中“周三径一”的方法，让学生猜测如何才能更准确地计算比值。学生想到通过增加圆内接正多边形的边数。增加到多少才能接近314？刘徽将其计算到了圆内接192边形。那314是一个精确值吗？祖冲之将其计算到了31415926～31415927之间。那要用圆内接正多少边形代替圆的周长才能得到这个答案？24576。经历中国古代数学家计算圆周率的历程，学生初步感知了以直代曲的极限思想，精准教学得以发生。

“双减”的落实驱动教学质量的提升，指向高效益的课堂，高效益课堂的实现需要精准教学。历史相似性的存在有助于精准教学的落实，更重要的是，数学史多元文化的属性丰富了精准教学的工具理性基质，让工具理性嵌入了人文性的特质，这为精准教学的进一步研究提供了方向。

（作者单位：杭州师范大学经亨颐教育学院 本专辑责任编辑：王彬）