“函数的单调性”教学设计

刘兴华

函数的单调性是函数的基本性质之一，是继函数的概念学习之后最重要的一个内容。学习函数的单调性，学生要经历三种数学语言的转化，了解一个全新的定义模式，对函数性质的学习起到示范作用，也为今后不等式、导数的学习奠定基础。

教学目标：1.借助函数的图象，让学生会用符号语言表达函数的单调性，理解它的作用和实际意义，能判断一些简单函数在给定区间上的单调性;2.让学生会用函数单调性的定义，按一定的步骤通过代数推理证明函数的单调性，培养推理论证能力;3.在抽象函数单调性概念的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用，通过观察—猜想—推理—证明这一研究过程，体会对函数性质研究的一般方法。

教学过程：

环节一：创设实际情境问题，提升数学模型素养

呈现“艾宾浩斯遗忘曲线”，引导学生明确记忆量是时间间隔的函数，该函数的图象传达的函数值的变化趋势对生活实际的指导作用是需要及时地复习。

环节二：归纳函数图象特征，提升直观想象素养

1.观察所给一系列函数，如y=2x，y=-3x，y=1/x，y=x2的图象，发现了函数图象的哪些特点？明确函数是描述事物变化规律的数学模型，所谓函数性质就是“变化中的规律性，变化中的不变性”。本单元着重研究从左到右升降变化的特点、最高点或最低点、对称性等。

2.进一步观察二次函数y=x2的图象，用数学语言描述图象自左至右的变化趋势。从直观的上升、下降，提升到初步的符号语言描述：“当x∈（-∞，0]时，y随x的增大而减小;当x∈[0，+∞）时，y随x的增大而增大”，或者“当x∈（-∞，0]时，x增大，对应的y减小;当x∈[0，+∞）时，x增大，对应的y增大”。

3.“函数y=x2在（-∞，0]上是单调递减的;在[0，+∞）上是单调递增的”定义中，“x增大，对应的y增大（减小）”怎么用符号语言表示？借助字母符号表示数，上述变化过程的表示为：自变量从x1增大到x2，函数值从f（x1）减小（增大）到f（x2）。

环节三：形成函数单调性概念，提升数学抽象素养

1.进一步用不等式表示增大（或减小），得到表述：x1<x2，有f（x1）>f（x2）（或f（x1）<f（x2））。再关注自变量取值的要求，得到函数单调性的概念。用严格的代数语言刻画函数的单调性，即借助代数符号语言给出了一个与“无限”相关的变化规律的数学描述，体会代数的力量。

2.函数f（x）=|x|和f（x）=-x2有怎样的单调性？由图象直观判断函数的单调性，并作出准确表述，进一步理解函数的单调性是函数的局部性质。

3.从函数的图象直观分析可以得到函数的单调性，对于一个给出了解析式的新函数y=f（x），当作函数图象有一定困难时，该如何分析其单调性？通过代数的运算，应用函数单调性的概念作出判断。

环节四：应用函数单调性概念，提升数学运算和逻辑推理素养

1.根据定义，研究函数f（x）=kx+b（k≠0）的单调性。应用定义通过严格的逻辑推理对结论进行了证明，体现了形式化定义的作用。

2.物理学中的玻意耳定律p=k/V（k为正常数）告诉我们“对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大”，试对此用函数的单调性证明。函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，而数学研究的不是每一个现象，而是从中抽象概括出来的一般问题，将一些不同的现象抽象成一类函数，通过研究这一类函数的性质获得事物的变化规律。

3.归纳用单调性定义研究或证明一个函数的单调性的基本步骤：取元—作差—变形—断号—定论，体会数学推理的程序化和严谨性。

4.根据定义证明函数y=x+1/x在区间（1，+∞）上单调递增。通过严格的代数推理证明函数单调性，体会函数性质与函数图象的关系。

环节五：小结与布置作业，提升数学抽象素养

回顾函数单调性的概念及把握函数单调性概念的关键点;回顾用函数单调性的定义判断、证明函数单调性的一般步骤;回顾本节课对函数单调性的研究过程，梳理函数性质研究的过程、思路与方法，即简单观察—形成规则—具体验证。

吴鹏老师点评

“函数的单调性”教学设计以单调性概念的生成和应用为明线，以数学核心素养的发展和提升为暗线进行设计。通过问题串的设计突出“单调性”这一数学概念生成的过程性和层次性，设计采取从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性、从图形语言到自然语言再到符号语言的顺序，层层递进帮助学生实现认识上的跨越并形成最终概念，符合学生的认知规律，突破了教学难点，突出了学生的主體地位，凸显了数学的学科特色。为学生从“形”的直观性和“数”的精确性认识数学对象提供了示范，为后续概念的学习奠定了重要的思维基础。设计在各个环节均有意识地发展学生的数学核心素养，但并非平均用力，而是有所侧重，重点突出了“数学抽象”和“逻辑推理”两个核心素养的提升。