杨楼俭
求曲线的方程问题在圆锥曲线中比较常见.此类问题侧重于考查圆锥曲线的定义、几何性质以及一元二次方程的性质.求解曲线的方程问题的方法有很多种,如定义法、相关点法、消参法、数形结合法等.那么,如何选择合适的方法进行求解呢?下面结合实例加以说明.
一、定义法
运用定义法求解曲线的方程问题,主要是根据椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义来求解.这就要求同学们熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线、圆的定义,根据这些定义来建立关系式,求得曲线的方程.
∴4a=16-12,得a=l,
∵a+b=c=4,∴b3,
二、相关点法
有些求曲线的方程问题中的一个动点随着另一个动点的变化而变化,此时可采用相关点法解题.首先设动点的坐标,并用该动点的坐标表示另外一个相关动点的坐标,然后将相关点的坐标代入满足条件的方程中,即可得有关动点的轨迹方程.
解:由题意可得F(-2,0),F(2,0),设点A(x,y),B(x,y),M(x,y),
将两式相减可得(x-4)(x-x)=(y-y)y,
得(x-6)-y=4,
当AB与x轴垂直时,点M(8,0)满足(x-6)-y4,
∴点M的轨迹方程为(x-6)-y=4.
由题意可知,M点随着A、B的变化而变化,因此可采用相关点法来解题.设出点A、B、M的坐标,并用M点的坐标表示出A、B,然后根据题意建立关于M点坐标的关系式,即可求出点M的轨迹方程.
三、消参法
消参法是解答圆锥曲线问题的重要方法.运用消参法求解曲线的方程问题,需先根据题意设出曲线上动点的坐标、动直线的方程、交点的坐标等,然后将其代入题设中,建立关系式,最后通过消参、化简得到只含有动点的坐标的式子,即可求得曲线的方程.
解:①当切线l的斜率k存在且k≠0时,设直线l
的方程为y=kx+m,
∵动直线l与椭圆E只有一个交点,
∴Δ=16km-4(1+2k)(2m-2)=0,
整理可得m=2k+1,
∵直线MQ与直线l垂直,且经过M(l,0),
而m=2k+1,
∴点Q轨迹方程为x+y=2,
②当直线l斜率为0时,Q(l,±l)满足x+y=2,
综上所述,点。轨迹方程为x+y=2.
解答本题,需首先设出动直线的方程,将其与椭
圆的方程联立,并消去y得到一元二次方程,根据直线与椭圆相切的关系可得Δ=0,据此得到关于参数、x、y的式子,通过消参求得Q點的轨迹方程.
相比较而言,定义法较为简单;相关点法的适用
范围较窄;消参法比较常用.在求解曲线的方程问题时,同学们可首先将问题与圆锥曲线的定义关联起
来,运用定义法求解,然后分析动点之间的关系,合理选择相关点法、消参法进行求解.