极限的应用

◎杜 娟(山西省工业管理学校,山西 太原 030012)

1 引 言

1.1 e在某些方面的应用

2 e的近似计算及应用

2.1 数e是无理数的几种证明方法

定理1 常数e是一个无理数.

所以,

那么有

于是，

因此，e只能是一个无理数.

如果利用ex的泰勒展开式，我们还可以有另一种证法：考虑如果e是有理数的话，那么e-1也是一个有理数.

证法2 由ex的泰勒公式得

于是，

从而e-1只能是一个无理数，所以e也只能是一个无理数.

2.2 与e有关的不等式

2.2.1 与e有关的数列不等式：

问题：求出使得下列不等式成立的最大值α和最小值β：

解：对于上面的不等式，两边取以e为底的对数得

(1)

(2)

下面我们来证明f(x)是一个严格的单调减函数.对f(x)求导得

(3)

我们来证明：

(1+x)ln2(1+x)

(4)

即要证：

(5)

又g(0)=0，因此g(x)>0,x∈(0,1].

从而，(5)式成立.

将(5)式的结果代入(3)式得f′(x)<0,x∈(0,1].

因此，f(x)在(0,1]上是一个严格的单调减函数.

于是，

(6)

(7)

求解完毕.

2.2.2 证明对于所有的n>1，有如下的不等式成立:

(1)

证明：下面的式子是等价的:

(2)

(3)

(4)

(5)

这样，我们在不等式(5)两边同时乘-1，得到等价式子：

(6)

注意到

将上式代入不等式(6)中，得到

注意到k>1时，k

证明完毕.

2.3 数e的广泛应用

2.3.1 在极限中的应用

当n≥2时，

证明：由2.1中的证法1，

于是，

=ln(n+1)-lnn>0.

这说明数列{bn}单调减少有下界，从而收敛.

注：{bn}的极限γ=0.57721566490…称为Euler常数.

2.3.2 在级数中的应用

证明：最简单的是用数学归纳法.

当k=1时，

命题成立.

那么，当k+1时，有

则Fk+1也是e的整数倍.

于是，我们就有

3 参考公式

定理1(夹逼准则) 如果数列{xn}，{yn}，{zn}满足下列条件：

(ⅰ)xn≤yn≤zn(n=1,2,3……),

定理2(单调有界准则) 单调有界数列必有极限.

进一步，由

得到

由k的任意性，得到