揭示素数分布规律的阶准素数模型简介

◎冯军刚 朱彦通(西安石油大学机械学院,陕西 西安 70065;卡内基梅隆大学,宾夕法尼亚州 匹兹堡 5)

1 引 言

在后文参考文献[1]中，已经出现了“pn阶准素数模型”的雏形，只是没有系统地建立过该模型，且因其中的误差项，对误差界值论证过粗、估计过大、严重失真，致使该式失去了定量计算的意义，从而使该式一直被束之高阁.该式实际上就是计算不大于x的pn阶准素数数目πn(x)的上、下限的.其原型是：

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在该式中：π(y)表示不大于y的素数的个数，本文设其为n，并将第n个素数记为pn，那么，π(y)便可用n取代；1+Φ(x;y)表示的是[0,x]上，筛去含有不大于y的素数因子的合数，所存留下来的正整数(本文称之为 “pn阶准素数”)的个数.于是，式(1)便被表示为：

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2 pn阶准素数模型的特性简述

图1 [0,30]上的素数筛网示意图和素数元素分布图

图2 p3阶准素数第一个周期上的三层筛网示意图和准素数的分布图

图3 (1)阶梯线π3(x)—A ；(2)直线(3)折线

π(x)=πn(x)+(n-1)；

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3 以素数“前密后疏”为镜鉴，证明误差δn(x)不大于n

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4 pn阶准素数模型的应用举例

4.1 定量计算素数数目π(x)的上、下限及其底线，证明素数数目的无穷性

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4.2 双筛计算“特定素数对”数目λ(x)及其底线，具结相关课题之证明

对于“单合数对”而言，这恰好将其减去了1次.但对于“双合数对”而言，它却被减去了2次，多减了1次.双筛计算的结果，一般只能是“双素数对”数目的不足近似值,只有x较小、“特定准素数对”中不存在“双合数对”时，才能更贴近真值.

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4.2.1 计算“和等于偶数x的特定素数对”：“1+1”的数目λ1(x)的底线，证明任意偶数一定存在“素分割对”

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根据文献[1]第379页定理5的结论，当x→∞时，则有：

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式(12)(15)证明：对于任意偶数x，其素分割对“1+1”的数目的底线是x的递增函数；x足够大以后的任意偶数，都一定有素分割对“1+1”存在.

4.2.2计算差等于2的特定素数对——孪生素数在[0,x]上的数目λ2(x)的底线，证明孪生素数的无穷性

奇数序列虽是筛选“1+1”的“双筛始序列”，但并非筛选“孪生素数对”的“双筛始序列”.因为每个奇数与其前后紧邻的两个奇数，都构成了“孪生奇数对”，它们显然不是相互独立的，筛掉中间这个奇数，就筛掉了两对“孪生奇数对”，而“双筛计算”却只减掉了一对.用p2阶筛网继续单筛奇数序列，所得的p2阶准素数序列，才是筛选“孪生素数对”恰当的“双筛始序列”.因为p2阶准素数周期为6，每个周期内只有两个准素数元素，分别紧挨着前后端点.如此每个p2阶周期端点两侧的两个准素数(如5和7)，皆构成了一对独立的、差为2的“孪生准素数对”.所以，用λ2(x)表示差为2的“孪生素数对”的数目，在式(11)中，代入双筛起始序号k=3，得：

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