融入数学建模思想的数列复习课教学设计研究

◎王雨红 杨 刘(合肥师范学院数学与统计学院,安徽 合肥 230601)

一、引 言

数列是普通高中数学新教材人教A版选择性必修二第四章的内容，是高中数学中非常重要的知识点.学习数列不仅可以加深对数、方程、函数等知识的理解，而且能很好地锻炼学生的逻辑思维能力.数列是一种特殊的函数，可以有很多的演变，是高考必考的考点，是解决问题的一种重要工具.数列是培养学生数学建模能力的重要素材，是进行数学建模教学很好的载体，比如数列的通项公式、推导求和公式的过程，都是建立数学模型的过程.本节复习课的内容是学生已经学习完等差数列、等比两种数列的相关基础知识后进一步的深入学习，对数列知识进行复习与提高，有利于学生更加深刻地理解数列的意义，同时有利于发展学生的数学建模能力，使其将数学知识灵活运用在生活各处.

数列复习课主要围绕数列的通项公式、前n和公式等基础知识进行系统梳理与知识巩固.教科书在阅读与思考和探究与发现部分介绍过 “斐波那契数列”“ 九连环 ”和“购房中的数学”等问题，但很多学生对此认识并不深刻.高三学生对于数列已具备一定的认知基础，我们从数学建模角度来看高中数学的数列教学，以现代买房中的数学为切入点做一些深入探讨，旨在帮助教师改进数列教学，让学生体悟数学知识的实用性.在课堂中，教师让学生根据具体的实例，抽象出相应的数学模型，分析出这是哪一种数列，进而采用相应的公式来解决生活实际的问题，开阔学生的学科视野.

二、数学建模教学

早在1983年，清华大学的萧树铁教授就在高校开设了数学建模课程，还组织了教师培训班，培养教师的数学建模能力.这也验证了这句话：要想培养出具有数学建模素养的学生，首先要有懂得数学建模教学的老师.1985年，我国在重庆大学举办了全国数学模型教学研讨会，对数学建模课程教学及教材建设进行了研讨，为数学建模课程的大范围落实提供了可能性.在20世纪80年代，有少量学校进行数学建模教学，为数学建模融入教学积累了经验.到1990年12月，数学专业学生数学建模竞赛在上海市举行，这是国内举行的首次数学建模竞赛.从1994年起，我国规定了每年举办一次全国大学生数学建模竞赛.近年来，数学建模不只存在于在大学教育中，高中数学教学中也有所规定，《普通高中数学课程标准》中提出了包括数学建模素养在内的六大核心素养，在必修和选修课程中都专门设置了数学建模活动与数学探究活动单元，且必修课程建议进行6课时，选修课程建议进行4课时,教师要以课题研究的形式开展教学，而且要求学生完成一个课题研究，并将数学建模核心素养划分为三个水平，要求学生通过高中数学课程的学习，能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型来解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和科学精神.所以教师在平时的教学中要注意培养学生的建模思想，教授给学生建模的方法，训练学生的数学思维，让学生感悟现实与数学的关联，循序渐进地发展学生的数学素养.新课改体现了国家对于教育培养人才的质量规格有所变化，更加重视学生的数学知识的应用能力，不只是教师教，学生学，也要重视学生用.知识的教学不能脱离生活情境，学生如果学了知识，在生活中识别不出数学关系，就解决不了问题.长此以往，学生可能会认为除了考试以外数学没有那么大的作用，进而丧失对数学学习的积极性，容易产生懈怠心理.所以数学应用能力的培养对于激发学生的学习兴趣格外重要，教师将建模思想渗透在教学中是十分必要的.

数学建模是将实际问题进行抽象，明确问题中的变量和参数、已知和未知，然后根据已知条件创建他们之间的某种数学联系，再运用所学知识近似地求解.数学建模实际上是一种数学思考方法，它外显为符号化或者形象化的表示，让学生学会用数学语言去表达问题、解决现实问题.在高中阶段的数学学习中，数学建模扮演着重要的角色.例如三角函数、对数函数、统计概率等实际问题都与数学建模密切相连，学生在解决实际问题的过程中已经有了建模的过程，只是很少系统地总结出来.教师通过实际案例的教学，学生自主探索、合作探究，以及教师适时的引导，让学生经历建模的全过程，归纳出数学建模的一般过程，可以提高学生的数学建模素养.

三、教学设计

(一)教学目标

1.掌握数列基本知识，深刻理解并活学活用，学会在具体的问题情境中识别出数学关系，辨别出数列的等差或等比关系，进行问题解决.

2.经历探寻实际问题中的数学元素、发现关系、进行符号化处理、创建起数学模型、通过模型求解实际问题的过程，体验用数学知识来解决问题的一般思路和方法，促进学生数学建模和逻辑推理能力的形成.

3.通过讨论、探究活动，培养学生主动探索、敢于猜想的求知精神，发展学生的数学问题意识、数学创新意识，锻炼学生综合运用知识来解决问题的能力，拓宽学生思维.

(二)教学重难点

重点：数学问题解决及利用数学知识解决现实问题的一般思路和方法.

难点：能在具体的问题中提取、抽象出数学关系，建立数学模型，再进行求解.

(三)教学方法：启发法、讨论法(四)教学过程

1.复习回顾

教师借助PPT，让学生回顾与数列相关的基础知识.

等差数列等比数列定义an+1-an=dan+1an=q(q≠0)通项公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1(q≠0)前n项和Sn=n2(a1+an)Sn=na1+n(n-1)2dSn=a1(1-qn)1-qSn=a1-anq1-q

设计意图：学生通过复习，可以对学过的知识进行巩固，唤起学生认知结构中已有的数列知识经验，为本节课后续的相关学习奠定一定的知识基础，有利于学生将知识系统化，更好地运用所学知识.

2.提出问题

贷款买房已经成为一种新式的买房方式，基本每个家庭都有买房的需求，对于普通工薪阶层来说，要一次性拿出大数额金钱去买房，实在有点困难，应运而生的贷款买房方式成为人们实现买房梦的最优选择，人们对购房决策有不同的看法，不同家庭也会有不同的选择.现有一对夫妇欲购置新房，但缺乏资金，现需要向银行借贷款150万元，贷款年限20年，年利率为0.043，有等额本息和等额本金两种还款方式，请你帮忙分析下，他们用哪一种还款方式更划算?

设计意图：教师从贴近生活的实例出发，引起学生对解决实际问题的强烈求知欲,调动学生的学习兴趣，为以后的数学思维活动构建起感性的认识基础，以增强学生学习的积极程度，使学生感受到数学的实践性,以培养其数理视野，对日常生活中的实际现象展开理性思考，密切联系日常生活实践，使学生感受到数学模型思维的应用落实.

3.合理假设，提出要求

(1)贷款期限确定后，在贷款期内，贷款月利率保持不变.

(2)不考虑物价变化等经济波动的因素.

(3)借款人每月都能按时支付买房贷款所需的偿还款项.

设计意图：在数学上研究问题时，我们要考虑到在相应的条件下问题发生的情况是否合理，所以将案例中可能与实际情况有出入的地方做一些规定，让学生在相对理想的情境中解决问题，避免问题不必要的发散，降低问题的复杂性，将问题难度限制在学生的最近发展区内，将实际问题化为学生力所能及的、通过努力能够解决的问题.

4.分析问题(学生先独立思考，再小组讨论)

师：你能在这个例子中找到已知条件和要求解的目标吗？你能对他们进行符号化吗？

请同学们在小组内部讨论，讨论结束派个代表来阐述你们的想法.

生：已知条件是贷款金额记为a=150万，贷款月数记为m=240月，年利率记为R=0.048,月利率记为p=R/12=0.004.

(等额本金)方案一：第n月的还款金额记为An.(1

(等额本息)方案二：每月还款金额记为x.

求解目标：计算出An和x.

设计意图：明确问题才能更有针对性地解决问题，教师引导学生根据给定的实际问题，提取其中的数学信息，并进行符号化处理，不仅能为后续研究做好准备，还能让学生对问题进行再一次梳理，明确已知条件和求解目标，有利于问题解决.

5.寻找关系，模型假设

师：明确了各个量的符号，那该如何计算、如何还款呢？

生：一片茫然.

师：(PPT演示)老师给出两种还款方式的计算公式，根据刚才我们将各量进行的设定，接下来同学们继续认真思考并讨论，根据我们所学的知识，结合老师给出的计算方法，怎样计算每个月还款金额呢？

方案一：等额本金

每月应还本金=贷款本金÷还款月数

每月应还利息=(贷款本金-已归还的本金累计金额)×月利率

每月还款金额=(贷款本金/还款月数)+(本金-已归还本金累计额)×每月利率

方案二：等额本息

每月还款额=[贷款本金×月利率×(1+月利率)＾还款月数]÷[(1+月利率)＾还款月数-1]

设计意图：教师将两种还款方式给出计算公式，并对其进行解释说明，学生先独立思考，有了初步的想法以后，再小组讨论，得出各量之间的数学关系，并进行合理假设.教师引导学生用学过的知识来剖析问题，了解题目的本质，小组合作学习，发现其中的数学关系，培养学生合作学习、探究学习的意识.

6.模型建立与求解

师：同学们讨论得非常激烈，哪个小组来分享一下？好，请第一组的代表来说.

生1：方案一(等额本金)

设An是第n月的还款金额.

⋮

⋮

上式代入：a=150，m=240，p=0.004，

可求得：Sm=222.3万

a1=1.225a2=1.2225a3=1.22……am=0.6275万

师：说得很好，同学们有不同意见吗？没有的话我们再请一组同学来分析一下方案二.

生2：方案二(等额本息)

m月后的本息总额Sm=a(1+p)m，

设每月还款金额为x,则x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-2+x(1+p)m-1=a(1+p)m，

可知，左侧是首项为x,公比为(1+p)的等比数列，

上式代入：a=150，m=240，p=0.004，

可求得：Sm=391万，x=0.9734万.

设计意图：建立模型是本节课的重点，也是数学建模活动最关键的环节，基于此，以实际问题为驱动，为学生创造了探究发现、合作学习、交流分享的机会.教师使学生亲身体验建立模型、求解模型的过程，使学生分析问题和解决问题的能力有所进步，学生的思维能力得到了有效的提高.学生经历问题解决和模型的建立过程，结合所学的知识，分析出是哪一种数列，进而求解.

7.模型分析

师：非常好！经过大家的努力，我们已经基本把两种方案都解出来了，但是对于这对夫妇，他们该选择哪一种方案呢？请你帮他们选择最佳的方案，并说出理由.

生1：选方案一！因为总还款数比方案一少，可以省下很多钱.

生2：选方案二！因为每个月还的钱数是固定的，而且月还款额较低，对于他们来说压力不会太大.

师：你们讲得都非常有道理.我们来列个表格对比下：

方案一方案二借款总额150万元150万元还款本息总额222.3万元391万元每月还款额1.225,1.2225,…0.6275万元0.9734万元

如表所示，方案一每月还款数额不同，起始几个月还款数额较大，以后的每月逐次递减，从1.225万元递减到 0.6275万元，初期还款压力较大，后期还款数额越来越小，减轻了还款压力，方案一总还款额低于方案二，省了 168.7万元；方案二每月还款金额较为固定，为0.9734万元，每月还款金额对大多数家庭来说易于接受，但缺点是其总共还款金额过多，为391万元.总的来说，两种方案各有利弊，我们应该根据家庭收入情况合理地选择.

设计意图：学生通过合作学习和自主探究，认真分析问题，步步深入，经历数学建模活动的全过程，进而将还款问题归结到我们学过的数列问题，进行灵活运用来解决问题.教师将建模思想融入高中数学教学中，使学生善于发现问题、提出问题并解决问题，学生能尝试用数学语言来表达问题，感悟数学知识与现实生活之间的联系，学会用数学模型解决实际中的问题，积累数学经验，提升实践能力，增强创新意识.

8.课堂小结

师：同学们，通过这个问题的解决，再遇到类似情景，你知道如何选择了吗？这节课你还有什么收获呢?

生1：我知道了贷款买房还款的方式有两种，而且等额本金的总还款额最少.

生2：我懂得了利用我们所接触的数列知识可以解决许多生活中看起来很复杂的问题，那些问题经过数学工具的提炼和简化就迎刃而解了.

生3：这节课我们交流讨论，相互合作来解决问题，让我体会到了团结合作的力量，让我更喜欢数学了.

师追问：通过本节课的探究，你能总结出数学建模的一般思路和方法吗？

生4：提出问题——合理假设——分析问题——建立模型——求解模型——分析模型.

教师板书数学建模一般过程.

四、总 结

在上述教学案例中，教师引导学生通过分析具体实例，利用其中数学的信息，抽象出数学模型，并进行分析并求解，让学生感受并参与数学建模的全过程，在自主探究的过程中提升应用意识和创新能力.

将数学建模思想融入高中数列的教学，使学生深刻理解数列在实际生活中的应用，反映数学的应用价值，还能够促进学生思维的培养.培养高中生的数学建模能力不是一蹴而就的，教师需要在日常教学中逐渐培养学生的数学建模意识，使其成为一种习惯和思考方法.教师在高中数学教学中适当地开展数学建模教学，符合学生发展的需要，符合社会发展的需要，有利于激发学生的数学探究兴趣，有利于增强学生的应用意识和数学创新能力.