蜂窝夹芯结构振动特性研究

许笛枫

(中国飞行试验研究院飞机所，陕西 西安 710000)

0 引言

蜂窝夹芯结构在航空航天领域广泛应用[1]，其面临苛刻的振动环境。研究复合材料蜂窝夹芯结构的振动特性对蜂窝夹芯结构在飞行器上的成功运用，避免结构因振动产生破坏，保证飞行器安全具有重要意义。

蜂窝夹芯结构是一种具有特殊芯子形式的夹芯结构，其动力学分析模型主要基于三种理论：经典层合板理论、一阶剪切变形理论和高阶剪切变形理论。基于一阶剪切变形理论Ressiner理论与Hoff理论，中国科学院北京力学研究所给出了结构的振动控制方程和固有频率解析解[2]；王胜春基于一阶剪切变形理论建立了蜂窝夹芯结构横向振动方程，通过引入位移函数和偏微分算子对方程进行简化并给出解析解[3]；郝家琼对一阶剪切变形和高阶剪切变形理论进行了对比研究，给出了各理论使用范围[4]。另有一些研究采用有限元软件建立结构等效模型或几何特征模型对蜂窝夹芯结构振动特性进行了分析[5-7]。

本文对蜂窝夹芯结构的振动特性进行了研究，在一阶剪切变形假设上，推导了将材料参数等效后的正交各项异性蜂窝夹芯结构横向振动控制方程，计算具体尺寸结构的固有频率，与其试验值、有限元计算值进行比较分析，同时研究结构参数变化对结构振动特性的影响，研究结构固有频率随面板、芯子等参数变化的一般规律。

1 横向振动控制方程

蜂窝夹芯结构由上下两层面板与蜂窝芯子组成。考虑芯子上的剪应力影响，基于一阶剪切变形假设建立蜂窝夹芯结构的振动控制方程。

1.1 一阶剪切变形基本假设

采用等效法[8]将芯子等效为厚度、体积不变的实心结构，对等效后的实心夹芯板进行分析。在图1所示的坐标系中，根据一阶剪切变形基本假设，结构中的位移场函数可假设为式(1)的形式：

(1)

式中，u0、v0、w0为结构中面位移，ψx、ψy为结构中面法线转角：

(2)

图1 蜂窝夹芯结构单元坐标示意图

1.2 位移-应变-应力关系

由式(1)假设的位移场函数，根据位移-应变关系，结构中的应变分量可表示为：

(3)

对于面板为复合材料层合板的蜂窝夹芯结构，等效后可将结构整体视为厚度较大的层合板结构，对该结构，其各层的应力-应变关系可表示为式(4)的形式：

[σ]k=[Q]k[ε]

(4)

其中，[σ]k、[Q]k、[ε]分别表示各层复合材料单层板及等效后芯子的应力矩阵、刚度矩阵和应变矩阵。

1.3 合力、合力矩与平衡方程

根据复合材料层合板理论，对图1所示的厚度为h+2t蜂窝夹芯结构单元体进行分析，应力合力与合力矩可以表示为：

(5)

由于等效后芯子具有弱各向异性，以及复合材料面板由正交各项异性单层板堆叠而成，因此对于合力和合力矩的计算需要根据结构进行分层积分。

1.4 横向自由振动控制方程

根据哈密尔顿原理[8]，蜂窝夹芯结构的动力学平衡方程可表示为：

(6)

忽略体力影响，蜂窝夹芯结构的横向振动控制方程可用式(6)的后三项表示：

(7)

式(7)可以表示为如下形式：

(8)

由式(1)-式(5)其合力与合力矩即可表示为式(9)的形式，式中Dij为结构的抗弯刚度，Cij为结构的剪切刚度，通过经典层合板理论在夹芯结构厚度方向上积分得出。

(9)

蜂窝夹芯结构的上下面板一般具有对称性，结构整体为正交各项异性，对正交各项异性蜂窝夹芯结构有：

(10)

且根据式(1)与式(2)假设的一阶剪切变形位移场函数，有：

(11)

式中，Gcxz与Gcyz为蜂窝芯子等效剪切模量。

综合上述推导，将式(9)代入式(7)，结合上两式可得一阶剪切变形假设下的蜂窝夹芯结构横向自由振动控制方程：

(12)

2 结构固有频率

求解式(12)所示的结构横向自由振动控制方程即可得出结构的固有频率。式(12)中含有w、ψx和ψy三个广义位移，求解较难，对于此种方程的求解一般可采用Navier法[9]和Levy法[10]。本节选用一种引入偏微分算子和位移函数的方法，给出了方程求解和结构固有频率的计算方法。

2.1 横向振动控制方程求解

通过引入偏微分算子和广义位移函数，可将式(12)给出的蜂窝夹芯结构横向振动控制方程表示为如下形式：

(13)

式中：

U1=

U2=-(D12+D66)·

(14)

化简式(14)并代入式(13)，可得出仅含有位移函数χ的正交各向异性蜂窝夹芯结构的自由振动控制方程：

=0

(15)

式中：

(16)

2.2 固有频率求解

在四边简支边界条件下，求解长为a(L向)、宽为b(W向)、高为h+2t(h为芯子高度，t为面板厚度)蜂窝夹芯结构的固有频率。此时位移函数w可用式(17)表示：

(17)

用广义位移函数χ可表示为如下形式：

(18)

广义位移函数χ的解有如下形式：

χ=Asinkm1xsinkm2yejωmt

(19)

式中，ωm为结构第m阶固有频率，km1=m1π/a，km2=m2π/b，(m1，m2)为模态序数。

将广义位移函数式(19)代入横向自由振动控制方程式(15)中可得：

=0

(20)

由式(20)即可得出在四边简支边界条件下矩形正交各项异性蜂窝夹芯结构自由振动固有频率解：

(21)

式(21)即为一阶剪切变形假设下正交各项异性蜂窝夹芯结构四边简支条件下的固有频率解，可以看出其形式较为复杂。

3 蜂窝夹芯结构振动特性

根据式(21)，在对蜂窝夹芯结构进行等效后即可得出结构在四边简支边界条件下的自由振动固有频率。分别对两个算例进行计算，研究蜂窝夹芯结构的振动特性。

算例一：采用本文固有频率解法，计算蜂窝夹芯结构振动固有频率，与试验值、有限元软件Abaqus计算值进行比较。尺寸为a×b-1.83 m×1.22 m，芯子高度为6.35 mm，上下面板厚度均为0.4064 mm。材料性能参数见表1[11]。

表1 结构材料属性

考虑芯子的面内弹性性能，结构前六阶固有频率计算值与试验值、有限元软件计算值比较见表2(文献中未给出结构一阶固有频率试验值)。

表2 试验值与计算值比较

由表2可以看出：采用本文方法计算和有限元分析得出的结构二阶至六阶固有频率值与试验值接近；本文的计算方法得出的结构第二阶至第六阶固有频率整体小于试验值，采用Abaqus建立的等效模型固有频率值要比试验值偏大。

考虑到与面板的面内性能相比，芯子的面内性能很弱，因此表3给出了忽略芯子的面内弹性的结构前六阶固有频率计算值与试验值的对比。

对比表2及表3中考虑及忽略芯子面内性能后固有频率计算值与试验值可以看出，忽略芯子面内性能对求解结构固有频率的影响非常小。

表3 忽略芯子面内性能的计算值与试验值的比较

算例二：结构整体尺寸为a×b=1.5 m×0.3 m，面板及蜂窝芯子材料均为铝合金，模量E=70 GPa，泊松比μ=0.3，密度ρf=2780 kg/m3，面板厚度t=1 mm，芯子高度h=20 mm，芯子壁厚δc=0.07 mm，芯子等效密度ρc=129.6 kg/m3的蜂窝夹芯结构进行分析，研究不同结构参数变化时结构振动特性的变化。

图2给出了芯子高度不变，随面板厚度t变化的结构前三阶固有频率。可以看出，当面板很薄时，结构近似为整体刚度极低芯子，因此结构固有频率很低。随着面板厚度的增加，蜂窝夹芯结构的结构特点显现出来，固有频率随结构刚度的增加也显著增加。随着面板厚度的进一步增加，结构特征趋于普通夹芯结构，结构刚度增加的同时密度也不断增加，结构固有频率减小，最终趋于平稳。

图2 随面板厚度变化结构前三阶固有频率

图3为结构面板厚度不变时，随芯子高度h的变化的结构前三阶固有频率。可以看出，随着芯子高度的增加，结构固有频率随着刚度的增加而增大，当芯子高度继续增加时，固有频率趋于平稳。

图4为结构整体厚度h+2t不变时，随面板厚度与结构厚度比t/(h+2t)变化的结构前三阶固有频率。可以看出，当面板与芯子厚度比t/(h+2t)大于0.07时，结构的固有频率将随着面板厚度的增加而减小。

图3 随芯子高度的变化结构前三阶固有频率

图4 厚度比t/(h+2t)的变化结构前三阶固有频率

图5为结构整体尺寸参数不变，结构前三阶固有频率随芯子密度的变化。随着芯子密度的增加，结构整体质量增加，结构固有频率降低。

图5 不同芯子密度的结构前三阶固有频率

4 结论

本文基于一阶剪切变形假设，推导了等效后正交各向异性蜂窝夹芯结构的横向自由振动控制方程，使用一种基于偏微分算子和位移函数的方程解法计算了结构的固有频率，对蜂窝夹芯结构振动特性进行了研究。

(1)使用本文方法计算得出的结构固有频率值比试验值相差较小，计算值比试验值偏高，与有限元计算结果结合，可以确定结构振动固有频率上下限。

(2)芯子的面内性能对结构固有频率的影响很小，忽略蜂窝芯子的面内性能对结构振动特性的影响。

(3)增加面板厚度与增加芯子高度都能增加结构整体的弯曲刚度。芯子高度增加，结构固有频率增加。芯子本身面内弹性性能很弱，因此其自身抗弯能力有限，但其结构高度较大，因而当面板与芯子共同组成夹芯结构时，其弯曲刚度较高，固有频率显著增加，而随着面板厚度不断增加，其作为夹芯结构的特征降低，结构固有频率降低。

(4)结构整体厚度不变，结构面板厚度相对增加，结构固有频率先增加后减小。同时对于一般蜂窝夹芯结构，其面板、结构厚度比通常大于0.07，因此对于一般蜂窝夹芯结构，增加面板相对厚度，对结构惯性增加的影响大于对结构刚度增加的影响，结构固有频率会随之减小。

5 注释表

项 目注 释项 目注 释U,V,W广义位移ψx,ψy中面法线转角Qx,Qy剪应力h芯子高度t面板厚度εij应变[σ]k应力矩阵[Q]k刚度矩阵Nij合力Mij合力矩q体力ρ密度Dij弯曲刚度Cij剪切刚度Gcxz,Gcyz芯子等效剪切刚度ρc芯子等效密度ρf面板密度χ广义位移函数ωmm阶固有频率(m1,m2)模态序数f固有频率