如何由递推式求数列的通项公式

李志娜

由递推式求数列的通项公式问题在数列中比较常见，此类问题的难度一般不大，但题型多变，需根据递推式的形式、特点，采用不同的方法进行求解.本文重点探讨一下三类递推式以及求数列通项公式的方法.

一、a=pa+q型

对于形如a=pa+q（p、q为非零常数）的递推式，当p=1时，数列{a}是等差数列，可直接根据等差数列的通项公式进行求解;当p≠1时，需设a+t=p（a+t），将其与a=pa+q中a的系数、常数进行对比，求得t的值，以便构造出等比数列{a+t}，进而根据等比数列的通项公式求得{a}的通项公式.

例1.已知在数列{a}中，a=1，a=2a+3，求数列{a}的通项公式.

解：设a+t=2（a+t），

则a=2a+t，

由a=2a+3可得t=3，

故数列{a+3}是首项为a+3=4，公比为2的等比数列，

所以a+3=4·2，

因此数列{a}的通项公式为a=2-3.

引入参数t，便可构造出首项为4、公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式.解答本题，关键是根据递推式的特点设出新的关系式，据此构造出等比数列.

二、a=pa′型

当遇到形如a=pa′（p>0，且p、r为非零常数）的递推式时，可在递推式a=pa′的左右两边同时取对数，得到lga=rlga+lgp.当r=1时，{1ga}是公差为lgp的等差数列，运用等差数列的通项公式即可求得数列的通项公式;当r≠1且p=1时，{lga}是公比为r的等比数列，可根据等比数列的通项公式解题.当r≠1且p≠1时，需将问题转化为a=pa+q（p、q为非零常数）型数列的通项公式问题进行求解.

例2.已知数列{a}中，a=2，a=a，求数列{a}的通项公式.

解：由题意可知a>0，

在a=a的左右兩边同时取对数得lga=1ga，

∴lga=3lga，

∴数列{lga}是首项为lga=lg2、公比为3的等比数列，

∴lga=3lg2=lg2，

∴{a}的通项公式为a2.

本题中的递推式为。a=pa′型，且r≠l，于是在递推式的左右两边同时取对数，得到lga=3lna，构造出等比数列{lga}，根据等比数列的通项公式就能求得{a}的通项公式.

解答本题的关键是在递推式的左右两边同时取倒数，构造出等差数列.此类递推式的特点是：（1）递推式为分式;（2）分子、分母中同时含有a或a.

由此可见，由复杂的递推式求数列的通项公式，可通过引入待定系数、取对数、取倒数等方式，将递推式进行变形，以便构造出等差数列或等比数列，将问题转化为常规的等差、等比数列问题来求解.