整体建构图形关联 变式发展空间观念——《立体图形的表面积和体积复习》教学设计

文|慕振亮（特级教师）

【教学内容】

青岛版五四制五年级下册总复习第123页“图形的认识与测量”。

【教学过程】

一、知识整理，导入课题

师：今天这节课，我们对立体图形表面积和体积这一单元的知识进行回顾与整理。课前已经布置对立体图形进行自主梳理总结复习。下面我们一起来汇报交流一下，想一想，我们都研究过了哪些立体图形？

生：长方体、正方体、球体、圆柱体和圆锥等。

1.回顾整理立体图形的体积。

师：我们先来复习立体图形的体积，下面请同学们回顾一下我们学过哪些立体图形的体积计算公式及它们的推导过程？

生：我们在研究长方体的体积计算公式时，用摆小正方体的方法，一行摆几个，就是长方体的长；摆几行就是长方体的宽；再看摆几层，就是长方体的高。这样就得出长方体体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高。

师：通过拼摆小正方体推导出长方体的体积计算公式，那正方体的体积计算公式呢？

生：也是用摆小正方体的方法，由于正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高都相等时，这时就是棱长，所以正方体的体积=棱长×棱长×棱长。

师：我们是怎样推导出圆柱的体积计算公式呢？

生：我们推导圆的面积计算公式时，将圆形转化成长方形。依此类推，我们把圆柱体积转化成长方体体积，长方体的底面积就是圆柱的底面积，长方体的高就是圆柱的高。长方体的体积=底面积×高，所以圆柱的体积也是底面积×高。

师：圆锥的体积公式又是如何推导来的呢？

生：我们用做实验的方法得出圆锥的计算公式。把一个圆锥容器倒满沙子，倒入与它等底等高的圆柱体容器里，发现圆锥的体积是等底等高圆柱体积的三分之一，从而得出圆锥的体积公式。

2.回顾整理立体图形的表面积。

师：刚才我们对立体图形体积进行了系统的回顾和整理，我们一起再来复习立体图形的表面积，由于圆锥的表面积比较复杂，初中以后我们再继续研究。

生：长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2。

生：正方体的表面积=棱长×棱长×6。

师：圆柱的表面积公式是怎样得来的？

生：圆柱是由两个底面加一个侧面组成。底面积就是圆的面积。圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长就是圆柱的底面周长，长方形的宽就是圆柱的高，长方形面积就是圆柱侧面积。从而推导出圆柱的侧面积等于底面周长×高。得出圆柱的表面积＝侧面积+底面积×2。

【设计意图：让学生自主梳理知识，形成知识网络，掌握“通法”，在回顾的过程中把知识进行串联，让复习课有新意不枯燥。回忆学过的立体图形的体积，在回顾立体图形体积计算公式的推导过程中，让学生体会转化思想的运用以及立体图形中长方体、正方体、圆柱体体积之间的相通性。通过创设实际问题使学生在应用过程中进一步加深对基础知识的理解，增强了学生的应用意识。】

二、系统梳理，串联知识

师：刚才我们一起回顾了立体图形体积计算公式的推导过程，观察一下这些立体图形体积计算公式之间有怎样的联系呢？

生：我觉得长方体、正方体和圆柱是有联系的，如果都以底面为底，向上平移就会得到这样直直的柱体，根据体积=底面积×高来求这样直柱体的体积。

生：它们有共同的字母体积计算公式：V=Sh。

生：通过做实验的方法，我发现等底等高的圆锥的体积是圆柱体体积的。

师：像这样上下一样的直柱体，体积都是底面积×高，而圆锥不属于直柱体，同底等高的圆锥体积是圆柱体体积的。长方体、正方体、圆柱的体积公式都可以用V=sh表示，这几种图形的表面积的计算方法有没有一定的联系呢？

生：圆柱的表面积由3个面组成的，长方体和正方体都由6个面组成的。圆柱的表面积等于侧面积加上两个底面积。长方体的表面积=（底面+左面+前面）×2。

师：如果把这些立体图形展开，观察一下立体图形的侧面积，你有没有新的发现？

生：底面的形状不同。它们的侧面沿高展开都是长方形，长方形的长相当于立体图形的底面周长，长方形的宽相当于立体图形的高。它们的表面积都可以用侧面积加两个底面积得到。有共同的侧面积计算公式，侧面积＝底面周长×高。

生：我们家装修给卫生间贴瓷砖，装修工人要测量卫生间4面墙的面积时，用卷尺绕着底面的四条边一圈，测量出周长来，然后量出高，用底面周长×高得出侧面积，硬硬的墙面如果想象成软软的平面，就是一个大长方形。

师：同学们真会动脑思考，有一双发现数学问题的眼睛。刚才对这部分知识进行了整理，想一想，你是怎样整理的？有什么感受？

生：课前我根据老师布置的任务要求，回去自主整理相关立体图形知识，做成海报形式。

生：我是画了一个思维导图的形式来呈现，将立体图形从形状、特征、表面积、体积几个部分整理完后，我最大的感受是知识是连贯的，像一棵大树一样有根、有枝、有蔓，成为一个体系。

【设计意图：在回顾中整理，在整理中串联，在串联中思考，在这样的情境下，学生并不是进行简单唤醒回顾。在教师的引导下，学生基于生活经验和知识经验，从低阶思维走向高阶思维，回顾过程中学生不仅收获了知识，更主要掌握复习的方法，培养了学生整理问题的意识和能力，发展知识迁移和应用的能力。】

三、拓展提升，巩固应用

1.有一个长方体玻璃鱼缸，由5块玻璃板围成，在运输的过程中，不小心压碎了，而且破损几块看不清楚，只剩下两块完整的，一块长10分米，宽8分米；一块长10分米，宽5分米。

师：你能推断出这个长方体鱼缸有多大容积吗？

生：根据分析可以得出这两个面是相邻的两个面，可以推断出长方体的长宽高分别是10分米、8分米、5分米，所以长方体鱼缸的体积是10×8×5=400立方分米。

师：刚才我们观察长方体有6个面，减少到剩下两个面我们依然能推想出长方体的大小，如果只给一张纸，你还能想办法得到一个长方体吗？

2.一张长是20厘米，宽是14厘米的长方形纸，从长方形纸的四个角剪去同样大小的正方形，用剩下的纸折成一个无盖的长方体小纸盒。（1）如果剪去的正方形边长分别是1、2、3、4……厘米，表面积和体积分别是多少呢？（2）剪去的正方形越大，盒子的容积怎么变？

生：因为小正方形的边长在这里相当于折成新长方体的高，如果剪去的正方形的边长是1厘米，所以确定它的高是1厘米，长是18厘米，宽是12厘米。

生：长方体的表面积=18×12+（18×1+12×1）×2=276（平方厘米）。

生：我想到从一张整体的长方形纸上减去4个正方形，剩余图形的表面积就是新折成长方体的表面积，算式表示20×14-1×1×4=276（平方厘米）。

师：老师观察同学们通常想到第一种方法比较多，很少有人想到第二种方法，换个角度看问题，往往会有意想不到的收获。

生：我算出长方体的体积=18×12×1=216（立方厘米）。

师：这是在长方形纸的四个角剪去边长是1厘米的正方形时的结论。还有不同的剪法吗？谁来说说你得出的结果？

生：我剪去边长是2厘米，表面积是264平方厘米，体积是320立方厘米。

生：我剪去边长是3厘米，表面积是244平方厘米，体积是336立方厘米。

师：下面我把同学们汇报的各种情况整理成表，此时观察这几组数据的变化规律，你有什么发现吗？你推想可能会是什么情况？

?

生：我发现剪去的正方形的边长逐渐增加，纸盒的表面积逐渐变小，体积变化没有明显的变化规律。

生：我不同意这种观点，当剪去的边长是3厘米时，表面积是244平方厘米，体积是336立方厘米。表面积还是继续变小，体积这时是最大的，再往后边长虽然长了，体积却开始变小了。

师：哪位同学又有新的发现？这里面的道理是什么呢？

生：因为随着边长越大，四个角的正方形的面积越大，也就是剩下的表面积变得越来越小，所以边长越大，表面积越小。但是随着四个角的边长变大，长方体的体积变得也越来越大。剪去的边长也就是长方体的高长到一定的程度时，高越长，长方体的长和宽会变小，但是长方体的体积是由长宽高三个因素决定的，所以当底边剪去太大时，体积反而会变小。

师：我们一起通过超级画板来演示一下，一起来验证刚才我们通过计算得出的结论。

通过动态的课件展示学生直观发现的规律。

【设计意图：双减背景下的复习课到底应该有怎样的目标定位？如果仅仅从看看公式做做题的视角上看，是起不到锻炼思维、发展能力的目的。复习课的顺序应该经历一个先“复”再“习”的建构过程。复盘的是原有知识网络的建构。习的是学生基于原点引出生长点，从而达到发展学生的空间观念和批判性思维。从基础练习到有难度的变式练习，从单一平面走向立体空间，学生在二维到三维空间的切换是有困难的，对突破发展立体空间的想象能力方面有难度的，所以在设计时，选择了最后一道剪纸盒题目，在学生已有的长方体体积和表面积基础上进一步探究立体图形与平面图形的关系。帮助学生从二维平面到三维空间转换，借助超级画板辅助学生进行辨析与比较，培养学生的空间想象能力，发展学生空间观念，体会极限数学思想。】