优化问题设计 促进思维发展——特级教师李培芳《集合》教学片断赏析

文|杨国雄

美国数学家哈尔莫斯指出：“问题是数学的心脏。”问题是激发学生兴趣，促进学生知识理解、思维提升的源泉，在数学教学中具有重要地位。教师要善于优化问题的设计，激发学生学习的内驱力，促进学生认知结构的形成和思维品质的提升。近期笔者听了特级教师李培芳老师执教的《集合》一课，令人印象深刻。李老师通过巧妙的问题设计，将抽象的集合知识形象化、趣味化、结构化，促进学生对集合概念的理解，推动学生思维水平不断进阶。现从本节课撷取几个教学片断进行赏析。

片断一：问题引发，激活思维。

师：老师今天准备了一个很简单的问题：5＋3等于几？一起回答。

生：8。

师：那5＋3在什么情况下等于7呢？

生：5＋3在算错的时候等于7。

师：但是有一个真实的故事，在这个故事中5＋3真的等于7。有一天，李老师来到了601班，然后李老师问：爱吃肉的请举手，5个人举手；爱吃鱼的请举手，3个人举手。

师：我们回忆一下，几个人爱吃肉？几个人爱吃鱼？

生：5个爱吃肉，3个爱吃鱼。

师：这时李老师说刚刚举过手的站起来，只有7个人。5个爱吃肉，3个爱吃鱼，加起来应该是几个呀？

生：8个。

师：怎么站起来只有7个呢？1个人怎么说没就没了呢？谁能够来说一说。

生：可能是老师数错了。

师：老师也会犯错，有可能哦！（掌声）但是李老师告诉你，那天老师没数错。

生：有1个人重复了。

师：好棒哦！她一下子就知道了问题所在。（掌声）

生：有1个人忘记站起来了。

师：有没有这种可能啊？（掌声）但是那天举手的都站起来了，但只有7个人。

生：有1个人爱吃肉也爱吃鱼。

师：他也想到了，很棒。（掌声）

师：看来我们班有些同学已经想到了！下面四人小组讨论一下，为什么是7个人？

师：我们请刚才第一个想到的同学，大声告诉大家你的想法。

生：可能有1个人爱吃鱼也爱吃肉。

【赏析：于学生而言，“5＋3=8”是不容置疑的。李老师基于学生的已有认知，抓住了集合运算的新奇处设计问题“5＋3为什么等于7？”，引发学生的认知冲突，激发学生强烈的探索欲望。在教学组织上，李老师没有急于让“学霸”说出答案，而是通过问题的引导、语言的激励让更多的学生卷入到问题的思考中。好的问题，一定是低门槛、开放式的，这样可以让全体学生迅速投入到课堂学习中。课始，李老师用新奇的问题引发学生深度思考，激活了学生的思维，让学生的思考逐步聚焦到集合的交集——重复部分。】

片断二：问题探究，理解概念。

师：现在我们把601班的这种情况摆出来，问题就清楚了。

师：5个人爱吃肉；3个人爱吃鱼。（教师边数边摆磁铁）

师：这个时候出现了什么情况啊？

生：重复。

师：对，有1个人既爱吃肉，又爱吃鱼。重复了。（教师边说边移磁铁）

师：这个同学的名字李老师都猜得到，他的名字应该叫做“小胖”！吃肉的时候，他举手了，1、2、3、4、5；吃鱼的时候，他又举手了，6、7、8。但实际只有7个人，因为重复了。

师：这种情况我们可以用图把它表示的更清楚。老师给大家介绍一个数学概念，这个概念叫做“集合”。（板书：集合）

师：把爱吃肉的人，用一个圈围在一起，这就表示这5个人爱吃肉，这就是一个集合；还有一个集合叫什么集合啊？

生：爱吃鱼。

师：爱吃鱼的集合有几个人？

生：3个。

师：谁能把爱吃鱼的3个人放在这个集合里面？

（学生上台移动磁铁，将“小胖”放进爱吃鱼的集合中）

师：爱吃肉的有几个人？

生：5个。

师：赶紧把“小胖”放过去啊。（学生移动磁铁）

师：爱吃鱼的有多少个？

生：3个。

师：对啊！赶紧把“小胖”放过来。（学生迟疑了）

师：你知道她为什么不拿吗？她很聪明啊！因为她拿过来后，爱吃肉那里就会少一个了。再拿过去的话，爱吃鱼又会少一个了。怎么办？谁愿意上来试一试？

师：小胖要放在哪里？你说。

（学生把爱吃鱼的圈擦掉，准备画图）

师：（让学生停下来）我知道她懂，她这一画就“完了”。她这一画，你们就没机会画了，因为她一下子就把正确答案画出来了。可能她是想到了，但是有的同学可能还没有想到。

师：这样老师给大家一点启发。“小胖”爱吃肉，应该放在圈里对不对？“小胖”也爱吃鱼，也应该放在圈里对不对？那怎么把“小胖”既爱吃肉也爱吃鱼表示出来呢？请大家在《学习单》上画一画。

（学生上台展示，教师结合韦恩图梳理）

师：所以“小胖”放在这个交叉的位置，就能表示“既爱吃肉又爱吃鱼”。

师：刚才大家解决的这个问题，为什么只有7个人呢？因为重复了。好，我们来看课件。

【赏析：学习，起源于问题，发展于问题探究之中。集合是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容。但集合概念是抽象的，三年级学生理解起来存在困难，此时要有恰当的情境带入，要让学生经历、感知、体验知识的产生过程，学生才能深刻理解集合知识的本质。因此，李老师在故事情境的基础上，引导学生围绕问题“5＋3为什么等于7？”展开深入探究，通过教具的直观演示，设计“摆一摆”“辨一辨”“画一画”等丰富的学习活动，让学生经历从集合概念的引入到集合交集的理解，再到集合交集的创造性表示的完整学习过程，从而使学生在知识形成的过程中理解概念的内涵和意义。】

片断三：问题串联，整体建构。

师：接下来老师要讲第三个故事了，谁猜到老师的故事怎么讲？

生：有一天，李老师来到603班，问爱吃肉的举手，有5个，又问爱吃鱼的举手，有3个，结果让他们站起来，发现只有5个人。

师：对啦！（掌声）那你们能把这种情况画出来吗？

（生1上台画图，如下图）

师：我们简单看一看，这个画的有没有道理？这个图里爱吃肉的是有5个人吗？

师：爱吃鱼的圈里是有3个人吗？

师：但是我们可以发现图里爱吃鱼的3个人全部都……

生：爱吃肉。

师：数学上为了清楚地表示这种情况，用了一种新的图。（教师板书两个圈，且存在包含关系）

师：你们现在会表示吗？试着画一画。

（学生1上台展示画法，如下图）

师：他画的对吗？我们来验证一下。大圈是爱吃肉的，小圈是爱吃鱼的。爱吃鱼的有3个吗？数一数。爱吃肉的有5个吗？数一数。

生：是的。（齐数后回答）

师：所以数学就是这样，会想办法把多余的部分省略掉，用最简单的方式把它表示出来。

师：今天我们认识了集合，把爱吃肉的人全部围在一起，爱吃肉就是一个集合了，把爱吃鱼的人全部放在一起，又成了一个新的集合。那请大家思考“5个人爱吃肉，3个人爱吃鱼，爱吃肉和爱吃鱼的一共可能有几个人？”

生：可能有7个人、6个人或5个人。

生：我觉得“5＋3”还可能有8个人，在没有重复的时候。

师：你们听懂他的想法了吗？（掌声）那你能不能上来把这种情况画出来？

（学生上台展示画法，如下图）

师：同学们，这就是“集合”。我们认识的两个集合的位置可能是怎样的啊？

生：分开的；交叉的；大圈包小圈的。（教师指着集合图）

师：今天大家真的掌握的很快，学得也很快！接下来需要大家作出快速反应。

（PPT出示：快速反应——写出所有的可能。5个人是男生，3个人是女生，男生和女生一共可能有几个人？）

生1：我认为可能有8个人、7个人、6个人或5个人。

生2：我也同意他的答案，可能是8、7、6、5。

生3：不可能有人既是男生又是女生的。

师：跟大家说说你的答案是？

生3：8。

师：为什么只有一个答案8？

生3：因为不可能有人既是男生，又是女生。

师：所以这时“5＋3”一定等于？

生3：8。

【赏析：“双减”背景下的数学课堂，要求大力提升教育教学质量，确保学生能在校内学足学好。学“足”的重要体现是教师能以孩子真正接受能力为基础，突破教材的束缚，为学生提供更为丰富、更为多元的学习内容。回顾本节课的教学，李老师没有局限于交集的教学，而是引导学生在理解概念的基础上进一步探究集合的子集、并集，帮助学生整体建构小学阶段集合知识的全貌，让学生的学习“见树木也见森林”，更具结构化。学“好”的表现是学生在课堂上就能轻松地掌握好知识和方法，同时思维能力得到真正的提高。李老师用问题“5＋3等于几？能不能等于7？还能等于几？都能等于8、7、6、5吗？”将本节课的教学串联在一起，用核心问题的持续思考推动学生深度学习的发生，促使学生的数学思维由低阶走向高阶。】

片断四：课堂“留白”，彰显魅力。

师：有一天放学，李老师来到604班，看到几个同学在值日。我就问：你们喜欢吃肉的有几个啊？他们告诉我，5个。我又问喜欢吃鱼的举手，我数了数，有3个。5个爱吃肉，3个爱吃鱼，于是我就跟他们说，你们值日的人数要么是8个，要么是7个，要么是6个，要么是5个。

生：李老师你猜错了，我们有9个人。

师：“5＋3”怎么会等于9呢？

师：这个问题今天肯定是解决不了了，你们回家再想吧！留个问题回家想会更有意思。

【赏析：课堂的适当“留白”，可以调动学生思维的主动性与积极性，让学生基于自己的理解构建认知结构。课末，李老师以问题“5＋3为什么等于9啊？”结尾，看似没有将这节课上完，但这恰恰是李老师喜欢结课方式。在课结束时，给学生留下问题、留下悬念，也就给学生留下了思考的空间，让学生在课后、在家中继续思考，起到“言有尽而意无穷”的效果。课已停，思不止，这就是数学课堂理想的样态。】