钟表时针和分针对称问题的求解公式

蔡少毅

王平华（福建省泉州师范学院数计学院竞赛数学研究中心362000）

【摘要】探讨钟表上时针和分针关于整点的对称问题，对原有时针和分针的夹角公式作进一步拓展，推导出的对称问题的求解公式并举例应用.

【关键词】时针;分针;夹角;对称

公务员考试的行测试题中经常出现关于钟表的问题，例如：“当5点刚过多少分时，时针和分针离“5”的距离相等，并且在“5”的两边？”（下称例1），等等.这就是钟表上时针和分针的“对称”问题.本文借助时针和分针的夹角公式，作进一步拓展，得出用于解决钟面问题中的时针和分针对称的一般的求解公式，并举例应用.

在钟表上，时针与分针是同时作旋转运动.每小时时针转过30°，同时分针转过360°，时针与分针的转速比为1：12.本文中把时间的h点m分记为h：m，并且当m≥60时，h：m=（h+1）：（m-60）;

当m<0时，h：m=（h-1）：（m+60）.

首先介绍夹角公式.

公式1设时间h：m时，分针相对于时针的夹角为θ°，则

事实上，如果定义了夹角的方向，即按顺时针方向旋转时针位于分针前面时，该关系式可改写为

60h-5.5m=θ，②

30h-5.5m=m.③

把h=5代入式③得

1关于水平线对称

例2早晨7点到晚上7点的12个小时内.

①钟面上时针与分针第一次关于水平线（“3”与“9”的连线）对称是几点几分？

②时针与分针有几次关于水平线对称？

解从9点到7点，即时针倒退2小时，相应分针增加120分钟，把式③改写为

30（h-2）-5.5m+120=m，④

并把h=9代入式④得

依照上述方法，本文可依次倒退若干小时（0小时至12小时），得到13个关于与水平线相应的对称时间.

2对称公式

受上面的例子和公式的启发，本文进一步探讨时针和分针关于整点对称问题，给出求解公式.

公式2设時针和分针关于整点刻度线l（l=0，1，2，…，11）对称，则分m和时h有关系式：

时旋转至为两针关于l为对称位置时的时间是h：m.下面分别讨论分针与时针的相对位置两种情况：

由于时针和分针旋转的速度比为1：12，则

[30×（l-h）-θ]°+30l°.

例1的解：把h=5，l=5代入式⑤得

例2的解：①把l=9，h=7代入公式②，得

②把l=3，h=0，1，2，3，…，12.这13个数依次代入公式②，得到13次水平对称依次为：

例3有一天课间休息时，小明看了一下墙上的挂钟，时间是9点多，他发现时针和分针正好处在关于铅垂线对称位置，则此时是9点________分.（要精确值）.

由于6点和12（0）点都在铅垂线上，所以可求关于l=12（0）或求关于l=6的对称.

解①把l=12，h=8代入式（7）

②把l=0，h=10代入式（7）

③把l=6，h=9代入式（7）