周雪
【摘要】矩形是特殊的平行四边形,它既是平行四边形的应用又是学习正方形的基础,具有至关重要的作用,探究并证明矩形的判定定理,证明一个四边形是矩形是中考常见的题目,下面对矩形的三个判定方法进行举例说明.
【关键词】矩形;证明
1有一个角为直角的平行四边形是矩形
例1如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿BC方向平移,得到△DEF.
(1)写出由条件“△ABC沿BC方向平移,得到△DEF”直接得到的两个结论,且至少有一个结论是线段间的关系;
(2)判断四边形ACFD的形状,并证明.
分析(1)根据平移的性质,可得到结论;
(2)根据平移的性质可说明四边形ACFD是平行四边形,再根据∠DFE=∠ACB=90°,即可判定四边形ACFD是矩形.
解(1)①AD∥BE或AD=BE;
②∠B=∠DEF.(答案不唯一)
(2)四边形ACFD是矩形.证明如下:
因为△ABC沿BC方向平移,得到△DEF,
所以AD∥CF,AD=CF,
所以四边形ACFD是平行四边形,
因为∠DFE=∠ACB=90°,
所以四边形ACFD是矩形.
例2如图2,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:BD=DC.
(2)若AB=AC时,试证明四边形AFBD是矩形.
分析(1)由“AAS”可证明,得到
BD=DC;
(2)由AF平行且等于BD,得到四边形AFBD是平行四边形,利用等腰三角形三线合一,可知AD⊥BC,即可说明四边形AFBD是矩形.
证明(1)因为AF∥BC,
所以∠AFE=∠DCE,
因为E是AD的中点,
所以AE=DE,
又因为∠AEF=∠DEC,
所以△AEF≌△DEC(SSA),
所以AF=DC,
因为AF=BD,
所以BD=DC.
(2)因为AB=AC,D是BC的中点,
所以AD⊥BC,
所以∠ADB=90°,
因为AF=BD,AF∥BC,
所以四边形AFBD是平行四边形,
又因为∠ADB=90°,
所以四边形AFBD是矩形.
2对角线相等的平行四边形是矩形
例3如图3,已知平行四边形ABCD,若M,N是BD上两点,且BM=DN,AC=2MO,求证:四边形AMCN是矩形.
分析根据平行四边形的性质可得四边形AMCN是平行四边形,只需说明MN=AC即可.
證明因为四边形ABCD是平行四边形,
所以OA=OC,OB=OD,
因为BM=DN,
所以OB-BM=OD-DN,
即OM=ON,
因为OA=OC,
所以四边形AMCN是平行四边形,
因为OM=ON,
所以MN=2MO,
因为AC=2MO,
所以MN=AC,
所以四边形AMCN是矩形.
例4如图4,将平行四边形ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,B交BC于点F.
(1)求证:AC=BE;
(2)若∠AFC=2∠D,连接AC,BE.求证:四边形ABEC是矩形.
分析(1)先根据平行四边形的性质得到AB∥CD,AB=CD,再由CE=DC,可得四边形ABEC是平行四边形,根据平行四边形的性质即可说明.
(2)根据四边形ABCD是平行四边形得到∠ABC=∠D,再由∠AFC=2∠ABC,∠AFC=∠ABC+∠BAF,得到∠BAF=∠ABC,利用等角对等边得到FA=FB,进而得出AE=BC,即可说明四边形ABEC是矩形.
证明(1)因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,AB=CD,
因为CE=DC,
所以AB∥EC,AB=EC,
所以四边形ABEC是平行四边形,
所以AC=BE.
(2)因为四边形ABEC是平行四边形,
所以FA=FE,FB=FC,
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以∠ABC=∠D,
因为∠AFC=2∠D,
所以∠AFC=2∠ABC,
因为∠AFC=∠ABC+∠BAF,
所以∠BAF=∠ABC,
所以FA=FB,
所以FA=FE=FB=FC,
所以AE=BC,
所以四边形ABEC是矩形.
3有三个角是直角的四边形是矩形
分析根据垂线的定义得到∠CEB=∠DEB=∠DFB=90°,可说明四边形ABCD是矩形,由矩形的性质可得.
证明因为BE⊥CD于点E,
DF⊥AB于点F,
所以∠CEB=∠DEB=∠DFB=90°,
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以CD∥AB,
∠EBF=∠CEB=90°,
因为四边形DFBE是矩形,
所以BE=DF.
分析利用平行线的性质可得∠DAB+∠ADC=180°,再根据角平分线可得∠FAD+∠FDA=90°,即∠AFD=90°,同理可得∠BHC=∠HEF=90°,即可说明四边形EFGH是矩形.
证明因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD,
所以∠DAB+∠ADC=180°,
因为AF,DF分别平分∠DAB,∠ADC,
所以∠DAF+∠FDA=90°,
即∠AFD=90°,
同理可得∠BHC=∠HEF=90°,
所以四边形EFGH是矩形.