这样判定矩形

2022-07-06 04:38周雪
数理天地(初中版) 2022年19期
关键词:同理平行线中点

周雪

【摘要】矩形是特殊的平行四边形,它既是平行四边形的应用又是学习正方形的基础,具有至关重要的作用,探究并证明矩形的判定定理,证明一个四边形是矩形是中考常见的题目,下面对矩形的三个判定方法进行举例说明.

【关键词】矩形;证明

1有一个角为直角的平行四边形是矩形

例1如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿BC方向平移,得到△DEF.

(1)写出由条件“△ABC沿BC方向平移,得到△DEF”直接得到的两个结论,且至少有一个结论是线段间的关系;

(2)判断四边形ACFD的形状,并证明.

分析(1)根据平移的性质,可得到结论;

(2)根据平移的性质可说明四边形ACFD是平行四边形,再根据∠DFE=∠ACB=90°,即可判定四边形ACFD是矩形.

解(1)①AD∥BE或AD=BE;

②∠B=∠DEF.(答案不唯一)

(2)四边形ACFD是矩形.证明如下:

因为△ABC沿BC方向平移,得到△DEF,

所以AD∥CF,AD=CF,

所以四边形ACFD是平行四边形,

因为∠DFE=∠ACB=90°,

所以四边形ACFD是矩形.

例2如图2,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.

(1)求证:BD=DC.

(2)若AB=AC时,试证明四边形AFBD是矩形.

分析(1)由“AAS”可证明,得到

BD=DC;

(2)由AF平行且等于BD,得到四边形AFBD是平行四边形,利用等腰三角形三线合一,可知AD⊥BC,即可说明四边形AFBD是矩形.

证明(1)因为AF∥BC,

所以∠AFE=∠DCE,

因为E是AD的中点,

所以AE=DE,

又因为∠AEF=∠DEC,

所以△AEF≌△DEC(SSA),

所以AF=DC,

因为AF=BD,

所以BD=DC.

(2)因为AB=AC,D是BC的中点,

所以AD⊥BC,

所以∠ADB=90°,

因为AF=BD,AF∥BC,

所以四边形AFBD是平行四边形,

又因为∠ADB=90°,

所以四边形AFBD是矩形.

2对角线相等的平行四边形是矩形

例3如图3,已知平行四边形ABCD,若M,N是BD上两点,且BM=DN,AC=2MO,求证:四边形AMCN是矩形.

分析根据平行四边形的性质可得四边形AMCN是平行四边形,只需说明MN=AC即可.

證明因为四边形ABCD是平行四边形,

所以OA=OC,OB=OD,

因为BM=DN,

所以OB-BM=OD-DN,

即OM=ON,

因为OA=OC,

所以四边形AMCN是平行四边形,

因为OM=ON,

所以MN=2MO,

因为AC=2MO,

所以MN=AC,

所以四边形AMCN是矩形.

例4如图4,将平行四边形ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,B交BC于点F.

(1)求证:AC=BE;

(2)若∠AFC=2∠D,连接AC,BE.求证:四边形ABEC是矩形.

分析(1)先根据平行四边形的性质得到AB∥CD,AB=CD,再由CE=DC,可得四边形ABEC是平行四边形,根据平行四边形的性质即可说明.

(2)根据四边形ABCD是平行四边形得到∠ABC=∠D,再由∠AFC=2∠ABC,∠AFC=∠ABC+∠BAF,得到∠BAF=∠ABC,利用等角对等边得到FA=FB,进而得出AE=BC,即可说明四边形ABEC是矩形.

证明(1)因为四边形ABCD是平行四边形,

所以AB∥CD,AB=CD,

因为CE=DC,

所以AB∥EC,AB=EC,

所以四边形ABEC是平行四边形,

所以AC=BE.

(2)因为四边形ABEC是平行四边形,

所以FA=FE,FB=FC,

因为四边形ABCD是平行四边形,

所以∠ABC=∠D,

因为∠AFC=2∠D,

所以∠AFC=2∠ABC,

因为∠AFC=∠ABC+∠BAF,

所以∠BAF=∠ABC,

所以FA=FB,

所以FA=FE=FB=FC,

所以AE=BC,

所以四边形ABEC是矩形.

3有三个角是直角的四边形是矩形

分析根据垂线的定义得到∠CEB=∠DEB=∠DFB=90°,可说明四边形ABCD是矩形,由矩形的性质可得.

证明因为BE⊥CD于点E,

DF⊥AB于点F,

所以∠CEB=∠DEB=∠DFB=90°,

因为四边形ABCD是平行四边形,

所以CD∥AB,

∠EBF=∠CEB=90°,

因为四边形DFBE是矩形,

所以BE=DF.

分析利用平行线的性质可得∠DAB+∠ADC=180°,再根据角平分线可得∠FAD+∠FDA=90°,即∠AFD=90°,同理可得∠BHC=∠HEF=90°,即可说明四边形EFGH是矩形.

证明因为四边形ABCD是平行四边形,

所以AB∥CD,

所以∠DAB+∠ADC=180°,

因为AF,DF分别平分∠DAB,∠ADC,

所以∠DAF+∠FDA=90°,

即∠AFD=90°,

同理可得∠BHC=∠HEF=90°,

所以四边形EFGH是矩形.

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