回归时间的半群作用的局部熵的重分形分析

王威,高晓燕,吴晶晶

(1.南通理工学院基础教育学院, 江苏南通226002；2.南京师范大学数学科学学院, 江苏南京210023)

0 引言

重分形分析是动力系统维数理论中一个热点研究内容，目前主要分为2个部分即重分形谱和发散点集的维数特征。20世纪以来，关于局部熵的研究已经取得了一系列的成果：文献[1-3]分别在Gibbs测度下和具有Specification性质的扩张同胚上对局部熵和加权熵等问题上进行了重分形研究；文献[4-5]也在局部熵的重分形上进行研究,并获得较好的结果；文献[6]讨论广义局部熵的重分形分析。同时对自由半群作用下的熵的研究也较多：文献[7-9]分别在自由半群作用下研究拓扑熵和相关的熵；文献[10]给出自由半群作用下的变分原理；文献[11]研究自由半群作用下的一些性质；文献[12]研究真映射生成的自由半群作用的拓扑熵；文献[13]讨论自由半群的估计熵和Δ-弱混合集。

本文主要是在半群作用下利用回归时间构建了水平集Kα,建立了(q,ζ)熵的重分形分析即对∀α≥0和∀q∈R,有htop(B,A,Kα)=qα+hζ(B,A,q,Kα)。

1 相关定义

设(X,d,T)是动力系统,其中(X,d)是紧致度量空间,T:X→X是连续映射.M(X)为所有弱*拓扑条件下概率测度。若μ∈M(X),假设下列极限存在

其中B(x,ε)表示x的开邻域。

本文思考局部熵谱与Poincare回归的联系，考虑紧致度量空间(X,d),g是X上的连续映射，U为X的子集，∀x∈X,U的第一回归时间定义为

ζU(x)=inf{k>0:gk(x)∈U}。

定义在点x处的局部回归时间熵如下(假设极限存在)：

其中Bn(x,ε)={y∈X:d(gi(x),gi(y))<ε,i=0,1,…,n-1},ε>0。

对于∀Z⊆X,Z≠Φ,q,t∈R,ε>0,n∈N,定义

定义2半群作用的(q,ζ)-熵定义为

现在讨论该极限是否存在。

所以

又-q>0,因此

ψζ(Δ,q,t)≥ψζ(Δ′,q,t)，

进而有

Mζ(Z,q,t,ε2)≥Mζ(Z,q,t,ε1)，

也就是说hζ(B,A,q,Z,ε2)≥hζ(B,A,q,Z,ε1)，即hζ(B,A,q,Z,ε)随着ε的减小而增大,所以极限存在。

存在一个临界值hζ(B,A,q,Z,ε)∈(-∞,+∞)使得

(1)

当q>0时,hζ(B,A,q,Z,ε)关于ε没有单调性。(补充条件)设对于充分小的ε>0有

(2)

2 主要结果及证明

由于对∀g∈Ani都有u(g)∈U,使得g(x)∈u(g)。不妨记Ani对应的U中的元素为

下证Ui即为所求。

因此,把这些链Ui放在一起组成链族Γ={Ui},则Γ是Kα,M,N的一个覆盖。因为对于任何xi∈Kα,M,N有ni>n>N,由前面的结论可得

因为Δ是任一中心覆盖,所以由上面的不等式可得

由Δ的任意性可得

综上所述,对任何s≥qα+|q|δ+t,有

令n→∞,得

得证。

若对q≥0,则对任意s≤qα-qδ+t,有

若对q<0,则对任意s≤qα+qδ+t,有

所以对于任意s≤qα-|q|δ+t,有

由于Γ是覆盖Z的任一链长至少为n+1的覆盖,因此对于任意s≤qα-|q|δ+t,有

由此可知

得证。

定理1对∀α≥0和∀q∈R有htop(B,A,Kα)=qα+hζ(B,A,q,Kα)。

证明考虑α≥0和相应的水平集Kα,若x∈Kα,则

选取单调序列{εM},使得M→∞时,εM→0。设δ>0,记

因此,对固定的x∈Kα,M,存在N0=N0(x,δ,εM),使得对任何n>N0有

令Kα,M,N={x∈Kα,M:N0=N0(x,δ,εM)

下证:对∀α≥0和∀q∈R,则

htop(B,A,Kα)≤qα+hζ(B,A,q,Kα)。

若Kα=φ,不等式两边都等于-∞,显然成立。不妨设Kα≠φ,利用反证法证明上式成立。假设存在α≥0和q∈R,使得

γ=(htop(B,A,Kα)-qα-hζ(B,A,q,Kα))>0。

htop(B,A,Kα)>qα+hζ(B,A,q,Kα)+3γ。

(3)

由h(B,A,Kα,M,N,U)的定义及不等式组(3)可得

M(Kα,N,M,U,qα+hζ(B,A,q,Kα)+2γ)=∞,

令s=qα+hζ(B,A,q,Kα)+2γ,t=hζ(B,A,q,Kα)+γ-|q|δ，由引理1得

Mζ(Kα,N,M,q,hζ(B,A,q,Kα)+γ-|q|δ,εM)=+∞。

(4)

事实上，

hζ(B,A,q,Kα,εM)≥hζ(B,A,q,Kα,M,N,εM)。

由等式(1)可得

Mζ(Kα,N,M,q,hζ(B,A,q,Kα)+r-|q|δ,εM)=0，

这与等式(4)矛盾,所以结论成立。

再证相反过程:对∀α≥0和∀q∈R,有htop(B,A,q,Kα)≥qα+hζ(B,A,q,Kα)。

若Kα=Φ，不等式两边都等于-∞,显然成立。不妨设Kα≠Φ,利用反证法证明该定理.假设存在α≥0和q∈R,使得

(5)

由h(B,A,Kα,N,M,U)的定义及不等式组(5)可得

M(Kα,N,M,U,qα+hζ(B,A,q,Kα)-2γ)=0，

令s=qα+hζ(B,A,q,Kα)-2γ,t=hτ(B,A,q,Kα)-2γ+|q|δ，由引理2得

Mζ(Kα,N,M,q,hζ(B,A,q,Kα)-2r+|q|δ,εM)=0，

(6)

但是对于充分大的M、N,有

hζ(B,A,q,Kα,εM)≤hζ(B,A,q,Kα,M,N,εM)+γ，

所以hζ(B,A,q,Kα)-2γ+|q|δ≤hζ(B,A,q,Kα,M,N,εM)。由等式(1)可得

Mζ(Kα,N,M,q,hζ(B,A,q,Kα)-2r+|q|δ,εM)=+∞，

这与等式(6)矛盾，所以结论成立。

综上所述,定理1得证。