四阶张量的Z-特征值包含集及其应用

罗锦程, 赵建兴

(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院, 贵州 贵阳 550025)

1 预备知识

设m和n是正整数,且m,n≥2.用[n]表示集合{1,2,…,n},用R(C)表示实(复)数域,用Rn(Cn)表示n维实(复)向量的全体,用R[m,n]表示m阶n维实张量的全体.设

x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn.

设

A=(ai1i2…im)∈R[m,n],

即

ai1i2…im∈R,ij∈[n],j∈[m].

Ax

满足

▽Axm=mAx,

则称A为弱对称张量[1].

Axm-1=λx,xTx=1,

(1)

(Axm-1)

ρ(A)=max{|λ|:λ∈σ(A)}

弱对称非负张量的Z-特征值和Z-特征向量在统计数据分析中的最佳秩一逼近中发挥着关键作用[4].张量的最佳秩一逼近,是求一个秩一张量κxm=(κxi1xi2…xim),使‖A-κxm‖F达到最小值,其中κ∈R,x∈Rn且xTx=1,‖A‖F为A的F-范数

Qi[5]证明了:κxm是A的最佳秩一逼近当且仅当κ是A的按模最大Z-特征值,x是与κ相对应的Z-特征向量.Zhang等[1]证明了:若A是弱对称非负张量,则ρ(A)是A的按模最大Z-特征值.因此,当A是弱对称非负张量时,ρ(A)xm0是A的最佳秩一逼近,x0是与ρ(A)相对应的Z-特征向量,即

(2)

另外,在文献[6-7]中,

(3)

被用来估计贪婪秩一更新算法的收敛速度.显然，若ρ(A)的上界小于‖A‖F,则可以给出(2)式和(3)式的非零下界.

最近,许多专家学者对张量A的Z-特征值和Z-特征向量进行了定位(分布、估计和计算)[8-24],其中文献[8]给出了A的Geršgorin型Z-特征值包含集和Z-谱半径的一个上界.

定理 1.1[8]设A=(ai1i2…im)∈R[m,n],则

其中

Ki(A)={z∈R:|z|≤Ri(A)},

R

定理 1.2[8-9]设A∈R[m,n]是非负张量,则

ρ(A)≤

为了对Z-特征值进行更精确的定位,文献[10]获得了如下Brauer型Z-特征值包含集.

定理 1.3[10]设A=(ai1i2…im)∈R[m,n],则

其中

Ψi,j(A)={z∈R:(|z|-R

RΔji(A)Rj(A)},

RΔj

R

由定理1.3中的Z-特征值包含集,文献[10]获得Z-谱半径的如下上界.

定理 1.4[10]设A∈R[m,n]是弱对称非负张量,则

2 主要结果

RΔji(A)=

|a

|aijii|+|aiiji|+|a

|aijlk|+|aikjl|+|aiklj|+|ailkj|+|ailjk|),

R

|ailsk|+|aiskl|+|aislk|).

显然

R

接下来,针对四阶张量,给出一个比定理1.1和定理1.3中的Z-特征值包含集更精确的包含集.首先列出一个引理.

引理 2.1[11]设x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn且

则

定理 2.1设A=(aijkl)∈R[4,n],则

其中

Ωi,j(A)={z∈R:

(|z|-r

rΔj

r

rij(A)=|a

证明设λ是A的Z-特征值,

x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn{0}

0≤|xk|≤1,k∈[n].

0<|xt|3≤|xt|≤1.

λx

a

(atjtt+attjt+atttj)x

a

由引理2.1可得

|xj|3≤|xj||xj||x
|xj||xt|2≤|xj|,j≠t;
|xj|2|xk|≤|xj||xk||x
|xj||xk|2≤|xj||xk||x
|xk|3≤|xk||xt||x
|xj||xk||x
|xk|2|xl|≤|xk||xt||x
k≠l≠j;
|xk||xl||x
k≠l≠s≠j.

由此可得

|λ||xt|≤|atjjj||xj|3+


|atjtt+attjt+atttj||xj||xt||xt|+

atljk||xj||xk||xl|+|atttt||xt|3+

atklk+atlkk||xk||xk||xl|+

atslk||xk||xl||xs|≤


|atjtt+attjt+atttj||x
atjlk+atkjl+atklj+atlkj+atljk||xj|+
|atttt||x


atskl+atslk||xt|=
rΔjt(A)|xj|+r

即

(|λ|-r

(4)

λxj=a

a

ajlsk+ajskl+ajslk)xkxlxs

(5)

和不等式

|xt|3≤|xt|,

|xk||xt||x

得

|λ||xj|≤|ajttt||x

ajslk||xk||xl||xs|≤

|ajttt||x

ajskl+ajslk||xt|=rtj(A)|xt|,

即

|λ||xj|≤rtj(A)|xt|.

(6)

(|λ|-r

(7)

即

λ∈Ωt,j(A).

(8)

在(4)式中若|xj|=0,由|xt|>0可得

这时(7)式仍然成立.再由j的任意性得

进一步，可得

定理 2.2设A=(aijkl)∈R[4,n],则

σ(A)⊆Υ(A)=

其中

Υi,j(A)={z∈R:|z|<

证明设λ是A的Z-特征值,

x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn{0}

a

进而得

|ajttt||xt|3≤|λ||xj|+

|λ||x

|λ||xt|+(Rj(A)-|ajttt|)|xt|3.

|λ|≥(2|ajttt|-Rj(A))|xt|2.

若2|ajttt|-Rj(A)>0,则由|x得

|λ|≥(2|ajttt|-Rj(A))|xt|2≥

(9)

若2|ajttt|-Rj(A)≤0,(9)式仍成立.

由(5)式得

a

再取绝对值并应用不等式

max{|xk|3,|xk|2|xl|}≤

|xk||xt||x

|xt||xk||x

得

|ajttt||xt|3≤|λ||x

ajslk||xk||xl||xs|≤

|λ||x

ajskl+ajslk||xt|=

|λ||xt|+(rtj(A)-|ajttt|)|xt|,

进而可得

|λ|≥|ajttt||xt|2-(rtj(A)-|ajttt|)≥

(10)

由(9)式和(10)式得

|λ|≥max

即λ∉Υt,j(A).再由(8)式得

λ∈(Ωt,j(A)Υt,j(A)).

由j的任意性得

下面对定理1.1、定理1.3、定理2.1和定理2.2中的Z-特征值包含集进行比较.

定理 2.3设A∈R[4,n],则

Υ(A)⊆Ω(A)⊆Ψ(A)⊆K(A).

证明由

Ωi,j(A)Υi,j(A)⊆Ωi,j(A),

i,j∈[n],j≠i

(|z|-r

(|z|-R

(|z|-r

RΔqp(A)Rq(A),

因而可得

z∈Ψp,q(A)⊆Ψ(A).

设A是弱对称非负张量,由定理2.1中的Z-特征值包含集Ω(A),并应用类似于文献[10]中定理5的证明可得ρ(A)的一个新上界.

定理 2.4设A∈R[4,n]是弱对称非负张量,则

其中

由定理2.3易得如下比较定理.

定理 2.5设A∈R[4,n]是弱对称非负张量,则

3 数值算例

例 3.1设A=(aijkl)∈R[4,2],其中

1) 当a=0且b=1时,计算得A的所有不同Z-特征值为0和5.下面对A的所有Z-特征值进行定位.由定理1.1得

K(A)={z∈R:|z|≤30}.

由定理1.3得

Ψ(A)={z∈R:|z|≤27.122 1}.

由定理2.1和定理2.2均得

Υ(A)=Ω(A)={z∈R:|z|≤5}.

容易看出

σ(A)⊆Υ(A)⊆Ω(A)⊂Ψ(A)⊂K(A),

K(A)={z∈R:|z|≤36}.

由定理1.3得

Ψ(A)={z∈R:|z|≤31}.

由定理2.1得

Ω(A)={z∈R:|z|≤6.140 1}.

由定理2.2得

Υ(A)={z∈R:1≤|z|≤6.140 1}=

[-6.140 1,-1]∪[1,6.140 1].

容易看出

σ(A)⊆Υ(A)⊂Ω(A)⊂Ψ(A)⊂K(A),

例 3.2设A=(aijkl)∈R[4,2],其中

容易验证A是弱对称非负张量.经计算,得

(ρ(A),x)=(5.000 0,(0,1.000 0)T)

和

‖A‖F=7.000 0.

下面对A的Z-谱半径ρ(A)进行估计.由文献[8-10,12-22]中相应定理得到的数值结果见表1.

表1显示,由定理2.4得到的ρ(A)的上界小于由文献[8-10,12-22]中相应定理得到的上界,且仅有由定理2.4得到的上界小于

‖A‖F=7.000 0.

进一步地,由(2)和(3)式可得

=

和

这个结果表明贪婪秩一更新算法的收敛速度至少为0.540 1.

表 1 ρ(A)的上界