关于方程的一个注记

董 坤, 廖群英, 张梦蝶

(四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)

1 引言及主要结果

欧拉函数φ(n)(n∈Z+)作为数论中一个非常重要的函数,早在18世纪就由著名数学家欧拉提出,定义为

即1,2,…,n中与n互素的个数[1].关于欧拉函数的研究历来备受关注.文献[2-6]为将Lehmer同余式从模素数的平方推广到模任意正整数的平方,引进了正整数的广义欧拉函数

φ

并给出了φe(n)(n=3,4,6)的准确计算公式.人们也希望利用广义欧拉函数的准确计算公式来讨论一些不定方程的解.近年来,文献[7-9]给出了方程

对正整数

记

并规定Ω(1)=ω(1)=0.

为叙述方便,设正整数n>6,且

n=2α3

其中,α,β,αi≥0,pi为素数且5≤p1

当α=β=0时,ω(n)=k;当α、β仅有一个为0时,ω(n)=k+1;当αβ≠0时,ω(n)=k+2.

定理 1.1当以下条件之一成立时:

(Ⅰ)α=0,β∈{0,1}且pi≡5(mod6);

(Ⅱ)α=1,β∈{0,1}且pi≡5(mod6);

(Ⅲ)α≥2,β∈{0,1},k=1且p1≡5(mod6);

(Ⅳ)β≥2或存在pi≡1(mod6),

(n,d)=

为证明本文的主要结果,需要如下引理.

引理 1.2[4]

φ6(n)=

2 主要结果的证明

情形Ⅰ 若α=β=0且

pi≡5(mod6), 1≤i≤k,

(i) 当k≥2时,对比等式两边奇偶性可知方程无解.

从而原方程等价于

pα1-11(p1-1)+4(-1)α1=6pα1-θ11.

若α1>θ1,则α1≥2,从而p1|4,与p1≥5矛盾,故α1=θ1,即

pα1-11(p1-1)+4(-1)α1=6.

(1)

当α1=1时,代入方程(1)解得p1=11,即

(n,d)=(11,11);

当α1≥2时,因为p1≥5,所以

从而此时方程(1)无解.

经检验(n,d)=(11,11)是原方程的解.

情形Ⅱ 若α=0,β=1且

pi≡5(mod6), 1≤i≤k,

对比等式两边奇偶性可知此时方程无解.

情形Ⅲα=1,β=0且

pi≡5(mod6), 1≤i≤k,

2θpα1+θ1-11(p1-1)+2θ+1pθ11(-1)α1+1=12pα11.(3)

若α1≥2,由方程(3)可知

2θpα1-11(p1-1)+2θ+1(-1)α1+1=12.

(4)

因为p1≥5,所以

从而方程(4)在α1≥2时无解,故α1=1,此时方程(3)即为

2θpθ11(p1-1)+2θ+1pθ11=12p1,

故(θ,θ1)=(0,1)时,p1=11,即

(n,d)=(22,11);

(θ,θ1)=(1,1)时,p1=5,即

(n,d)=(10,10);

(θ,θ1)=(1,0)时,无解.

(-1)α1+α2)=3pα11pα22.

对比等式两边奇偶性可知2⫮d.因为d|n且d>2,故可设

且θ1、θ2不同时为0,从而原方程等价于

pθ1-11pθ2-12(p1-1)(p2-1)-

4(-1)α1+α2pθ1-α11pθ2-α22=12.

(5)

当θ1θ2≠0时,因为p2>p1≥5,所以

从而此时方程无解,故θ1、θ2恰有一个为0.

当θ1=0,θ2≥1时,若θ2≥2,因为

p2≡5(mod6)

且p2>p1≥5,所以p2≥11,从而由

可知此时方程无解,故θ2=1,代入方程(5)可得

pα1-11pα2-12(p1-1)(p2-1)+

4(-1)α1+α2+1=12pα11pα2-12.

(6)

若存在αi≥2,则pi|4,此时无解;若α1=α2=1,代入方程(6)可得

p1p2-13p1-p2-3=0.

将p2=13代入可知无解,所以

因为p1≥5,所以p2-13=1,2,4;又因为

p2≡5(mod6),

所以p2=17,p1=5,即(n,d)=(170,17).

当θ2=0,θ1≥1时,若θ1≥2,由p2≥11,p1≥5可知

从而此时方程无解,故θ1=1,代入方程(5)可得

pα1-11pα2-12(p1-1)(p2-1)+

4(-1)α1+α2+1=12pα1-11pα22.

(7)

若存在αi≥2,则pi|4,此时无解;若α1=α2=1,代入方程(7)可得

p1p2-13p2-p1-3=0,

解得p1=17,p2=5,与p1

(iii) 当k≥3时,对比等式(2)两边奇偶性可知此时方程无解.

经检验

(n,d)=(22,11),(10,10),(170,17)

均是原方程的解.

情形Ⅳ 若α=1,β=1且

pi≡5(mod6), 1≤i≤k,

(-1)Ω(n)2

(8)

(9)

从而此时方程无解,故α1=1,此时方程(9)即为

d(p1-2)=18p1.

因为

gcd(p1-2,p1)=1,

所以p1|d,d=2p1或6p1.当d=2p1时,解得p1=11,即(n,d)=(66,22);当d=6p1时,解得p1=5,即(n,d)=(30,30).

(-1)α1+α2)=9pα11pα22.

对比等式两边奇偶性可知2⫮d.因为d|n且d>2,故可设

且θ、θ1、θ2不同时为0,从而原方程等价于

pα1+θ1-11pα2+θ2-12(p1-1)(p2-1)+

2(-1)α1+α2pθ11pθ22=32-θ2pα11pα22.

(10)

1) 当α1≥3时,由方程(10)可知θ1=α1.因为p1≥5,所以

从而此时方程无解.

2) 当α2≥2时,由方程(10)可知θ2=α2.因为p2≡5(mod6)且p2>p1≥5,所以p2≥11,从而

故此时方程无解.

3) 当(α1,α2)=(1,1)时,代入方程(10)可得

(p1-1)(p2-1)+2=32-θ2p1-θ11p1-θ22.(11)

当θ2=0时,p2|p1-3,与p2>p1矛盾;当θ2=1时,将(θ,θ1)=(0,0)代入方程(11)解得

(p1,p2)=(5,23),

即

(n,d)=(690,23);

将

(θ,θ1)=(0,1),(1,0),(1,1)

代入方程(11)可知此时方程均无解.

4) 当(α1,α2)=(2,1)时,代入方程(10)可得

p1(p1-1)(p2-1)-2=32-θ2p2-θ11p1-θ22.(12)

当θ1=0,1时,由方程(12)可知p1|2,与p1≥5矛盾;当θ1=2时,代入方程(12)可得

p1(p1-1)(p2-1)-2=32-θ2p1-θ22.

(13)

将(θ,θ2)=(0,0)代入方程(13)解得

(p1,p2)=(5,11),

即

(n,d)=(1650,25);

将

(θ,θ2)=(0,1),(1,0),(1,1)

代入方程(13)可知此时方程均无解.

(iii) 当k≥3时,对比等式(8)两边奇偶性可知此时方程无解.

经检验

(n,d)=(66,22),(30,30),(690,23),(1650,25)

均是原方程的解.

情形Ⅴ 若α≥2,β=0,k=1且

p1≡5(mod6),

且θ、θ1不同时为0.

2α-2-(-1)α=3·2α-θ.

(14)

对比等式两边奇偶性可知α=θ,代入方程(14)可得

2α-2-(-1)α=3,

解得α=3或4,即(n,d)=(8,8)或(16,16).

(ii) 当α1=1时,原方程等价于

2α-3(p1-1)-(-1)α+1=2α-1-θ3p1-θ11.

(15)

对比等式两边奇偶性可知

α-1-θ=0

当α-1-θ=0时,若θ1=0,则有

(2α-1-12)p1=2α-1+4(-1)α+1,

解得(p1,α)=(5,5),即

(n,d)=(160,16);

若θ1=1,则有

2α-1p1=2α-1+4(-1)α+1+12,

解得(p1,α)=(5,2)或(5,3),即(n,d)=(20,10)或(40,20).

当α=2,θ=0时,代入方程(15)可得

若θ1=0,则p1|p1+1,矛盾,故θ1=1,解得

(p1,α)=(11,2),

即(n,d)=(44,11).

2α-1pα1-11(p1-1)-4(-1)α+α1=2α+1-θ3pα1-θ11.

若α1>θ1,则p1|4,与p1≥5矛盾;若α1=θ1,则

因为α≥2,p1≥5,所以

故此时方程无解.

经检验

(n,d)=(8,8),(16,16),(160,16),
(20,10),(40,20),(44,11)

均是原方程的解.

情形Ⅵ 若α≥2,β=1,k=1且p1≡5(mod6),即因为d|n且d>2,故可设

且θ、γ、θ1不同时为0.

3γ(2α-1-(-1)α+1)=2α-θ32.

(16)

对比等式两边奇偶性可知α=θ,代入方程(16)可知

3γ(2α-1-(-1)α+1)=9,

解得(α,γ)=(2,1),(3,1)或(4,0),即(n,d)=(12,12),(24,24)或(48,16).

2α-2(p1-1)-(-1)α=2α-θ-132-γp1-θ11.(17)

对比等式两边奇偶性可知α=1+θ,代入方程(17)可得

2α-2(p1-1)-(-1)α=32-γp1-θ11.

(18)

当θ1=0时,若α≥6,则由

2α-2(p1-1)>10p1>9p1+1

可知此时方程无解,故α=2,3,4,5,分别代入方程(18)解得

(p1,α,γ)=(5,4,1),

即

(n,d)=(240,24).

当θ1=1时,若α≥4,因为p1≥5,所以由

可知此时方程无解,故α=2,3,分别代入方程(17)解得(p1,α,γ)=(5,2,1),(11,2,0)或(5,3,0),即(n,d)=(60,30),(132,22)或(120,20).

2α-2pα1-11(p1-1)-(-1)Ω(n)=

(19)

对比等式两边奇偶性可知α=1+θ,代入方程(19)可得

2α-2pα1-11(p1-1)-(-1)Ω(n)=32-γpα1-θ11.

因为α1≥2,所以θ1=α1,又因为p1≥5,所以由

可知此时方程无解.

经检验

(n,d)=(12,12),(24,24),(48,16),
(240,24),(60,30),(132,22),(120,20)

均是原方程的解.

情形Ⅶ 若β≥2或存在pi≡1(mod6),则此时方程等价于

dφ(2α3

对比等式两边奇偶性可知有以下3种情形:

当β=0时,k=1或2,此时若α=0,解得(n,d)=(7α1,7);若α≥1,解得(n,d)=(2α7α1,14)或(2α13α1,13).

当β=1时,k=0或1,此时若α=0,方程无解;若α≥1,解得(n,d)=(2α3·19α1,19)或(2α3·7α1,21).

当β≥2时,k=0或1,此时若α=0,解得(n,d)=(3β,9);若α≥1,解得(n,d)=(2α3β,18),(2α3β19α1,19)或(2α3β7α1,21).

经检验

(n,d)=(7α1,7),(2α7α1,14),(2α13α1,13),
(3β1,9),(2α3β1,18),
(2α3β19α1,19),(2α3β7α1,21)

均是原方程的解,其中α,β,α1≥1,β1≥2.