基于理解设计高质量的学习活动——对“角”一课的简析

林祥华

（福建省厦门市教育科学研究院）

本节课所属章为初中平面几何的起始章，且内容较多，包括角的概念（两种描述）、角的表示法、角的度量和单位换算、角的画法等.其中，概念的抽象、几何语言的应用等对于学生来说都具有一定的挑战性.如何在有限的课堂时间内，突出重点，突破学生学习的难点，避免因内容多而导致的“赶任务、满堂灌”，这在教学处理上是有难度的.

执教教师基于对教学内容和学生的理解，进行了颇具特色的教学处理.

一、亮点

本节课的最大亮点在于教师设计了高质量的学习活动.“高质量”主要体现在以下两个方面.

1.概念形成的学习活动深度思辨

学生与角有关的学习经验主要包括两部分：一是小学阶段对角的基于直观感知的初步认识；二是本章对线段的较为系统的学习.对于学生，角的概念形成的难点在于：角的图形的组成元素及元素之间的关系相对线段更复杂，定义的抽象性与严谨性要求更高.

那么，可以让学生自己经历角的概念形成过程给角下定义吗？

以“角的静态描述”为例，学生分别从实物中抽象三类角（钝角、锐角、直角）的图形后，执教教师提出核心任务“这些图形有什么共同特征？请你给角下一个定义”，并设计以下学习活动.

教师先指导学生独立思考，小组讨论.教学视频中，呈现了两个小组的讨论片段.

甲小组：

生1：我认为角应该是由一个点和两条射线组成的图形.

生2：我认为应该不需要说一个点，两条射线组成的图形就可以，只要端点重合在一起，就可以组成角.射线本身带着端点，所以不需要说“由一个点”.

（同时用两支笔演示.）

乙小组：

生3：角是由一个顶点发出的两条射线组成的几何图形.

生4：先有角，这两条射线重合的端点才可以叫顶点，所以只能说“由一个点发出的”.

在讨论中，学生自然地关注到了角的组成元素、元素之间的关系，甚至关注到了表述的严谨性.

在展示、辨析环节，教师逐个展示了四个小组的结论，并让学生进行辨析.

结论1：由两条射线组成的图形叫做角.

结论2：由两条射线相交而成的图形叫做角.

结论3：由端点重合的两条射线构成的图形叫做角.

结论4：一个点引出的两条射线组成的图形叫做角.

学生判断结论1和结论2错误，并分别画出反例的示意图；判断结论3和结论4正确，并分别说明了理由.

这四个结论不仅具有典型性，还体现了思维的层次性：在小组讨论的基础上，学生通过辨析错误结论、举反例，对角的组成元素及元素之间关系的正确认识呼之欲出，再通过辨析正确结论、说明理由进一步深化认识，完成抽象概括的过程，此时凝练定义水到渠成.

接下来，是形成定义，总结方法.

执教教师在对定义进行解释的同时，指出：“两条射线”是角的组成元素；有“公共端点”指的是组成元素之间的位置关系，引导学生总结给几何图形下定义的方法：描述其组成元素及元素之间的关系.

上述学习活动在核心任务引领下，先放再收，环环相扣、层层递进，始终紧扣概念的关键要素.在活动过程中，学生经历了活跃、自主、深刻的思辨，对角的概念的认识由感性到理性，去伪存真，在理解概念的同时，感受了给几何图形下定义的一般方法.

通常，在概念教学中，我们会在概念形成后设计辨析练习.事实上，学生在概念形成过程中对关键要素进行充分辨析更为重要，也更有效.

虽然本节课内容较多，但执教教师在“角的静态描述”和“角的动态描述”分别用时9分9秒、10分10秒（不含应用练习）.教师在时间上的“舍得”，使学习活动从容有序，为活动质量提供了很好的保障.

2.不同内容的学习活动多样适宜

本节课不同教学内容的主要学习活动如表1所示.

表1

可以看到，教师的活动设计充分考虑了与内容目标、学生认知水平的适切性和学习活动的多样性.

（1）与内容目标、学生认知水平的适切性.

例如，对于构建角的研究思路，学生有关于线段的认知基础.要求独立思考是适切的.而独立思考有助于学生更深刻地感受数学知识的整体性.

又如，角的度量与单位换算是一种规定，教材中对此有较大篇幅的阅读材料，让学生通过自学研读了解相关的数学文化，知道角的度量与单位换算的由来，是符合内容目标与教材编写意图的.

（2）学习活动的多样性.

多样的学习活动使课堂生动活泼、张弛有度，衔接紧凑却无压迫感，充分调动了学生的学习积极性，尤其符合七年级学生的心理特征.

事实上，从教学视频中可以看到，教师对于“学生是学习的主体和思维发展的主体”有强烈的意识，即使是自学研读，也会组织学生交流、展示，让学生自己总结阅读方法.

二、思考

当然，一堂好课，在提供示范、予人启发的同时，也会引发思考.下面就两个方面做简单探讨.

1.关于衔接教学

在“角的动态描述”教学中，教师提出问题：“角这个图形是否包含两条射线之间的部分？”通过活动引导学生得到肯定的答案，并进行了强调.

事实上，到了高中阶段，角的概念将扩展到任意角.任意角是由射线旋转的方向和在该旋转方向上的旋转量进行刻画的.有了任意角之后，以单位圆为工具，引入弧度制，将锐角三角函数推广为任意角三角函数，借此可研究周期变化现象.

因此，从角的旋转方式形成的角度认识角，主要目的是引导学生认识到：角不能仅仅简单看成“有公共端点的两条射线”，还应该注意到两条射线的相对位置.实际上该相对位置是由始边到终边旋转的方向和角度确定的，鉴于学生尚未学习旋转的方向和角度，可以引导学生关注射线旋转过程中扫过的区域，从而感受射线在旋转过程中的位置变化.过于强调“角这个图形包括两条射线之间的部分”，将来对角的概念进行扩展时可能会受认识上的局限.

对于不同学段都会学到的知识，需要我们更多地关注知识的衔接教学，了解不同学段的相关内容及其教学目标有何不同，从而基于联系把握教学的“入口”与“出口”.

2.关于类比推理

在构建角的研究思路的教学中，教师提出问题：“类比线段的研究思路，结合小学时角的研究内容，角将学习哪些内容呢？”

在教学中，我们通常会提出类似问题，引导学生基于数学知识的整体联系发现、研究新知.但就本节课而言，学生的相关认知经验还很单薄，线段与角的图形、度量单位在他们看来相异甚大，两者可以进行类比研究并非顺理成章.

类比是一种推理方式，与归纳推理都是合情推理.在归纳推理的教学中，我们会强调基于一类对象的共同特征或特定规律下结论.但对于类比，往往很少“讲道理”.事实上，类比推理是一种或然性推理，提高类比推理的可靠程度需要考虑两个方面：一是类比对象的相同点要尽量多，这样两者关联度越大，结论就越可靠；二是相同点与推出的结论都应指向本质.也就是说，在进行类比推理之前，至少需大致感受类比对象之间具有某些本质上的相同点，从而感受“为什么可以类比”，之后才解决“如何类比”.这样有利于学生合理应用类比推理，发展数学推理素养.

因此，我们可以进一步思考：如何向学生渗透线段与角具有某些本质上的共同点？何时渗透？上述“类比线段构建角的研究思路”的问题何时提出更为适宜？

三、结束语

从总体上看，本节课教学目标的达成度高，执教教师教态自然亲切，善于营造良好的课堂氛围，巧于激发学生积极主动的数学思考，听来从容沉稳、如沐春风.尤其是活动设计中所反映出来的对数学、教学、学生的理解，充分体现了教师优秀的教学素养，本节课是一节非常值得借鉴和学习的好课.