情境引导·问题驱动·方法提炼——“有理数乘法法则”教学实践与思考

崔 娜

（贵州省贵阳市观山湖区外国语实验中学）

一、背景分析

由小学的算术数到初中的有理数，是数系的又一次扩张.而“引进一种新的数，就要研究相应的运算；定义一种运算，就要研究相应的运算法则、运算律”，这是代数的核心思想.在数系、运算法则和运算律中获得的知识，是可以迁移到后续代数学习中的，这体现了有理数运算教学的思维训练价值.

从本章来看，有理数乘法的学习，类比有理数的加法，既是有理数运算的进一步深入，又是学习有理数的除法、乘方的基础.本节课也较好地体现了类比、分类讨论等数学思想方法，为学生抽象能力、运算能力等数学核心素养的发展提供了丰富的载体.

从学情来看，学生已有的认知经验是小学算术范围内的乘法运算，有理数的加、减法运算，学生也具备一定的观察、分类、对比、归纳、总结等能力.但是，学生对含负有理数的乘法法则的探究和归纳存在一定的困难，这就需要教师组织一些数学活动，予以引导.七年级学生的思维处于从以具体形象思维成分为主向以抽象逻辑思维成分为主的转折期，所以在呈现教学内容时必须注意具体性、形象性，还要有适当的抽象、概括要求.因此，本节课的教学重点是经历有理数乘法法则的形成过程，运用有理数乘法法则进行计算；教学难点界定为“负负得正”合理性的探究.

二、教学实践

1.情境引入，自主探究，发展数学抽象能力

情境：水箱是生活中常用的存储水的工具，在蓄水时，某水箱水位每天升高2个单位长度；排水时，该水箱水位每天下降2个单位长度，取标准水位作为0点.

问题1：在蓄水时，1天后水箱水位的变化量是多少？2天后呢？3天后呢？你能尝试把计算水位变化量的过程列成数学算式吗？

有学生利用加法算式表示，也有学生利用乘法算式表示.

追问1：你能解释这些式子的含义吗？

追问2：这两组算式有什么关系呢？

学生解释算式中各数的实际含义，教师点拨加法与乘法之间的关系，做出“用正号表示水位上升，用负号表示水位下降”“用正号表示几天后”等规定.

问题2：没进水时，水位的变化情况可以列成类似的算式吗？

学生尝试列式，教师适时点拨、引导，板书算式.

问题3：在蓄水时，1天前水箱水位的变化量是多少？2天前呢？3天前呢？你能尝试把计算水位变化量的过程列成数学算式吗？

追问：观察以上算式，你能解释这些式子的含义吗？

学生继续解释算式中数的实际含义，教师点拨，并完善“用负号表示几天前”的规定.

自主探究：类比前面三个问题，请同学们独立完成以下问题，然后组内交流探讨.

问题4：在排水时，1天后水箱水位的变化量是多少？2天后呢？3天后呢？你能尝试把计算水位变化量的过程列成数学算式吗？

问题5：没排水时，水位的变化量可以列成类似的算式吗？

问题6：在排水时，1天前水箱水位的变化量是多少？2天前呢？3天前呢？你能尝试把水位变化量的过程列成数学算式吗？

教师展示学生所列算式，学生充分表达观点，解释算式含义，教师继续纠正学生所列算式中的错误.

教学分析：为了使学生充分感受数学与实际生活的联系，发展学生的抽象能力，本节课由生活中水箱蓄水、排水的情境逐步引出有理数乘法的前三种类型（正数乘正数，0乘正数，负数乘正数）.借助几何画板软件的动态操作，引导学生理解乘法算式中因数、积的实际意义.通过自主探究环节，学生独立完成最后三类乘法算式（正数乘负数，0乘负数，负数乘负数）的抽象.一方面，充分调动学生的主动探究意识，完善有理数乘法的几种类型，继续从生活中抽象算式，体会算式的含义；另一方面，学生充分体验知识的生成过程，为学生探究“负负得正”的合理性积累活动经验，也为后续法则的归类及探讨做好铺垫.

2.“问题串”引导，提升“四能”，突破难点

深入探究：

追问1：观察以下算式，它们的结果正确吗？

1 × 2=2； 1 ×（-2）=-2；

2 × 2=4； 2 ×（-2）=-4；

3 × 2=6； 3 ×（-2）=-6；

0 × 2=0； 0 ×（-2）=0；

（-1）× 2=-2； （-1）×（-2）=2；

（-2）× 2=-4； （-2）×（-2）=4；

（-3）× 2=-6； （-3）×（-2）=6.

追问2：两个负数相乘，结果是正数，你能找到合理的解释吗？

追问3：水箱水位变化的情境，你能给出合理的解释吗？

教师在学生思维有困惑处点拨，演示水箱模拟图，在情境中给“负负得正”以合理的解释.再引导学生调整算式顺序，等待学生再观察、再发现.

追问4：观察这些算式，它们还有什么内在规律吗？

追问5：改变一下这些算式的位置，你能发现数的变化规律吗？

学生逐步发现积的变化规律，从而发现其中一个因数从正因数递减1变成负因数的过程，学生逐步由算式中因数和积的变化规律解释了“负负得正”的合理性.

教学分析：教师适时提出问题串，在学生的困惑处启发学生逐步深入思考，充分交流，学生由小学学过的正数乘正数、0乘正数开始展开思考，逐渐发现积与其中一个因数的变化规律，进而明确了对“含有负数的两数相乘之积符号的认识”，达成本节课的教学目标，突破了本节课的教学难点.尤其，在负负得正合理性解释的过程中，从生活情境中抽象数学算式，又由数学算式寻找实际含义和规律探索两种解释，丰富了学生的思考维度.

3.归纳应用，体会思想方法，发展运算能力

法则归纳：（1）你能给以上算式归类吗？说说你的理由.

学生由积的符号或由因数的符号两个角度进行归类.

（2）你能尝试归纳有理数乘法法则吗？

生1：同号得正，异号得负，任何数与0相乘，都得0.

生2：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0.

（3）师生完善法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，积仍为0.

巩固提升：

（1）计算：8×（-3）.

（3）归纳：在有理数范围内，乘积是1的两个数互为倒数.

（4）总结：有理数乘法运算的一般步骤，即有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值.

教学分析：为了发展学生观察、归纳、总结等能力，采取引导学生观察有理数乘法算式，探讨不同的分类标准，再尝试归纳有理数乘法法则的方法.学生逐步形成对因数的符号与积的符号、因数的绝对值与积的绝对值关系的双重认识，同时渗透分类、归纳等数学思想方法.为了检测学生的学习效果，规范解答，教师示范一道题以后，让学生完成四道题目的计算，并查漏补缺，形成对有理数乘法运算步骤上的共性认知，发展学生的运算能力.

4.及时反思，建构知识体系，提炼一般方法

（1）通过本节课学习你有什么感悟（如图1）？

图1

（2）你还想了解什么？还有哪些疑问？

教学分析：引导学生回顾定理，加深对定理的理解，思考、归纳定理的方式、方法，重知识、更重探究法则的一般方法的提炼，体现运算法则的一致性.在总结的过程中，注重培养学生及时反思的好习惯，引导学生学会学习，坚定学好数学的信心.

三、教学思考

1.在运算教学中，尝试以情境引导

有理数乘法有别于有理数加法，在“负数乘负数”情境的选择上存在两个方面的困难：一方面，现实背景不易寻找；另一方面，对学生的抽象能力和理解能力要求比较高，这些都给有理数乘法背景的寻找增加了难度.以水箱蓄水、排水以及几天后、几天前为情境，解决两个方向的问题.由情境可以得出有理数乘法的所有类型，给学生充分的生活视角和相对全面的问题，学生完整经历数学算式抽象的全过程，逐步落实数学核心素养，启发学生“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”.

2.在运算教学中，重视以问题驱动

具有各自功能价值的问题，依据特定的内在联系、有机组合而成的问题串，既反映一节课的教学内容，又能完整体现一节课的“骨架”，更是启发学生深入思考、探究的重要路径.课堂教学是否成功很大程度上取决于问题或问题串的设计.好的问题可以激发学生的学习兴趣，启发学生思维，帮助学生理解.本节课在“负负得正”合理性的探讨中，通过问题串逐层深入探究，学生既能从实际情境中寻求合理解释，又能通过因数的规律变化进行不完全归纳.至此，学生完成了由实际情境抽象得到算式，再由算式回到情境或者用数的变化规律解释合理性的全部思考，进而突破教学难点，同时提升了学生分析问题、解决问题的能力.

3.在运算教学中，突出一般方法的提炼

在课堂上，学生除了掌握数学知识和方法，还应该明确研究数学问题的一般路径和方法，这是较为重要的，从生活情境抽象数学算式、由数学算式讨论合理解释、发现一般规律，类比有理数的加法，概括有理数乘法法则，体现了研究数学运算法则的一致性和一般观念，学生才会发现问题并提出问题，才会找到探究数学结论的方向.在教学中，帮助学生形成数学的整体观，能够站在一个较高的角度认识本节课内容的意义，这一点尤为重要.引领学生在数学课堂上，体会数学的本质、感悟数学思想方法、形成数学核心素养，为社会培养创造性人才！