基于中空三棱柱透镜测量液相的扩散系数

卢英杰，徐金辉，陈丽洁，吴科延，黄曼莉，罗国平，古 迪

(广东石油化工学院 理学院，广东 茂名 525000)

折射和扩散现象在生活中十分常见，液相的折射率及扩散系数是液相物质的重要参量，借助液相折射率可了解液相的光学性能、浓度、色散和纯度等性质，而扩散系数是描绘不同浓度的液相之间的质量传递行为的物理量，反映了物质分子或原子等扩散速率的大小，在化学电池、生物燃料、生物化学和细胞生物学等科学及工程领域均有着重要应用[1-4]. 扩散系数可基于菲克第二定律间接求解由溶液扩散引起的浓度变化而得，该方法属于通过分析测量溶液浓度变化而得到扩散系数的非稳态测量法[5]，其测量结果较为准确. 常用于液体折射率测量方法包括阿贝折射仪测试法[6]、激光折射法[7-9]和等高度测量法[5,10]等. 本文在高等测量法的基础上，利用三棱柱液柱透镜对光线的折射作用，测量特定时刻特定高度的扩散层的折射率，即可求解待测液体的扩散系数. 此外，本实验项目可作为大学物理设计性实验或拓展实验，可有效锻炼学生的实验操作能力，还能培养学生开展实验的探究性思维.

1 实验原理

菲克第一定律由菲克于1855年提出，表述为：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量J(称为扩散通量)与该截面处的浓度梯度成正比.其表达式为

(1)

扩散物质在扩散介质中的浓度分布随时间发生变化的扩散常称为非稳定扩散，其扩散通量随位置与时间变化.对于非稳态扩散，可根据物质的平衡关系建立第二扩散微分方程.在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值，即菲克第二定律，其表达式为

(2)

如果扩散系数D随x变化不大，可近似看成常量，则式(2)可写为

(3)

其中,t为扩散时间.固溶体中溶质原子的扩散系数D随浓度变化，但为了方便求解扩散方程，可将D看作恒量处理.根据初始条件和边界条件，采用变量代换法求解扩散方程可得：

(4)

E(β)=0.007 3β6-0.085 9β5-0.373 8β4-

0.661 1β3+0.084β2+1.124 5β-0.005.

(5)

在实验过程中通过测得扩散液体高度x及对应时间t，即可求得扩散系数D.

2 实验装置

本实验装置如图1(a)所示，包括：红光一字型激光发射器(650 nm，5 mW),焦距为30 cm的凸透镜,41 mm×35.5 mm×49.8 mm的中空三棱柱液柱透镜(厚度为2.491 mm)和光屏. 具体实验过程如下：1)由激光器发射的线状光束经凸透镜转化为平行光束后，穿过透镜内的液体后会发生折射，最后到达光屏；由于光通过液柱透镜时发生折射，将在光屏D上显示出光束随着时间变化的曲线；2)利用VCdemo(维视采集卡演示程序)软件控制摄像机(内置CMOS)拍摄固定位置处180个时间间隔(固定间隔为30 s)的实验图像，通过MV-U2000图像采集卡采集并存储每个时刻的照片数据，观察并分析不同时刻的数据,最终得到液体扩散系数.

“1959年，我与石鲁奉调北京创作革命历史画。我们一起住在雨儿胡同白石老人的故居。当时我接到的创作题目是《毛泽东同志在广州农民运动讲习所》，他接到的题目是《转战陕北》。开始创作时，我就遇到技术上的问题，农讲所顶楼的大块瓦片怎么才能表现出层次？石鲁告诉我，不要考虑那么多西洋画的透视观念，他让我用传统国画的方法，一层层地按照瓦片的结构画。为此他还给我示范，边讲边画，画了农讲所，还画了石头、竹子等南方景观，我于是受到启发。至今他为我画的这幅草稿还藏在我家里。”

如图1(b)～(c)所示，由于本实验配置的盐水浓度较小，三棱柱液柱透镜内液体的扩散可简化为一维问题来处理，可看作扩散仅在竖直方向上发生，则同一高度处的液面薄层浓度近似相等，因此由激光器发射而来的光束仅在平行于y-O-z面的平面内发生折射. 图1(b)～(c)中的a表示三棱柱内表面的距离，本实验器材中的a最大为34.64 mm，远小于光线在扩散层内发生较大且明显弯曲的值[11].

(a)实物图

3 实验结果及分析

3.1 盐水折射率的测量

实验过程中，先将适量2 mol/L的盐水缓慢注入三棱柱液柱透镜内；接着用胶头滴管将纯水缓缓注入盐水表面；纯水注入完毕后静置一段时间，再开始记录实验图像. 同时，激光发出的光束经过凸透镜后平行于水平面，在液体不同深度均有光线通过. 由于盐水与纯水的浓度差，随着2种液体扩散，形成扩散层，液体分界面将变得模糊. 扩散层中的液体，不同深度则浓度不同，其折射率随深度增加而变化，形成动态分层. 由图1(b)所示，实验前测量出实验仪器的相关参量：中空三棱柱液柱透镜的厚度d=2.491 mm,入射棱柱面与y轴的夹角α=28.93°,出射棱柱面与y轴的夹角β=30.63°,内顶点与x轴的垂直距离y0=32.0 mm,发射光源与x轴的垂直距离y1=29.0 mm,光屏与坐标系原点的水平距离x5=260.0 mm.根据光穿过液柱透镜发生折射而产生的偏移量|y1-y5|与待测液体的折射率n3之间的关系，得到待测液体折射率n3,实现了测量特定时间、特定位置处的液体薄层的折射率的目的.

如图2所示，将测量数据输入光路模拟程序中，即可得到|y1-y5|与折射率n3之间的关系曲线.

图2 |y1-y5|与折射率n3的关系曲线

经指数拟合得到|y1-y5|=0.392 3e4.319 2n3，从而可推出其反函数为

(6)

显然，只需测出光发生折射后所产生的偏移量|y1-y5|，将其代入式(6)，即可得到液体的折射率n3.

3.2 盐水在纯水中扩散系数的测量

本实验属于非稳态液相扩散系数的测定方法. 实验步骤如下：1)将适量2 mol/L的盐水缓慢注入三棱柱液柱透镜内；2)静置一段时间后用胶头滴管将纯水缓缓沿内壁注入盐水表面；3)将纯水与盐水刚接触时的时间记为t=0 s[图3(a)]，每30 s采集扩散图像，共采集180组数据图像. 在纯水缓慢注入的过程中；当t=330 s时，盐水和纯水的折射曲线较为稳定，边界清晰，如图3(b)所示.

(a)0 s (b)330 s

图3(a)～(d)为光屏所记录不同时刻的折射曲线，不同时刻折射曲线的弯曲程度不同，得到了盐水在纯水扩散的动态过程. 实验过程中，通过不同时刻的折射曲线，进一步测得其偏移量. 如图4所示，左上方的1条竖线(直线MN)为直接穿过液柱透镜的空气部分的光束在光屏上的投影，右侧曲线(曲线ABCDE)为穿过三棱柱液柱透镜中扩散液体时发生折射后所产生的折射率分布曲线图.a.清水部分(直线AB)的折射率因液体浓度未改变而一直呈1条竖直的直线，从清水下方的扩散层开始至分界面附近(曲线BC)，折射率梯度将逐渐增大，即随深度的增加而光线向下弯曲的程度越大直至最大(即曲线的拐点处)，接着从分界面处至盐水上方的扩散层处(曲线CD)，折射率梯度将逐渐减小，即随深度的增加，光线向下弯曲的程度越小；b)盐水部分(直线DE)因液体浓度未变而呈1条直线.

图4 偏移量的测量示意图

由于实验条件的限制，实验装置本身存在的仪器误差难以避免，导致所得数据和理论值之间存在误差.所以，该实验选取了4组不同浓度的盐水进行校准.通过测量实测值和理论值之间的误差，对本实验所测得的数据进行修正，从而得到更准确的实验效果.因此，在测得光经过扩散液体而发生折射的偏移量|y1-y5|后，需利用表2测得的误差平均值(-5.8 mm)对其进行校准，从而得到更准确的实验数据.

表1 理论值与测量值的误差

实验过程中所选择的溶液高度要适当，如过高，溶液浓度变化较小，导致图像的宽度变化较小，易造成较大的计算误差；如过低，溶液浓度梯度变化较大，此时扩散系数D是关于浓度的函数，不能将其看作常量，此时菲克第二定律不成立. 为确定合适的高度观测范围，随机选取不同高度处的液面薄层在4个不同时刻的测量数据，将其作为已知量代入式(3)，分别得到对应时刻、不同高度处液面薄层的扩散系数，并与参考文献值进行比较，可得到相对误差. 最后将这些误差进行线性拟合，得到4个时刻不同高度处液面薄层测得的扩散系数相对误差拟合直线，如图5所示. 若使测得数据的相对误差接近于0，x应选取2.2～2.9 mm范围为宜. 因此，选取10组处于2.2～2.9 mm高度范围内的液面薄层计算其扩散系数，并统计扩散系数的平均值，如图6所示.

(a)1 800 s

图6 不同高度处测得的扩散系数

扩散系数均匀分布在1.37×10-3～1.63×10-3mm2/s之间，且10组扩散系数的统计平均值为1.50×10-3mm2/s，与文献值1.49×10-3mm2/s[5]相近，说明该实验具有可行性.

4 结束语

本文通过三棱柱液柱透镜中液相扩散层的光束折射到光屏上获得折射率分布曲线，由折射率分布曲线计算出液体的折射率；根据菲克第二定律在一维无限长扩散下的解，测得2 mol/L盐水在纯水中的扩散系数为D=1.50×10-3mm2/s，该实验测量值与文献参考值1.49×10-3mm2/s相一致. 该方法所需仪器简单，实验结果准确性较高. 在测量液体折射率和扩散系数的基础上，可以在食品、日用化学产品及制药工业等领域有较好的应用潜力.