“双减”背景下对数学解题教学的思考

邢成云 费祯红

【摘 要】解题教学是我国中小学数学教育的重要组成部分。文章在“双减”背景下，从数学解题教学应该教什么题、如何教解题及如何讲数学题等视角依次进行阐释，意在探讨教师应如何选“好题”进行解题、讲题教学，以优化课堂，从根本上解决“双减”问题。

【关键词】“双减”;解题教学;数学;讲题

解题教学是我国中小学数学教育的重要组成部分，它不仅是实现数学课堂教学目标的手段，也是实现其他学科教学目标的重要手段，为此，解题教学一直以来受到我国中小学数学和其他学科教育的重视[1]。我国参加国际学生评估项目（PISA）测试的卓越成绩以及成绩背后沉重的学生负担，给了国人诸多的思考。对于卓越成绩的取得，我国变式理念下的解题教学功不可没，传统数学教学文化的传承意义不菲。但不可讳言，应试教育的痕迹愈加明显，学生的负担愈加沉重，创新思维的发展又步履维艰……在这种背景下，我国的“双减”政策面世。教师作为一线教育工作者自然不能置身其外，而是应该积极探求突破路径。但教师若只盯着作业量的减少来做文章，那无异于头疼医头，脚疼医脚，于事无补。本文主要从数学解题教学应该教什么题、如何教解题、如何讲数学题三个方面展开论述，意在寻求优化的解题教学，努力实现“双减”的高品质落地。

一、数学解题教学应该教什么题

解题需要教什么样的题？所有题都有必要教吗？这就涉及题目甄选的问题。诚然，“题海”无边，我们不可能都去解。为了在有限的时间内实现解题教学的价值，教师就要选“好题”，让学生解“好题”。什么是“好题”？章建跃博士认为，“好题”应与重要的数学概念和性质相关，能够体现基础知识的联系性，解题方法自然、多样，具有自我生长的能力等;从培养思维能力的角度，则指问题是自然的，对学生的智力有适度的挑战性，题意明确、不纠缠于细枝末节，表述形式简洁、流畅、好懂等[2]。波利亚也从侧面说明了何为“好题”，他指出，一个专心、认真备课的教师能拿出一道有意义但不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得学生通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域[3]。这里，有意义但不复杂的题目就是“好题”。有了“好题”，教师就需要帮助学生努力将解决的每一个问题作为范例，用于解决其他问题，让学生在这样的往复中学会思考、发展思维、优化思维。

基于以上认识，笔者确立了这样的选题基本原则：低起高落，能承载起“四基”的巩固，反映数学本质，具有多角度、开发性及发展性，能拨动思维、激荡思维、磨砺思维、发展思维，以实现“四能”的提高。由此，笔者善用两类问题：一是选题目，开发“一题一课”，通过母题（图）变式，串起课堂;二是选题组，用好题组教学，发挥题目的聚合之力，共同服务于课堂主旨。需要注意的是，教师不管使用哪类问题，均应以“四基”的熟练、“四能”的提高作为介质，指向学生思维的历练与发展。

二、如何教解题

解题教学中的解题，不同于普通的解出一道题。普通解题，不管是学生解题还是教师解题，均是单向行为。而解题教学的解题，承载了更多的探索元素，其中不乏教与学的合力。教师要教会学生解题，自己的解题功夫是不可或缺的。教师要使解题教学做到“浅出”，自己必须先进行解题的“深入”;要让学生学会解题而不陷入“题海”，教师必须先跳下“题海”。教师需要在“题海泛舟”中遴选出最有价值的题目并施之以教，引导学生学会独立、有序、有逻辑地思考，這样解题教学才会有实效。那么，解题教学应该如何教？

（一）教想法

教想法是解题教学的关键。因为有想才有法，教师需要引导学生善于前思后想，善于联想;有思才有路，学生只有通过深度思考才能找到解题捷径，提升对数学的感觉，提高运算的灵活性。否则，囿于常规、流于习惯，往往会循规蹈矩，创新的火花难以迸发。波利亚说，教师在课堂上讲什么当然是重要的，然而学生想什么却更千百倍的重要。在教学中，暴露学生的所思所想非常关键，让学生先尝试练习并阐明思路就是呈现学生所想的优质路径。另外，面对问题，教师是如何想的，如何切入的，真实的一面是不是敢于展现给学生也非常关键。若教师一味地把加工好的解题思路教给学生，学生摸不到教师解题的门道，除了佩服教师的高明，其他作用微乎其微。因此，教师要善于把自己的解题思路暴露给学生，给学生带来启迪。

（二）教“一题多解、多解归一”

“一题多解、多解归一”是孙维刚老师的观点，孙维刚老师的观点给了笔者解题以指引。“一题多解”，需要多角度审视题目，如此才能更逼近问题的深层结构，优化的解题思路才更容易形成。当然，教师不可为“多解”而“多解”，简单地列举解法，搞得学生晕头转向，而是应该追求自然、本然的“多解”，多维透视出本质所在。“一题多解”有助于沟通或历练不同的知识，让问题由点构成线、由线及面，帮助学生多层次、广视角、全方位地认识数学问题，形成优化的认知结构。需要注意的是，方法未必多多益善，甚至有时候会成为负担，成为阻碍思维进阶的羁绊。因此，方法要基于学生的数学现实，贴近学生的最近发展区，使学生能跳一跳够得着，否则会适得其反。也就是说，教师要掌控好“研题无界限，教题有视域”的尺度。

教师除了“一题多解”的探索，还要注意引导学生“一题多变”，让问题由线构成面;引导学生“一题多用”，让问题由面构成体。这样，学生在不断变换的情境中历练，将大大促进正迁移的发生。“一题多解”“一题多变”，发散了学生的思维，但仅有这些仍然不够，教师还要善于引导学生“多解归一”，给彼此剥离的多种解法找到交汇点或“根据地”。学生的知识系统化了，方法明确了，才能达到“做一题，会一类，通一片”的目的，从而升华思维。如此，教师解题教学的主导作用才称得上是真落实了。

（三）教反复

教反复，反复教，看似机械重复、鏖战“题海”，其实不然，适当的反复是必须的。有的题目不是一次性能解决彻底的，需要在往复中浸润，在浸润中“破茧成蝶”。著名数学教育家单墫教授就曾说过，提高解题能力需要保证每道题目做三遍。华罗庚先生也曾经说过，学习数学要做到熟练化，熟能生巧进而出神入化。两位大师都在强调熟练的价值。显然这个熟练不是简单、机械地重复练习，也不是原地踏步，而是解题思路的不断调整与进阶，是层级递进的。A19BE8DE-B9A7-42F7-B088-9172A781F247

（四）教反思

解题后的反思至关重要，它是提高解题能力的必由之路。没有反思的经验是零散的，没有反思的解题是徒劳的、呆板的，解一题丢一题，很容易陷入“题海”。解题多、解题经历丰富不代表解题水平就高，它需要一个梳理、内化的过程，这个过程就是反思。只有通过反思活动的进行，解题的经历才能提升为解题的经验，为以后的解题提供好念头。可见好念头的出现不是天外来物，也不是可遇不可求，而是丰富的解题经历的升华，而这个升华需要解题反思这一“催化剂”。

因此，教师应善于引导学生解题后及时进行反思，让学生回想一下如何审题，用到哪些知识点，各知识点之间有何联系，考虑问题是否全面，能否改进解法等。这样，帮助学生把相关知识进行串联学习，使学生学例得类，豁然贯通。另外，在问题解决的过程中，思维受阻是常有的事，教师要善于引导学生思考思维为什么受阻？是如何“突围”的？使学生在实践—认识—再实践—再认识的循环往复中调整思维走向，提升元认知水平，优化思维。

（五）教中巧

张景中院士说：练武功的上乘境界是“无招胜有招”，但武功仍要从一招一式入门，解题也是如此。这种“无招胜有招”的境界，就是“大巧”吧！但是，小巧固不足取，大巧也确实太难，對于大多数学子，还要重视有章可循的招式。大巧法无定法，小巧一题一法，中巧呢，则希望用一个方法解出一类题目。[4]上海陈永明先生把张景中院士的上述观点称为解题“中巧说”，“中巧说”自此得以流传。笔者根据多年的教学实践经验，对“三巧”认识日见其深，慢慢触摸到其中的玄妙。笔者认为，解题教学应淡化技巧之小巧，立足通性通法之中巧，追求运势谋道之大巧，即教师应把教中巧作为解题教学的重点，以此寻求突破，而不是倾力于玄妙之技，苛求于大巧。

三、如何讲数学题

在日常讲题教学实践中，有两种典型的教学困惑常常袭扰我们：一是教师之困——明明讲得很清楚、很到位，可学生为什么就是不懂或似懂非懂，而不足以拥有独立正确解题的力量;二是学生之困——课堂上教师讲得明明白白，学生自我感觉也都听懂了，可接下来面对类似的题为什么还是不会解？两大困扰，让师生纠结不已。要探究其因，笔者认为应着眼于教师教了什么和学生学了什么。讲题教学的关键是培养学生“会思考”的能力，而不是细碎化一步一步地告知。

（一）关注题目和审题

题目是物质载体，理解题目是教师实施讲题教学的基础。题目应该本着有利于启发学生思维，发展学生数学能力的原则精心挑选。教师只有选出了好题目，才能更好地向学生呈现好问题。教师在理解题目的基础上引导学生从熟悉题目到深入理解题目。学生在识别好题目类型（计算题、证明题、填空题、选择题、作图题等）的前提下，既要搞清楚已知量、未知量等显性条件信息，又要深挖隐含其中的已知条件，厘清条件和目标，明确从何处下手、向何处前进，为进一步获取条件和目标的逻辑关系，构建它们之间的联系以及探寻解题思路走向如何解、如何教做好充分的先期准备……这些工作就是审题。而审题是学生的薄弱环节，容易被忽视。教师在出示一道习题之后，应引导学生理解题意，即审好题，对题目给定的条件进行等价表达，对内隐条件进行有意识挖掘，对这些条件的功能指向进行适当“进与退”的引导，即把条件“向前走一步或几步”或“向后撤一步或几步”，把隐藏的相关知识引出来，再锁定目标，统合所有条件，汇聚成解题力量，探析解决问题的路径。也就是说，教师要始终把审题作为讲解的重点，把如何选择解题的切入点和如何将思维过程可视化展示给学生，让学生学会审题，使学生思考有法可依、有路可循。

（二）站在学生立场

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者[5]。由此可见，教师要始终从学生的视角看待习题，站在学生立场去讲题。教师要设身处地把自己摆在学生的位置，从学生的视角观察、思考题目，因为每个人所看到的世界是不一样的。首先，教师要对学生的认知现实等基本学情有一个整体的把握，明晰哪些问题需要讲，哪些问题可以不讲。其次，教师要尽可能地预见学生在探索过程中可能遇到的问题，要前思后想、估计充分，对欲讲的内容有一个大概的设想，在多变的课堂上才可以从容，才会促进精彩的预设生成，而不是时时靠“不曾预约的精彩”。最后，习题的难易程度应依学生的数学现实水平的客观来甄别、判断，而不是教师的主观臆断，即要以学定教，彰显学生立场。

（三）关注策略和方法

讲析题目是数学教学一种常规的讲授方式，有启迪作用的讲解、析题方法能引导学生感受真实性、高阶性思维活动过程，而这样的过程才能更好地促成讲题教学的宽度、高度和深度。若教师只会做题，不会讲题，学生将难有收益，因为那样充其量是教师把答案奉送。另外，教师还需要会析题、品题，若品不出题目的价值，特别是题目的学术价值、教育价值和思维价值，教师就不能游刃有余地驾驭这道题目，更谈不上把它有效地用到课堂上。教师只有像品茗一样品出题目“味道”，才能揣摩出解题教学之道，让题目成为教学的有效载体。这样，讲题策略、方法的重要性凸显出来，如教师讲题要勇于和学生零起点解题，真实地摆出解题过程，让学生看到教师面对问题时的前思后想、左冲右突，以及如何绝地重生等。同时，教师讲题、析题还要善于留悬布疑。教师作为主导讲题的组织者，在讲析的过程中，切不可越俎代庖，一股脑儿抖出包袱，而应每至紧要处、关键处，布白留悬、挑出疑窦，给学生创设“想”的时机，或者故意依需设“饵”把学生的思路诱入“歧途”，让他们跋涉一番，在困顿中自寻出路而迷途知返。这样学生学起来才会有挑战的惊喜，思起来才会有跌宕起伏的冲击力。而当学生怎么想也想不出来，正在“愤愤然”时，教师一语道破“天机”，让学生产生豁然开朗的感觉，讲解的效果不言而喻。

（四）敢于“裸解”题目

如前所述，“裸解”就是教师在不做任何准备的前提下，和学生直接面对数学问题，一起思考、一起尝试，一起朝着解题目标前行。如此行为是为了让学生看到教师面对问题时的前思后想、遇到阻力时的左冲右突，让学生看到教师解题的真实面貌，让学生了解教师处理问题时的磕磕绊绊、弯弯绕绕，以及遭遇困厄时如何“突围”，深陷泥泞时如何“自拔”[6]。这样才能让学生学到教师解题的真功夫，而不是细致入微的美化思路，看起来通关自如，其实是教师苦心经营的讲前设计。作为教师都知道，细致入微的设计往往滤掉了探索的磕磕绊绊而美化了解题的历程，如此势必掩盖了真实的破题思路，看起来技玄招高，令学生望洋兴叹。长此以往，学生见到的都是加工后的“高招”，学生不仅会有挫败感，而且也很难形成正确的解题思路。基于以上认识，笔者一直提倡与学生一起“裸解”题目，把自己看似不顺畅的探索过程与学生同频，更便于学生触摸到教师的破题之道、解题之术。A19BE8DE-B9A7-42F7-B088-9172A781F247

（五）让学生尝试先行

波利亚认为，解题过程就是一个运用探索法诱发学生灵感的过程。既然是诱发灵感，这个诱发首先需要学生个人的探索、个人的尝试。面对数学问题，让学生尝试先行，如此才能更好地触摸到学生的真实想法，才能对症下药，落实好以学定教。否则可能是一厢情愿的假想，难以锚定学生的疑点、困惑点、思维断点等关键点。我们经常见到有些教师在课堂上，尤其是在公开课上，題目一出来就开始喋喋不休地提示、提醒，时不时地打断学生，唯恐学生想不到而先行引导，如此不仅禁锢学生本来灵动的思维，而且破坏了学生的“长时思考”，对学生思维的发展不利。

四、写在最后

笔者认为“双减”需要教师在理解数学的基础上精研课堂、深耕课堂，真正地提高课堂教学的效率，优化课堂教学，让“四基”的通透发生在课堂上，让创新意识萌生在课堂上。教师需要把课堂这个前场的功夫下足，从课堂上帮助学生由低阶思维向高阶思维迈进，让学生走出“惰性知识”困境，真正理解数学、掌握数学，探得数学之道。有了优质的课堂和正确解题观下的解题教学，学生的负担将不减自轻。

参考文献：

[1]张辉蓉.数学解题教学是非之争及思考[J].中国教育学刊，2010（5）：38-42.

[2]章建跃.让学生解好题[J].中小学数学（高中版），2012（10）：封四.

[3]波利亚.怎样解题[M].阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

[4]张景中.几何新方法和新体系[M].北京：科学出版社，2009.

[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[6]邢成云.统整初中数学课程：站在课程高度教学[J].中小学课堂教学研究，2021（5）：9-12.

【作者简介】邢成云，正高级教师，山东省特级教师，全国“万人计划”教学名师，全国“双名工程”领航名师，山东省有突出贡献的中青年专家;费祯红，正高级教师，山东省特级教师，齐鲁名师，齐鲁名师领航工作室主持人，教育部名师领航工程邢成云名师工作室核心成员。

【基金项目】2020年度山东省教育教学研究重点课题“基于初中数学课程整合的单元教学案例研究”（2020JXZ026）A19BE8DE-B9A7-42F7-B088-9172A781F247