可展开机构自锁铰链的误差分析与公差优化设计

南凯刚，吴腾飞，李光明,赵强强，郭俊康

(1.西安交通大学 科技与教育发展研究院，陕西 西安 710049；2.西安交通大学 机械工程学院，陕西 西安 710049；3. 西安交通大学 现代设计及转子轴承系统教育部重点实验室，陕西 西安 710049)

雷达卫星可以不受云雾、沙尘、雨雪和光照条件的限制，实现全天候、高分辨率和大面积对地观测[1-3]。高性能雷达卫星对天线提出了大尺寸的要求，但这又与运载火箭有限的空间和运载能力相矛盾[4-5]。将桁架可展开天线结构应用于合成孔径雷达卫星，可以满足其高展收比、高精度、高刚度与轻量化的要求[6-7]。在不考虑电子器件本身性能影响的情况下，卫星可展开机构自锁铰链的可靠锁定与否直接决定卫星发射任务的成败[8-10]，一旦锁定失败将造成巨大的经济损失并影响国防信息化建设。

在误差分析方法方面，文献[11]将基于矢量环的公差分析模型和直接线性化方法(Direct Linearization Method ，DLM)，用于二维和三维机械组件公差分析，而不再用显式函数来描述最终装配尺寸和制造零件尺寸之间的关系；刘海涛等提出了一种基于装配约束关系和装配顺序构建偏差传递矢量环和矢量方程的方法[12]；赵东平等基于装配约束建立偏差传递矢量环和矢量方程后，在小偏差的条件下利用一阶泰勒展开式求解偏差源敏感度矩阵，实现了对机构装配精度的预测[13]；蒙特卡洛(Monte Carlo)法在公差分析中被广泛运用，通过统计蒙特卡洛法模拟所得封闭环的公差分布，可以得到各组成环对封闭环影响的敏感系数[14]；Zhao等提出了一种考虑关节间隙和冗余约束的平面闭环机构精度预测算法，并以合成孔径雷达天线可展开机构的装配为例，验证了该方法的正确性[9]；Beaucaire等基于系统可靠性，用蒙特卡洛法模拟了几何偏差对系统装配质量的影响[15]；Chen等提出了一种预测由输入不确定性和关节间隙引起的平面连杆机构运动轨迹偏差的方法[16]。在公差优化设计方面，余顺年等提出了较可靠的装配尺寸链优化设计方法[17]；有学者提出了在满足组件公差约束条件的同时最大程度地降低制造总成本的优化算法[18]，以及用蚁群优化算法按照组成环的公称尺寸进行精度优化设计的方法[19]；肖人彬等以装配成功率为约束条件, 将成本和质量损失作为设计目标，通过粒子群优化算法实现了尺寸精度的优化设计[20]；郭迎福等基于遗传算法，提出了一种以减少质量损失和加工成本为优化目标的多目标优化设计方法[21]。

本文以卫星可展开机构自锁铰链为研究对象，建立铰链几何误差模型，通过分析铰链的几何误差敏感度来明确几何误差对铰链锁定可靠性的影响，并基于遗传算法对精密自锁铰链关键尺寸公差进行优化设计，以便提高卫星可展开机构自锁铰链锁定的可靠性。

1 卫星可展开机构自锁铰链介绍

卫星可展开机构由天线、自锁铰链、桁架式可展支撑机构和驱动部件等组成。受运载工具自身空间的限制，卫星天线在发射过程中必须处于折叠状态，待进入指定轨道后由驱动部件驱动天线完全展开并锁定，进入稳定的工作状态。其中自锁铰链是卫星可展开机构实现展开锁定功能的核心部件。本文以一种典型的轴销式自锁铰链为例，进行误差分析，以明确铰链各偏差源对铰链展开锁定可靠性的影响。

卫星可展开机构自锁铰链(其结构如图1所示)主要包括母铰链、公铰链和锁定杆等部件。

铰链锁定过程为：驱动电机驱动公铰链绕转轴逆时针转动，锁定杆上滚轮与公铰链滑槽发生接触，滚轮受扭簧弹力作用沿着滑槽滚动，待公铰链相对母铰链转动至指定角度时，锁定杆上滚轮滚至指定位置，铰链成功锁定。对该锁定过程分析后认为，可将锁定杆上滚轮滑入卡槽的深度作为判断铰链是否锁定成功的标准。在锁定状态下，公铰链和母铰链之间通过转动副约束，母铰链和锁定杆之间也通过转动副约束，公铰链和锁定杆之间通过线接触副约束，铰链自由度为0。

2 几何误差建模

在不计铰链间隙的情况下，自锁铰链的各零件仅在与x-y平行的平面内运动，因此可将铰链投影至x-y平面后进行铰链展开锁定过程的分析。自锁铰链的关键特征矢量环如图2所示。

图2 自锁铰链的关键特征矢量环

结合图2进行分析可知，公铰链滑槽、锁定杆和锁定杆安装位置等都是自锁铰链的关键特征。根据零件约束关系和关键特征矢量在x-y平面的投影，可建立图3所示的180°铰链偏差传递矢量环。在偏差传递矢量环中：a1、a2、a3、a4和a5为零件特征矢量；a6为锁定杆上滚轮滑入卡槽的深度矢量；矢量与矢量的夹角α1、α2、α3、α4和α5为相对角度；矢量的变化范围为零件尺寸的公差范围；各矢量与x轴正方向的夹角θ1、θ2、θ3、θ4、u1和u2为绝对角度，且规定相对于x轴正方向顺时针为负，逆时针为正。

将矢量环中的各矢量分别投影在x方向和y方向，并求和，且令各矢量在x方向和y方向投影的和都为0，则

(1)

式中：hx表示各矢量在x方向投影之和；hy表示各矢量在y方向投影之和。

考虑到误差累积的影响，对自锁铰链进行公差分析时应采用相对角度。绝对角度与相对角度之间的关系为：

(2)

将式(2)代入式(1)可得：

(3)

将式(3)按一阶泰勒公式展开，可写成下列矩阵形式：

AX+BY=0

(4)

式中：

J11=cosu1；

J12=-(a2sinθ1+a3sinθ2+a6sinθ3+

a4sinθ4+a5sinu2);J13=cosθ1；

J14=-(a3sinθ2+a6sinθ3+a4sinθ4+

a5sinu2)；J15=cosθ2；

J16=-(a6sinθ3+a4sinθ4+a5sinu2)；J17=cosθ4；

J18=a5sinu2；J19=cosu2；

J110=-(a1sinu1+a2sinθ1+a3sinθ2+a6sinθ3+a4sinθ4+a5sinu2)；J21=sinu1；

J22=a2cosθ1+a3cosθ2+a6cosθ3+a4cosθ4+a5cosu2；J23=sinθ1；

J24=a3cosθ2+a6cosθ3+a4cosθ4+a5cosu2；

J25=sinθ2；

J26=a6cosθ3+a4cosθ4+a5cosu2；

J27=sinθ4；J28=-a5cosu2；J29=sinu2;

J210=a1cosu1+a2cosθ1+a3cosθ2+

a6cosθ3+a4cosθ4+a5cosu2;

X=[da1dα1da2dα2da3dα3da4dα5da5du1]T;

Y=[da6dα4]T。

分析自锁铰链的特征与锁定过程可知：da1、da2、da3、da4、da5为独立变化的零件特征矢量偏差；dα1、dα2、dα3、dα5和du1为独立变化的矢量夹角的偏差；da6为锁定杆上滚轮滑入卡槽深度(即锁定深度)矢量的偏差；dα4为锁定杆相对滑槽的角度偏差。

将式(4)移项可得：

Y=SX

(5)

式中：S为误差敏感度系数矩阵，S=-B-1A。

误差敏感度系数是用来描述单位偏差源变化量与锁定深度偏差对应关系的。

3 误差分析

对于式(5)来说，输入为da1、da2、da3、da4、da5和dα1、dα2、dα3、dα5、du1；输出为da6和dα4。在实际工程中，常用锁定杆上滚轮滑入卡槽深度来判断铰链的锁定状态，本文分析中主要采用da6来判断铰链的锁定状态。这里，仅考虑对铰链展开锁定可靠性有影响的关键特征矢量的值及矢量夹角。自锁铰链部分设计特征矢量的值和矢量夹角如表1所示。

表1 自锁铰链部分设计特征矢量的值和矢量夹角

令各偏差源在其公差带内服从正态分布N(μ，σ2)，每个偏差源独立生成1 000个样本值，作为输入，按6组方案(方案1-方案6)进行试验。其中：案例1-案例3的偏差源期望值μ均为0，标准差σ分别为0.01、0.02和0.03；案例4-案例6的偏差源期望值u分别为0.01,0.02和0.03，标准差σ均为0.02。各偏差源期望值的单位与零件设计尺寸的单位相同。

由案例1-案例6所得锁定深度矢量偏差的概率密度曲线如图4所示。

分析图4(a)可知：当输入偏差源均为正态分布时，输出的锁定深度矢量偏差da6也为正态分布；当输入偏差源的标准差均增大时，da6的标准差增大；对于该铰链设计尺寸，da6取-6.219 6 mm，为锁定杆上滚轮滑入卡槽深度的极限偏差，当da6取值小于-6.2196 mm时，铰链无法满足锁定成功的几何条件；随输入偏差源标准差增大，铰链满足锁定成功的几何条件的概率减小。

(a) 正等轴测图

(a) 相对角度

(a) 案例1-案例3

分析图4(b)可知，当输入偏差源的期望值均增大时，输出的锁定深度矢量偏差da6的期望值减小，铰链满足锁定成功几何条件的概率会减小。

针对6组试验方案，用Monte Carlo法分析的结果如表2所示。分析可知：当输入偏差源均为正态分布时，输出的锁定深度矢量偏差da6也为正态分布；当输入偏差源的标准差均增大时，da6的标准差增大，铰链满足锁定成功几何条件的概率减小；当输入偏差源的期望值均增大时，da6的期望值减小，铰链满足锁定成功几何条件的概率也减小。

表2 Monte Carlo法的分析结果

按式(5)进行运算，可得到表示自锁铰链各零件特征矢量偏差的da1、da2、da3、da4、da5，以及表示各矢量夹角偏差的dα1、dα2、dα3、dα5、du1与锁定深度矢量偏差da6之间关系的误差敏感度系数矩阵S。根据误差敏感度系数矩阵，可确定自锁铰链各偏差源对锁定杆上滚轮滑入卡槽深度矢量偏差da6的影响。图5 所示为零件特征矢量偏差源偏差与锁定深度矢量偏差的关系曲线。图6所示为矢量夹角偏差源偏差与锁定深度矢量偏差的关系曲线。

图5 零件特征矢量偏差源偏差与锁定深度矢量偏差的关系曲线

图6 矢量夹角偏差源偏差与锁定深度矢量偏差的关系曲线

比较图5和图6可知，零件特征矢量偏差源偏差对锁定深度矢量偏差的影响较小，而矢量夹角偏差源偏差对锁定深度矢量偏差的影响较大。因此，这里只对后者(即图6)进行了分析。分析图6可知，dα1、dα2、dα5和du1对da6的影响较大，且dα5与da6正相关，dα1、dα2、du1与da6负相关。

4 公差优化设计

在设计机械精度时，根据产品的性能要求和制造成本对封闭环的公差进行合理分配，是提升产品可靠性、保障产品性能、降低其制造成本的有效途径。现有精度优化设计研究文献通常以保障产品性能为前提，以尽可能降低产品制造成本为优化目标。卫星可展开机构的自锁铰链属于精度高、专用性强、生产批量小的产品。提高铰链展开锁定的可靠性是公差优化设计的首要任务，应在满足可靠性要求的前提下降低零件的加工难度和加工成本。零件的公差与加工成本成反比，要求的公差越小，产品加工难度就越大，成本就越高。在满足铰链锁定几何要求的情况下，增大零件的尺寸公差范围，铰链在相同的制造水平下合格率会提高，装配时的修配工作量会减小，加工的难度和成本也会降低。因此，本文将成本公差模型作为优化设计的目标函数。

成本公差模型中的成本是指除去材料成本之外的加工成本。由于零件具有不同的几何特征，不同几何特征可能对应着不同的加工方法，因此很难用统一的数学模型来表达具有不同特征的产品的成本公差关系。常用的成本公差模型是以尺寸公差的双边对称分布为前提的。基于初等函数的成本公差模型有倒数幂模型、指数关系模型、三次多项式模型、倒数模型、倒数平方模型和混合模型等[22]。对比这些成本公差模型的数学表达式不难发现，精度要求越高，制造难度和制造成本就越大；精度要求越低，制造难度和制造成本就越小。零件不同加工特征对应着不同的成本公差模型，方红芳等将零件的加工特征分为外圆、内孔、定位和平面四大类，并基于线性和指数混合成本公差模型，定义了这四大类特征的成本公差模型[23]。其中，定位特征的成本公差模型数学表达式为：

(6)

平面特征的成本公差模型数学表达式为：

(7)

式中：T为公差带宽；C(T)为总成本。

在公差优化设计时，应根据铰链尺寸链各部分的特征类型，选择合适的成本公差模型。铰链的总成本公差模型(即优化设计的目标函数)为：

(8)

式中：Ti为上文所述关键结构i的公差；Ci(Ti)为对应于公差Ti的成本；n为待优化的公差个数，对于该自锁铰链而言,n=10。

铰链展开锁定的可靠性是公差优化设计需考虑的首要约束条件。由表2分析结果可知，当输入偏差源为正态分布且标准差均增大时，da6的标准差增大，铰链满足锁定成功的概率减小。因此，本文将锁定深度矢量的最小值大于铰链锁定几何条件中锁定临界深度作为一个约束条件，即

min(da6)>dp

(9)

式中,dp为满足铰链锁定几何条件的锁定临界深度。

铰链的锁定角度也是公差优化设计需考虑的重要约束条件。在不考虑铰链安装误差的条件下，理论上卫星可展开机构外板相对于内板转动180°时铰链锁定。该锁定角度会影响天线的指向精度，因此对铰链的锁定角度有一定的精度要求，即

|du1|<δφ

(10)

式中，δφ为铰链锁定角度的精度要求。

假设输入偏差源服从均值为0、标准差为σ的正态分布，则根据表2分析结果，取σ=0.02，以3σ作为尺寸公差带半带宽的约束，再结合式(9)和式(10)可列出下列约束条件：

(11)

式中，T1,T2,…,T10分别为对应铰链关键结构中a1，α1,a2，α2,a3，α3,a4,α5,a5,u1特征矢量或矢量夹角的公差。

基于遗传算法的公差优化设计流程如图7所示。采用Matlab程序运算，可得表3所示的自锁铰链公差优化设计结果。

图7 基于遗传算法的公差优化设计流程

表3 自锁铰链公差优化设计结果

5 结 语

(1) 根据卫星可展开机构自锁铰链展开锁定过程的特点，将复杂的三维铰链模型简化为仅包含关键特征的二维模型，通过分析得出了铰链可靠锁定的判定依据。基于矢量环法，建立了自锁铰链的偏差传递矢量环和偏差传递方程，得到了误差敏感度系数矩阵。

(2) 基于Monte Carlo法分析了偏差源服从不同正态分布时，锁定杆上滚轮滑入卡槽深度矢量偏差的概率密度，以及输入偏差源标准差、期望值对铰链满足锁定成功几何条件概率的影响，定量分析了各偏差源偏差对铰链锁定可靠性的影响。结果表明，dα1、dα2、dα5和du1对da6的影响较大，且dα5与da6正相关，dα1、dα2、du1与da6负相关。

(3) 基于遗传算法，对铰链尺寸公差进行了优化设计，并以自锁铰链总的成本公差模型为目标函数，以铰链可靠锁定的要求为约束条件，建立了可以反映不同特征加工难度的公差优化设计模型，通过编程计算得到了自锁铰链的公差优化设计结果。