试谈日常教学中如何渗透初中数学思想

刘娜

【摘要】数学思想在数学知识到数学素养之间起桥梁作用，通过向初中学生渗透数学思想，把枯燥乏味的、静态的数学知识转变为丰富多彩的、动态的数学素养，极大地调动学生学习数学的兴趣和积极性。笔者以整体思想、分类思想、转化思想在二元一次方程组中的运用为例，在数学课堂和德育课堂上渗透数学思想，让学生逐步感悟数学思想是实实在在存在的，能指导我们的日常生活，能在提升数学素养的同时提升综合素养。

【关键词】初中数学;日常教学;数学思想

数学思想是对数学知识内容及其所使用的方法的本质认识。教师在日常教学中积极创设教学环境，渗透数学思想，能加深学生对数学知识的理解与掌握，提高数学教学效率，提高数学能力。掌握数学思想就是掌握数学精髓，是数学核心素养的有效抓手。而整体思想、分类思想、转化思想应用非常广泛，是非常重要的数学思想。中学数学中，很多问题都可以运用这些思想进行解决，寻求到解决问题的方法、思路。下面，笔者以转化思想、整体思想、分类思想在二元一次方程组中的运用为例，谈谈自己的理解。

一、数学课堂教学中渗透数学思想，提升数学素养

二元一次方程组是方程组中最基本的类型，学习二元一次方程组的解法，为后面多元方程组、一元一次不等式组等的学习提供了基础。而方程到函数是特殊到一般的思想，所以它对一次函数、二次函数等的学习也具有非同一般的意义。解二元一次方程组的过程就是把二元转化为一元的过程，把未知转化为已知的，把复杂问题转化为简单问题，充分体现了整体思想和转化思想。

1.转化思想

转化思想是常见的数学思想方法，把复杂、繁琐的实际问题转化为简单、精炼的数学语言，易于学生理解，进而降低学习的难度，提高解题效率。比如，解方程组.

第一步确定目标。俗话说“人无远虑必有近忧。”人生均需要目标，有目标、有理想的人生更有意义，当有多个目标时，看哪个目标更简单、更容易达到，就从哪个目标着手去实施。我们都知道，解一元一次方程最终的目标是化成x=a，即未知数x等于某个常数a的形式，因为有了这个总体目标，解方程时把所有未知数的项移到左边，其它没有未知数的项移到右边。类似的，解二元一次方程组的最终目标是每一个未知数分别等于一个常数的形式。即解二元一次方程组最终的目标是化成，其中a、b为常数的形式。

第二步观察分析。这个方程组中有两个方程，为方便计算，把第一个方程当作①式，第二个方程当作②式，这其实初步运用了整体思想。两个方程中均含有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，这是消元思想。认真观察发现，①式中含未知数的项有两个，分别是2x和5y，②式中含未知数的项也有两个，分别是x和3y。

第三步找突破口。再看哪个未知数前面的系数更简单，就先从哪个未知数着手，在2x、5y、x和3y这四个项的系数中，x的系数1是最小、最简单的，就从x这一项开始解题。观察②式发现，可以把x用y的代数式来表示，即x=8-3y，把这个变形后的式子作为③式，代入①式中，则①式变形为2（8-2y）+5y=-2，这是我们熟悉的一元一次方程。把两个未知数转化为一个，多化为少，这是代入消元法，而用8-3y代替x，其实再次运用了整体思想，所以得加括号。这里把未知的、复杂的转化为已知的、简单的，属于转化思想。

第四步各个击破。从最简单的入手，找到解题突破口之后，再各个击破。把关于y的一元一次方程2（8-2y）+5y=-2解出来，再代入③式，进而得到y的值。到此，两个未知数均得以解决，达到目标。

第五步检验。一步三回头，把解出来的x、y的值代入原来的方程组中，看看等式是否均成立。整个解方程组的过程可用如下思维导图表示：

图1  解方程组的过程

当然也可以求同存异，把②式中x乘以2倍，变形为与①式一样的2x，把2x当成整体，再用代入或者减法，消去未知数x;当然也可以除以2，或者对y进行求同存异，理论上都是行得通的，只是考虑到解题的复杂程度、所需要的时间、精力等，进行方法的取舍，进行最优化处理。

类似的，解下面三元一次方程組时，可以先把一个未知数用另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，从而把三元一次方程转化为二元一次方程，再把二元一次方程转化为一元一次方程解决。其中一种解法如下：由①式得x=3-y，代入②式得（3-y）+z=5，把这个与③式组成熟悉的关于y、z的二元一次方程组，容易解出y、z的答案，进而求得x的值。

2.整体思想

一个人走得快，一群人走得远，有整体思想、团队意识的人能走得更远，能得到更多的帮助，有集体意识的人能更快融入社会，与他人更好相处。数学知识的教学，注重知识的“生长点”与“延伸点”。在教学过程中，教师应注意处理好整体与局部的关系。整体思想可以让学生更好地理解数学，帮助学生加快解题速度，提高解题效率。教师可在教学中适时引导学生感受整体思想的妙用。如，解下列方程组.

讲这道题之前先让学生自己做题，大部分学生看到式子中有括号首先去括号，再移项、合并同类项等，经过一系列变形之后化成一般的二元一次方程组的形式，之后再按代入消元或加减消元法解方程组，也有部分学生看到这么复杂的式子束手无措，不知从何入手做题，于是坐等答案。这时，教师提示学生认真观察一下题目，并提示常用的数学思想。学生重新审视这道题，发现了可以用整体思想，可以把x-2和y-1当成整体来考虑，那么题目就简化成了y的一元一次方程4（y-1）+（y-1）=5的问题了。学生惊呼，这数学的整体思想太妙了。这时顺便做一下“数学的有用性”，以及“班级团队意识的重要性”等德育思想工作就是水到渠成的事了，学生若有所悟。

3.分类讨论

分类的过程就是对事物共性的抽象过程，教学活动中，使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准。这样，分类讨论就可以使抽象复杂的事情变得清晰明了。如，二元一次方程x+y=5的正整数解有______个。

一个二元一次方程有无穷多个解，但要求两个数的和为5的正整数解，其实就是转化成了一个小于5的正整数的个数问题，而小于5的正整数很明显分别为1、2、3、4、5这5个数，那么答案就有、、、这4个解。

上面是把二元一次方程组中的二元降为一元，把未知的转化为已知的，把多元转化为少元，把高次转化为低次。按照这样的解题思路，如果让我们继续研究n元n次方程组，尽管可能会遇到一些实际的困难，但是理论上是可行的，是有理论依据的。一生二，二生三，三生万物，世界纷繁复杂，不确定因素有很多，但是以这样的教学方法渗透给学生，让学生学会用数学的眼光看世界，用数学的思维思考世界，学生观察、归纳概括能力有所提高，能逐步体会这是由具体到抽象、特殊到一般的思想，从探索数学知识的思路中走出来，知道探索世界的一般思路。

二、德育课堂教学中感悟数学思想，提升综合素养

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。转化思想、整体思想、分类讨论思想都是非常有用的数学思想。在二元一次方程组的解题教学中，教师需主动抓住机会，渗透、运用数学思想，用数学思想指导解题思路的形成，把数学知识本身的乐趣通过教师思考的方法渗透传递给学生，让学生在积极参与数学教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟整体、转化、分类都是非常重要的数学思想，进而逐步感悟数学思想不是空洞的，而是实实在在存在的，能指导我们在日常生活中高效思考。

笔者作为数学教师兼班主任，时常会有意识地把数学思想应用到德育课堂教学中、日常班级管理中，通过班会课、黑板报等形式让学生学以致用，学生学习数学知识的同时感悟数学思想，提升数学素养，提升综合素养。例如，数学中常用的整体思想，与学生的班级荣誉感、团队意识联系起来，又比如，把数学中的分类讨论思想与分门别类地整理住宿生宿舍的内务联系起来，与整理学生的书桌联系起来。同时，运用类比思想指导学生在考试中解答题的卷面整洁性的处理办法，乃至整理自己的学习与生活的时间。

最为典型的是学生小潘：考试的卷面很乱，考试时在选择、填空题的空白处打草稿，解答题的过程左边写一下，右边写一点，让教师改卷的时候看得非常辛苦。找他聊这件事，他说下次会改正，可是下次还是基本没改。后来无意中发现他的书桌很凌乱，书、试卷、练习本等无序摆放，连写字都是垫在一些书上的。学校发的礼服，本来每周才穿一次，很多學生的礼服都会比较新，可是没几个星期就发现他的礼服皱巴巴、脏兮兮的了，后来他还因为不懂得整理内务，多次被扣宿舍分而被劝退回家走读。笔者针对这件事情，专门组织学生上了一节关于“学会整理”的班会课。事实证明，这个方法是非常奏效的。小徐所在的宿舍在初一级中是第一个被评为学校文明宿舍的，到下一个月文明宿舍评比活动的时候，班里被评为文明宿舍的又增加了一个男生宿舍，到下一个月又增加了一个文明宿舍。具体如下面图组所示。

学生一直都记得这节班会，因为这节班会课让学生知道如何整理自己的内务，知道数学思想的实用性，知道数学学习的重要性。这不得不说是一件让人非常兴奋的事情。

有学生在周记中写道：分类讨论思想，在生活中很多时候需要对事物进行分类整理，比如，学生宿舍的内务、课室的书桌、身上穿的衣服，又如考试的卷面整洁性，都需要进行分类，事情都是相通的，一通百通。有学生在周记中写道：想到数学不只是买菜时需要用到数学，生活的方方面面均用到数学。这个社会是多元复杂的，在一堆纷繁复杂的事情中如何快速、高效完成任务，是我们经常遇到的问题，也是我们人类的追求。一个初中生能从所学的数学思想联想到解决生活中的实际问题，提升生活效率，而且能主动提出把这些想法归纳整理成班会课素材，这不仅很好地提升了学生的数学素养，也极大提升了学生的综合素养。

“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。” 平时教学中，教师如果能渗透数学思想，对于学生学好数学，深刻理解数学知识是有帮助的。因为我们每天的时间、精力是有限的，在每天所接收的信息如此之多的情况下，所学的数学知识很可能会被遗忘，但是心中常有数学思想的学生以后会更适应社会的发展。

参考文献：

[1]徐昌.促进综合实践活动教师发展的行动研究[J].综合实践活动研究，2011.

[2]吴连成.核心素养观下“反证法”的初中数学教学现状研究[J].温州大学，2020.