指向数学高阶思维的问题群设计与思考

【摘 要】问题群是指为了实现某种目标，从教学整体视角设计系列化问题，它有助于培养学生的高阶思维.教师需要理解高阶思维的内涵，遵循问题群设计的原则，可以从五个环节设计：设问，在情境中激发学习动机;追问，在归因时具身体验知识;变问，在建构中深度理解新知;寻问，在质疑中形成高阶思维;自问，在创新中实践学习价值.

【关键词】高阶思维;问题群;具身体验

1 提出问题

2021年下学期，笔者对本区域内45所初中进行了听课调研，部分课堂仍停留在传统讲授法，教学效益较低，仅引发学生的浅层学习.主要表现为三个方面：一是课堂教学专注于知识的获得，难有活学活用，奉行以知识为主线，很少让学生在体验中学习，如“一次函数”一节中，教师用了五分钟给出本节课概念，余下的四十分钟反复地做题讲题;二是停留在教材表层，没有深入知识内核，教学蜕变为符号形式的教学，窄化为具体知识的教学，迷恋给学生具体的问题模型，如“反比例函数”一节中，教师对反比例、正比例的本质不清楚，仅要求学生根据函数表达式式进行判断，甚至有的教师认为反比例函数是随着x增加y减少;三是教学情境难以触及学生的兴趣、情感和思维，教学内容游离于学生心灵之外，仅发生在学生的脖子以上，如“位置的确定”一节中，教师通过远洋航行时，船只位置体现经纬度定位，班级大多数学生对此似懂非懂，难以理解，感觉所学知识离自己很遥远.

以上三种教学现象，说明部分教师需要更新教学理念，深入把握教材，理解学生的认知特征，培养学生的数学高阶思维.2 指向数学高阶思维的问题群设计

问题群是指为了实现某种目标，从教学整体视角设计的系列化问题.问题群设计有助于培养学生的高阶思维.下面以八年级“反比例函数”为例进行问题群设计.

2.1 设问，在情境中激发学习动机

学习动机也称为内驱力，主要包括认知内驱力、自我提高内驱力和附属内驱力.认知内驱力属成长性动力，是在学习者要求理解和掌握知识需要的基础上产生的，指向学习活动本身;自我提高内驱力与人的尊重感相联系，其诱因是某种地位、荣誉，如努力学习以取得好名次;附属内驱力对中小学生的学习作用也很明显，如教师、家长等人那里获得赞许或认可，甚至是惩罚[2].在初中数学课堂教学中，重点是激发学生的认知内驱力.

片段1 “反比例函数”的设问导入.

数学与生活 分别写出下列问题中两个变量之间的关系式.

1.一辆汽车从南京开往上海

（1）若速度是60km/h，那么行驶的路程skm随时间th变化而变化;

（2）若汽车已经行驶了50km，保持（1）中的速度，那么行驶的总路程skm随时间th变化而变化;

（3）南京到上海的路程约300km，全程所用时间th随速度vkm/h变化而变化.

2.一个面积为6400m2的长方形，长am随宽bm的变化而变化;

3.实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化.

设计意图 首先，情境问题要简单明了，能够让学生很快表达.其次，情境问题要涉及新知与旧知，两者间具有一定的关联性.还有，情境问题可以是生活问题，也可以是数学类问题.

据此分析教学导入：①上述两个变量间的关系，均为函数表达式，分别是s=60t，s=60t+50，t=300v，a=6400b，m=-200n;②其中前两个函数，是学生已学内容（正比例函数、一次函数），目的是帮助学生回归旧知，后三个为新知，引发学生认知冲突，激发学生求知欲;③将三类函数混合在一起，目的是检验旧知，类比新知;④所选的三个情境问题，与学生的认知水平相符，第一题是行程问题，第二题是平面几何问题，第三个是数学问题;⑤得出反比例函数的概念，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，其中x是自变量，y是x的函数.

2.2 追问，在归因时具身体验知识

设问呈现新知，追问深化新知.面对新概念新知识，仅停留在表面的形式定义，远不是真正掌握，还需要理解其内涵特征与外延关系，其中内涵是新知识独特的基因，外延是新知识存在的价值.

数学教学中，教师可以在新知关键点进行追问，用于提炼其内涵特征;在学生理解困顿时进行追问，用于培养其思维;在例题求解中追问，用于培养其能力;在思维转折处追问，用于培养其素养.通过追问，增加学生对新知理解的广度、深度、高度和厚度，鼓励学生合理质疑和深度反思，促进高阶思维发展.

片段2 “反比例函数”的追问归因.

例1 辨析下列关系式中，哪些y是x的反比例函数、正比例函数、一次函数？说明理由.并说出反比例函数中“反比例”的意义.

设计意图 通过设问与追问，得出反比例函数的形式、特征、本质意义，追问可以由学生或老师提出，但完成应由学生體验后完成，让学生感受新知的形成与发展过程.

本例的追问共有四个目标：①通过辨析让学生进一步巩固反比例函数的概念;②通过追问（说明理由）总结出反比例函数常见形式为（1）分式的形式：y=kx（k为常数，且k≠0）;（2）积的形式：xy=k（k为常数，k≠0）;（3）负指数的形式：y=kx-1（k为常数，k≠0）;③三种形式可以相互等价转化，在反比例函数的分式形式中，左侧为y，右侧可变形成分式形式，其中分母为x，分子为常数;④进一步追问得出反比例的意义，即若x变化为kx，则y变化为1ky，两者的系数呈反比关系，故称为反比例函数.

2.3 变问，在建构中深度理解新知

数学教学需要完成数学体系的建构.这种建构是与已经学习的知识结合，形成新问题，变问常以变式教学的形式给出.变问是从已解决的数学问题出发，改变问题的情境、条件、目标，重新提出新问题，这些新问题紧扣新旧知识之间的联系与差异，通过新问题的理解、分析、解决，在原有的知识体系中建构新的数学概念、数学思想、数学方法，在“变”与“不变”中，逐步把学生的学习引向深度，形成学科一般观念，发展高阶思维能力[3].

片段3 “反比例函数”的变问建构.

例2 填空

（1）已知函数y=3xm-7是反比例函数，则m=;

（2）若函数y=（m-3）x-1是反比例函数，则m=;

（3）若函数y=（m+1）xm2-2是反比例函数，则m=.

小结 求解这类题目根据的是反比例函数的哪一个形式？（负指数的形式：y=kx-1（k为常数，k≠0）.）

例3 已知y与x成反比例，并且x=3时y=7，求：（1）y和x之间的函数关系式;（2）当x=13时，求y的值;（3）y=7时，x的值.

小结 求反比例函数的解析式常用待定系数法，先设其解析式为y=kx（且k≠0），然后再求出k的值即可.

设计意图 变问目的是将新知与旧知建立相互联系，通过这种联系，实现新学知识的结构化.

本片段中，例2是反比例函数与多项式综合变式，强化的是反比例的指数形式;例3是如何求解反比例函数中的应用，突出待定系数法.例2注重知识的直接应用，例3则关注知识应用中的思想方法.具体表现为：①例2的三个小问，分别对应反比例函数中的指数为多项式、系数为多项式、以及指数系数均为多项式，其解题依据是反比例函数的负指数的形式：y=kx-1（k为常数，k≠0）;②例3的三个小问，分别是待定系数法的应用、自变量与应变量的对应关系、应变量与自变量的对应关系.

2.4 寻问，在质疑中形成高阶思维

高阶思维建立在科学素养之上，科学素养主要表现为理性思维、批判质疑与科学探究三个方面，其中理性思维与批判质疑是科学探究的起点.

理性思维包括传统学科素养中的知识与技能、运用科学思维方式解决问题的能力，表现为掌握、使用和运用所学知识与方法进行思维活动.主要内容包括：崇尚真知，能理解和掌握基本的科学原理和方法;尊重事实和证据，有实证意识和严谨的求知态度;逻辑清晰，能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、指导行为等.

批判质疑需要建立在一定科学知识和技术积累之上，批判性地多角度思考和发现问题，合理评估各种可能的选择并做出最优的决策，最终科学有效地解决问题.教学活动中，教师需要培养学生问题意识和批判质疑态度，引导他们独立思考、独立判断、大胆尝试，多角度、辩证地分析问题，积极寻求有效的问题解决方法[4].

片段4 “反比例函数”的寻问质疑.

课堂巩固 阅读以下材料，并回答问题

已知矩形面积是30cm2，若长宽分别是acm，bcm，

如图1，b与a的函数图象大致是怎样的？并说明理由.

自我评估 对于反比例函数知识，你学习了什么内容？还需要研究哪些内容？

如图2，几何画板演示（教师操作）.

设计意图 ①通过寻问，学生类比一次函数学习过程，依据所掌握的程序性知识，对本节课内容进行总结回顾，提出问题：反比例函数图象与性质是什么？它与以前所学函数有哪些区别？接下来研究什么？这样设计，一方面与本节课开头的问题情境呼应，另一方面承上启下，引出后续课题，激发学生进一步探究的兴趣;②给学生足够的时间进行质疑，培养学生敢于理性分析、批判质疑的能力.

2.5 自问，在创新中实践学习价值

创新人才培养的核心要素有五个方面，分别为基础知识、身体素质、创新精神、创新能力、创新人格[5].前两个要素是显性的，后三个要素是隐性的，传统教育更加关注基础知识的传递与身体素质的培养，对于隐性的创新精神、创新能力与创新人格关注较少.三个隐性要素一方面形成于前两个显性要素的生成过程中，另一方面又促进显性要素的形成.

基础教育中的创新人才培养，需要学生拥有良好自我感知能力与自问引导能力.首先，建立师生平等公平的教学氛围，避免出现过于权威;其次，在课程目标中以学生本位进行价值取向，通过定义学生在每个年级需要学习的知识、概念和技能，鼓励和帮助每个学生取得更高成就;再次，通过校园活动促进学生全面发展，利用学校充足的资源和教师的支持，指导学生探究自己感兴趣的问题，检验自己的想法是否可行;最后，加强与大学、公司的合作，扩展和创新人才培养的边界[6].

片段5 “反比例函数”的自问实践.

课后作业 寻找反比例函数模型的生活实例，并运用所学知识解释现象、解决问题.

设计意图 通过开放性问题，培养学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析问题、用数学的语言表达世界的能力.充分调动学生的学习自主性，将任务式作业改变为探究性作业.

3 指向数学高阶思维的问题群思考

3.1 理解数学高阶思维

高階思维是相对于低阶思维而言，自身并没有精确的范畴界定.理解高阶思维可以借鉴初中学习数学概念的形式定义，通过内涵特征、行为表现两个方面来辨析学生是否形成了高阶思维.

高阶思维的内涵特征：①抽象化的思维结构，即学生的思维不依赖于举事例、列举等具体描述，而是高度符号化推演;②整体性的信息组织，学生的思维不局限于某一个概念方法，而是可以进行广泛地联想;③合理性的逻辑判断，学生的思维具有明显的逻辑特征，即使是合情推理也有据可循;④基于理性的质疑反思，面对新情境学生能够提出自己的见解，面对已有的经验，学生能够通过自我质疑优化，同时不断反思，努力扩充自己的认知视域.

美国教育家布卢姆将思维过程具体化为六个教学目标，由低到高分别为记忆、理解、应用、分析、评价、创造.前三个目标为低阶思维，后三个目标为高阶思维，前者是后者的基础.进一步将高阶思维具体化，分析包括区别（识别、辨别、聚焦）、组织（整合、概括）、归因（解构、判断），评价包括检查（协调、检测、监督、测试）、评论（诊断），创造包括生成（假设、表征）、计划（设计、筛选）、贯彻（执行、建构）[1].

学生高阶思维的培养离不开教师的教学，数学教学离不开问题的发现、提出、分析、解决，因此，高质量问题群有利于培养学生的数学高阶思维.3.2 指向数学高阶思维的问题群设计原则

问题群设计需要遵循五个原则：一是先低后高原则，所有的高阶思维都建立在低阶思维基础之上，记忆与理解以及适量的练习是必不可少的;二是具身性原则，问题群的主体是学生，學生能否将问题作为自己必须解决的对象，是高阶思维能否形成的要素;三是整体性原则，问题群中的问题间相互具有很强的逻辑关系，通过逻辑推理、数学运算等可以将所有的问题联结成一个系统;四是联结性原则，问题群既要对知识进行归因溯源，实现新知与旧知的自然融合，又要预留知识的发展出口，为更新的知识留有生长点;五是创新性原则，自觉应用所学知识分析现象解决问题，并能创造性地提出问题.4 结束语

问题是数学的心脏，问题质量的高低直接影响教学效果的优劣.以数学高阶思维为目标的问题群设计，需要以学生为主体，教师为主导，既要注重问题的结果，又要注重问题的形成、分析与解决过程，在帮助学生掌握知识的同时，培养能力、形成素养、实现创新.

参考文献

[1]王帅.国外高阶思维及其教学方式[J].上海教育科研，2011（09）：31-34.

[2]杨芳.学习动机的激发与课堂教学的优化[J].中国教育学刊，2002（02）：42-44.

[3]李昌官.走向素养为本的数学变式教学[J].课程·教材·教法，2021（08）：98-104.

[4]王泉泉，魏铭，刘霞.核心素养框架下科学素养的内涵与结构[J].北京大学学报（社会科学版），2019（02）：52-58.

[5]康小明.基础教育阶段创新人才培养的理论构建及政策启示[J].基础教育论坛，2016（12）：22-26.

[6]陈晨.美国基础教育创新人才培养模式研究[J].外国中小学教育，2018（01）：8-14.

作者简介 张阳（1976—），男，江苏宿迁人，中学高级教师，苏州市学科带头人;主要研究数学教育.

基金项目 江苏省教育科学“十三五”规划重点课题“高中生数学批判质疑能力的实践研究”（B-b/2018/02/56）;江苏省中小学教学研究课题“数学现象视角下的概念教学”（2019JK13-ZB37）;江苏省教育科学“十四五”规划课题“基于学 习时空重构的初中数学创新实验的开发与研究”（c-c/2021/02/26）.