关于pre-拓扑群τ-narrow子集的一点注记

谢瑜凡

（闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州 363000）

2009年,Danilov[1]提出了从拓扑的角度讨论知识空间,运用知识空间的背景,结合Császár[2]提出广义拓扑空间的概念,林福财等[3]系统研究了一种更强的广义拓扑空间,即pre-拓扑空间.事实上,李进金[4]首先讨论了pre-拓扑结构.之后,刘德金[5-6]讨论了pre-拓扑结构的一些基本性质.

自20世纪以来,拓扑群理论及其相关推广一直是一般拓扑学研究的热点,见文献[1,7-10].文献[7]在群上定义了pre-拓扑使得pre-拓扑与群的运算相互协调,即pre-拓扑群.由于τ-narrow子集在研究拓扑群中非常重要,自然地,考虑能否将文献[1]中拓扑群τ-narrow 子集的性质推广到pre-拓扑群上.因此,在文献[11]的基础上研究了pre-拓扑群中τ-narrow 子集的相关性质,并证明了几乎拓扑群G的子集B是τnarrow当且仅当由B代数生成G的子群B是τ-narrow.

1 预备知识

定义1[3]若集合X的子集的集族σ满足对任意并封闭且X∈σ.特别地,∅∈σ,则称σ是X的pre-拓扑,σ中的元素称为pre-拓扑的开集.

定义2[3]设X和Y是两个pre-拓扑空间,f:X→Y是一个映射.如果Y中每一个开集U的原像f-1(U)是X中的一个开集,则称映射f是pre-连续.

定义3[7]非空集合G是一个群同时又是pre-拓扑空间,使得乘法运算f(x×y)=x·y是G×G→G的pre-连续映射且逆运算g(x)=x-1是G→G的pre-连续映射,则称G为pre-拓扑群.

定义4[7]设G是pre-拓扑群且Be是单位元e处的pre-基,若满足：

1)对任意U∈Be,存在V∈Be使得V2⊆U,则称G是强pre-拓扑群;

2)如果Be是对称的,即对任意V∈Be使得V=V-1,则称G是对称pre-拓扑群;

3)若G既是对称pre-拓扑群也是强pre-拓扑群,则称G是几乎拓扑群.

定义5如果对pre-拓扑群G中单位元的任意开邻域U,存在G的子集F使得|F|≤τ且B⊆FU∩UF,其中τ是无限基数,则称pre-拓扑群G的子集B在G中是τ-narrow.

定义6[7]设X是pre-拓扑空间,对X的任意开覆盖U 都有U 的子集族ν使得|ν|≤κ且∪ν=X,则称该最小基数κ是pre-拓扑空间X的Lindelöf数,记作l(X).若l(X)=ω,则称X是Lindelöf.

定义7[7]假设U是pre-拓扑群G的单位元的邻域且B是G的子集,如果对∀a,b∈B且a≠b有b∉aU,则称G的子集B是U-不相交.

引理1[7]设G是几乎拓扑群,U和V是G中单位元的两个开邻域使得V4⊆U且V-1=V.如果G的子集B是U-不相交,则开集族{aV:a∈B}在G中是离散的.

定义8[7]设(G,τ)是pre-拓扑空间,若G中任意局部有限开子集族是有限的,则称G是feebly紧.

定义9若X的任意离散的非空开集族的基数是严格小于τ,则称空间X的离散胞腔数dc(X)=τ.显然,dc(X)=0当且仅当X是feebly 紧空间；dc(X)≤1当且仅当X的任意离散的非空开集族是可数的,则称X是feebly-1-紧.

定理1[7]τ-narrow pre-拓扑群的任意稠子群H是τ-narrow.

2 主要结果与证明

引理2设B是pre-拓扑群G的子集.若l(B)≤τ,则pre-拓扑群G的子集B是τ-narrow.

证明取B中单位元e的任意开邻域V,则{xV:x∈B}是B的开覆盖.因为l(B)≤τ,所以存在B的子集F1使得|F1|≤τ且集族{xV:x∈F1}覆盖B.故有B⊆F1V.

同理可证,存在B的子集F2使得B⊆VF2.令F=F1∪F2且|F|≤τ,从而B⊆FV∩VF.所以B是τnarrow.

引理3设B是几乎拓扑群G的子集.若c(B)≤τ,则B是τ-narrow.

证明设U是单位元e的开邻域.因为G是几乎拓扑群,所以取e的对称开邻域V使得V2⊆U.

设ξ是由B的所有V-不相交子集组成的集合,在集族ξ上赋予包含的偏序结构,且V-不相交集的任意链的并也是V-不相交集.由Zorn引理,集族ξ存在极大元A1.显然{aV:a∈A1}是B中非空开集组成的不相交集族.因为c(B)≤τ,所以|A1|≤τ.由极大元的性质可知,对任意的x∈B/A1,存在a∈A1使得xV∩aV≠∅,则x∈aVV-1=aV2⊆aU,所以B⊆A1U.

同理可证,存在集族ξ的极大元A2使得B⊆UA2.令A=A1∪A2且|A|≤τ,因此B⊆AU∩UA,所以B是τ-narrow.

根据定义9易知下面这个推论显然成立.

推论1若B是几乎拓扑群G的子集且满足l(B)≤τ或c(B)≤τ,则dc(B)≤τ+，其中τ+=τ∪{τ}.

命题1设B是几乎拓扑群G的子空间且满足dc(B)≤τ+,则B在G中是τ-narrow.

证明反证法.假设B在G中不是τ-narrow,则存在G中单位元e的邻域U,使得对∀F⊆G满足|F|≤τ有BFU≠∅或BUF≠∅.由Zorn 引理存在B的极大子集X,使得对∀x∈X存在X∩{xU}={x}.根据假设|X|＞τ,因为G是几乎拓扑群,所以取G中单位元的对称开邻域V,使得V4⊆U.由引理1 可知,集族γ={xV:x∈X}在G中是离散的,所以B的非空开集族θ={B∩W:W∈γ}在B中是离散的且|θ|=|γ|＞τ,这与dc(B)≤τ+矛盾.

下面证明几乎拓扑群G的子集B是τ-narrow,当且仅当B代数生成G的子群B是τ-narrow.

命题2设G是几乎拓扑群且B是G的子集,则下列性质等价:

1)B在G中是τ-narrow；

2)对于G中某一包含B的子群H,则B在H中是τ-narrow；

3)对于G的任意包含B的子群H,则B在H中是τ-narrow；

4)G的子群B的任意子集是τ-narrow.

证明若H是G的子群且B⊆H,则B⊆H.显然有4)⇒3)⇒2)⇒1),因此只需证1)⇒4).假设B在G中是τ-narrow,令K=B;设U是K中单位元e的任意开邻域,取G中e的对称开邻域V,使得V∩K=U.设X是B的最大子集使得对∀x∈X有X∩{xV}={x}.下证|X|≤τ.事实上,若|X|＞τ,取G中e的对称开邻域W,满足W2⊆V.因为B在G中是τ-narrow,存在G的子集F,使得B⊆FW且|F|≤τ,从而有|F|＜|X|且X⊆FW.因此,存在y∈F使得|X∩yW|≥2.设x1和x2是X∩yW中的两个不同元素,则

因此x2∈x1V,这与B的子集X是V-不相交矛盾,故|X|≤τ.

又由X的极大性可知,B⊆XV,下证B⊆XU.事实上,若b∈B,则∃x∈X且v∈V使得b=xv,从而有v∈x-1b∈B=K.所以v∈V∩K⊆U,由上述式子可得b=xv∈xU.所以B⊆XU.同理取B的子集Y使得B⊆UY且|Y|≤τ.于是B在B中是τ-narrow.

引理4设A和B是pre-拓扑群G的τ-narrow子集,则集合A-1和AB在G中也是τ-narrow.

证明设U是G中单位元e的邻域,存在G中e的邻域O使得O-1⊆U.因为A是τ-narrow 且存在子集F⊆G,所以有A⊆FO∩OF.令K=F-1,则|K|=|F|≤τ且

A-1⊆(FO)-1∩(OF)-1=O-1K∩KO-1⊆UK∩KU.

所以A-1在G中是τ-narrow.

下证AB在G中也是τ-narrow.取G中单位元e的开邻域V1,V2,使得V1V2⊆U且G的子集L满足|L|≤τ和B⊆LV2.对任意的y∈L,取G中e的邻域Wy使得yWy y-1⊆V1.

因为A在G中是τ-narrow,所以存在G的子集Ky使得|Ky|≤τ且A⊆KyWy.令且M=KL,显然|M|≤τ.下证AB⊆MU.假设a∈A,b∈B.取y∈L,使得b∈yV2且存在x∈Ky有a∈xWy.因此,

ab∈xWy yV2=xy(y-1Wy y)V2⊆xyV1V2⊆xyU，

即ab∈MU.从而AB⊆MU得证.

同理,存在G的子集M′使得AB⊆UM′且|M′|≤τ.令E=M∪M′,则|E|≤τ且AB⊆EU∩UE.所以,AB在G中也是τ-narrow.

定理2设X是代数生成pre-拓扑群G的τ-narrow子集,则群G是τ-narrow.

证明由引理4 可知,集合Y0=X∪X-1在G中是τ-narrow.对∀n∈ω,定义Yn+1=YnY0.再次利用引理4对n进行归纳,即对∀n∈ω有Yn+1是τ-narrow.因为τ≥ω且X=∪n=0∞Yn,所以群G是τ-narrow.由定理2可得到下面推论2-3.

推论2如果pre-拓扑群G包含由Lindelöf子空间代数生成的稠子群,则G是ω-narrow.

证明设B是G的Lindelöf子空间,它生成G的稠子群H.由引理2 可知,B在G中是τ-narrow.又根据定理2得到群H是τ-narrow.最后,由定理1可知G是τ-narrow.

推论3如果几乎拓扑群G包含由子空间B代数生成的稠子群且c(B)≤τ,则G是τ-narrow.