幂等元剩余链的结构

黄 蔚,陈 伟,2,3*

（1.闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州 363000；2.数字福建气象大数据研究所,福建 漳州 363000；3.数据科学与统计重点实验室,福建 漳州 363000）

剩余格是一类(2,2,2,2,2,0)型的代数结构L=(L,∧,∨,·,,/,e)满足(L,∧,∨)是格，(L,·,e)是幺半群，和∕分别是偏序集L上关于·的左剩余和右剩余，即满足条件：

对任意a,b,c∈L,b≤ac⇔a·b≤c⇔a≤c∕b.

剩余格L 称为幂等元剩余格，如果对任意a∈L，有a·a=a；若L 的格导出(L,∧,∨)是链，则L 称为剩余链.为方便起见，对于a,b∈L，将a·b简记作ab.

剩余格与子结构逻辑存在着紧密联系.在剩余格理论的研究中，幂等元剩余格的研究是一个重要的研究领域.文献[1]从半群的角度研究幂等元剩余链，借助半群的Green-D 关系方法，给出幂等元剩余链的重要性质和结构定理.继续文献[1]的研究，给出了幂等元剩余链的另一种构造方法，并给出了这类剩余格的结构定理，推广了文献[2]的定理20、定理21以及文献[3]的定理3.5.

1 预备知识

引理1[4]设L=(L,∧,∨,·,,/,e)是幂等元剩余格，a,b,c∈L.则

1）(b∨c)a≈(ba)∧(ca)；

2）a∕(b∨c)≈(a∕b)∧(a∕c).

引理2[5]设L=(L,∧,∨,·,,/,e)是幂等元剩余格，a,b∈L.则

1）a∧b≤ab≤a∨b；

2）若ab≤e，则ab=a∧b；

3）若ab≥e，则ab=a∨b；

4）若a,b≤e，则ab=a∧b；

5）若a,b≥e，则ab=a∨b.

引理3[1]设L=(L,∧,∨,·,,/,e)是幂等元剩余链.则

1）对任意a∈L，Da至多包含两个元.此外，若b∈Da且b≠a，则a＞e,b＜e或者a＜e,b＞e；

2）对任意a∈L，(Da,·)或者是左零半群，或者是右零半群.

据文献[6]，在幂等元剩余链L=(L,∧,∨,·,,/,e)上定义如下自然偏序关系≤n：对于a,b∈L，a≤nb当且仅当ab=ba=a.此外，Green-D 关系是L的半群导出上的半格同余，即商半群(LD,·)，简记作LD是半格.为方便起见，对于a∈L，将LD 中的元素简记作Da.再由文献[6]，在LD上定义如下偏序关系≤*：对于a,b∈L，Da≤*Db当且仅当Da·Db=Da.

引理4[1]设L=(L,∧,∨,·,,/,e)是幂等元剩余链.则

1）(LD,≤*)是有最大元De的链；

2）若a,b∈L满足a≤e和b≤e，则a≤b当且仅当a≤nb当且仅当Da≤*Db；

3）若a,b∈L满足a≥e和b≥e，则a≤b当且仅当b≤na当且仅当Db≤*Da；

4）若a,b∈L满足a≤e和b≥e，则a＜nb当且仅当Da＜*Db；

5）若a,b∈L满足a≤e和b≥e，则b＜na当且仅当Db＜*Da；

6）若a,b∈L满足a＜e和b＞e，则a和b关于自然序≤n不可比较当且仅当Da=Db.

2 主要结论及其证明

设L=(L,∧,∨,·,,/,e)是幂等元剩余链.对于a∈L，令a*=ae∧e∕a.对于a,b∈L，a≺b（或a≺nb）表示a＜b（或a＜nb），且对任意c∈L，若a≤c≤b（或a≤nc≤nb），则c=a或c=b.Da≺*Db表示Da＜*Db，且对任意c∈L，若Da≤*Dc≤*Db，则Dc=Da或Dc=Db.a‖nb表示a和b关于≤n不可比较，即ab≠ba.令L*={j∈L:存在a∈L使j=a*}，L*-={j∈L*:j≤e}和L*+={j∈L*:j＞e}.对任意j∈L*，令Lj={c∈L:c**=j}，minLj表示Lj中的最小元.对于i,j∈L*-，i≺L*-j表示i＜j且若存在l∈L*-使i≤l≤j，则l=i或者l=j.

命题1设L=(L,∧,∨,·,,/,e)是幂等元剩余链，a∈L.则

1）若a＜e，则a＜na*.此外，若存在b∈L满足a＜nb＜na*，则b＜e；

2）若a＞e，则a*＜na.此外，若存在b∈L满足a*＜nb＜na，则b＞e；

3）若a＜e，则a≤a**，a≤na**.特别地，当a*≠e时，有a**≺na*；

4）若a＞e，则a≤a**，a**≤na和a*≺na**.

证明1）如果a＜e，那么有ae≥e和e∕a≥e，于是a*=ae∧e∕a≥e，且a*≤ae和a*≤e∕a，即aa*≤e和a*a≤e.再由引理2 的2）得aa*=a*a=a*∧a=a，故有a＜na*.假设存在b∈L，b≥e使a＜nb＜na*，那么由引理4的3）得b＞a*.又ab=ba=a＜e，故b≤ae和b≤e∕a.于是b≤a*，从而产生矛盾.因此b＜e.

2）与1）类似得证.

3）如果a＜e，则a*≥e.由1）得a＜na*，且有a*e≤e和e∕a*≤e，故a**≤e.据引理2 的4）有a**a=aa**=a**∧a.假设a**＜a，那么a**a=aa**=a**，即a**＜na.于是有a**＜na＜na*.再由2）知a＞e，这与a＜e矛盾.故a≤a**.于是由引理4 的2）得a≤na**.特别地，如果a*≠e，则a*＞e.那么由2）得a**＜na*.假设存在b∈L使a**＜nb＜na*，则由2）得b＞e.但a≤na**＜nb＜na*，故由1）得b＜e，从而产生矛盾.因此a**≺na*.

4）与3）类似得证.证毕.

命题2设L=(L,∧,∨,·,,/,e)是幂等元剩余链.则

1）对任意a∈L，a***=a*；

2）对于a∈L，a∈L*当且仅当a**=a.

证明1）对任意a∈L，考虑以下3种情形：

①a=e：结论显然成立；

②a＜e：有a*≥e.此时如果a*=e，则有a***=a*=e.如果a*＞e，那么有a**＜e和a***≥e，且由命题1 的1）和3）得a**＜na***和a≤na**≺na*.假设a***≠a*，由于a***≥e和a*≥e，故由引理3的1）知Da***≠Da*，再由引理4的6）知a***与a*关于≤n可比较.于是有a**≺na*＜na***.从而由命题1 的1）得a*＜e，这与a*＞e矛盾.因此a***=a*；

③a＞e：与情形②类似得证.

2）充分性显然.

必要性如果a∈L*，那么存在b∈L使b*=a.于是由1）得a**=b***=b*=a.证毕.

命题3设L=(L,∧,∨,·,,/,e)是幂等元剩余链.则

1）对于a,b∈L，若a≤b，则b*≤a*；

2）若i,l∈L*-，则i=l当且仅当i*=l*.此外，对任意i∈L*-{e}，有i*＞e和i≺ni*；

3）对任意j∈L*，j是Lj的最大元.此外，Lj是L关于≤的区间，即若a∈Lj，b∈L满足a≤b≤j，则b∈Lj；

4）对任意j∈L*+,a∈Lj，有a＞e；

5）对任意j∈L*，若存在j#∈L满足j‖n j#，则Lj={j}；

6）对任意j∈L*，若存在a∈Lj满足|Da|=2，则a是Lj的最小元；

7）对于i,l∈L*-满足i≠l，a∈Li，b∈Ll，c∈Li*和d∈Ll*，则i＜l当且仅当a＜b当且仅当c＞d；

8）对于i,l∈L*-，j=l*∈L*+，若存在a∈Li和b∈Lj满足a‖nb，则l≺L*-i.

证明1）如果a≤b，则由引理1的1）和2）得，be=(a∨b)e=ae∧be和e∕b=e∕(a∨b)=e∕a∧e∕b.故有be≤ae和e∕b≤e∕a.又由于b*=be∧e∕b，于是有b*≤e∕a和b*≤ae.因此b*≤a*.

2）必要性显然.

充分性假设i,l∈L*-.如果i*=l*，那么由命题2的2）知，i=i**=l**=l.

下面证明对任意i∈L*-{e}，有i*＞e和i≺ni*.首先，由于i＜e，故i*≥e.如果i*=e，那么据命题2 的2）知i=i**=e*=e，这与i＜e矛盾.因此i*＞e.其次，由命题1 的1）得，i＜ni*.反设存在a∈L使i＜na＜ni*.那么由命题1的1）得a＜e.又i=i**＜na＜ni*，故由命题1的2）得a＞e，从而产生矛盾.因此i≺ni*.

3）因为j∈L*，由命题2 的2）有j**=j.故j∈Lj.由于对任意a∈Lj，有a**=j.于是结合命题1 的3）和4）知，a≤a**=j.因此j是Lj的最大元.假设a∈Lj，b∈L使a≤b≤j.那么由1）得j=a**≤b**≤j**=j.于是b**=j，即b∈Lj.因此Lj是L关于≤的区间.

4）对任意j∈L*+,a∈Lj，假设a≤e，则由1）得a**≤e，这与a**=j＞e矛盾.故a＞e.

5）设j∈L*，且存在j#∈L使j‖n j#.那么结合引理4 的6）和引理3 的1）知，Dj=Dj#且或者j＜e和j#＞e，或者j＞e和j#＜e.假设存在a∈Lj满足a≠j，考虑以下两种情形：

①j＜e：有j#＞e.由3）得a＜j＜e.且a*≠e.否则如果a*=e，则a**=e*=e，这与a**=j矛盾.于是由命题1的3）得，a＜na**=j≺na*.又结合引理4 的2）和4）知，Da＜*Dj=Dj#≺*Da*，故有a＜n j#≺na*.再由命题1 的1）得j#＜e，这与j#＞e矛盾.因此a=j；

②j＞e：与情形①类似得证.

综上，Lj={j}.

6）假设j∈L*，a∈Lj满足|Da|=2.那么存在a#∈L使a‖na#且Da=Da#.考虑以下两种情形：

①j≤e：有a≤j≤e和a#＞e.如果a=j，则由5）得Lj={j}，故j是Lj的最小元.如果a≠j，假设存在b∈Lj使b＜a，则由引理4 的2）得b＜na.又由命题1 的3）得b＜na＜na**=b**≤nb*.再结合引理4 的2）和4）知Db＜*Da=Da#＜*Db*，故有b＜na#≺nb*.于是据命题1 的1）得a#＜e，这与a#＞e矛盾.因此对任意b∈Lj，有a≤b.即a是Lj的最小元；

②j＞e：与情形①类似得证.

7）假设i,l∈L*-满足i≠l，a∈Li，b∈Ll，c∈Li*和d∈Ll*下面证明i＜l当且仅当a＜b.由于i,l∈L*-，据命题2 的2）知i**=i和l**=l.如果i＜l，那么由3）可知a≤i＜l和b≤l.假设b≤i，则由1）得b**≤i**=i＜l，这与b**=l矛盾.因此i＜b，故有a＜b.反之，如果a＜b，那么由3）知a≤i和a＜b≤l.假设l＜i，则由1）得a**≤l**=l＜i，这与a**=i矛盾.因此i＜l.对于i＜l当且仅当c＞d这一结论可类似得证.

8）假设i,l∈L*-，j=l*∈L*+，a∈Li和b∈Lj使a‖nb.则由引理4 的6）得Da=Db.又据3）和4）知a≤i≤e和e＜b≤j.如果i＜n j，那么由引理4的2）和3）得a≤ni＜n j≤nb，这与a‖nb矛盾.所以i≮n j.于是考虑以下两种情形：

①i‖n j：由5）得a=i和b=j.再由2）有l≺nl*=j‖ni.那么结合引理4 的4）和6）知，Dl≺*Dj=Di.故有l≺ni.因此l≺L*-i；

②j＜ni：由2）得l≺nl*=j＜ni，于是据引理4的1）知l＜i.假设存在k∈L*-使l＜k＜i.则由7）得k＜a，再由引理4 的2）得k＜na和l＜nk＜ni.故有j‖nk或者j＜nk.如果j‖nk，那么由5）得b=j，且由引理4 的6）得Db=Dk.故有Da=Db=Dk.于是由引理3 的1）得k=a，这与k＜a矛盾.如果j＜nk，那么有k≮nb.否则，若k＜nb，则由命题1 的4）得b*≺nb**=j＜nk＜nb.再由命题1 的2）知k＞e，这与k∈L*-矛盾.故有b‖nk或者b＜nk.此时若b‖nk，则由引理4的6）得Da=Db=Dk.再由引理3的1）得k=a，这与k＜a矛盾.若b＜nk，则有b＜nk＜na，这与a‖nb矛盾.

综上，l≺L*-i.证毕.

设(I=I1∪I2∪I3,≤)是具有最大元e的链，其中I1,I2和I3两两互不相交.令I+=I1+∪I2+∪I3+={i+:i∈I{e}}，其中I+1,I+2和I+3两两互不相交.并规定e+=e.此外，I和I+满足I ∩I+=∅，且对于j,k∈I{e}，由j+≠k+可得j≠k.对 于i,j∈I，i≺I j表示i＜j且若存在l∈I使i≤l≤j，则l=i或者l=j.现在令J=I∪I+，并设A={(Aj,≤Aj),j∈J}是两两互不相交的非空链构成的集族.

定义1(I,I+,J;A)称为一个链扩张系统，如果满足：

CE1）对任意j∈J，j是Aj的最大元；

CE2）若i∈I2，则存在j+∈I+2满足j+≠i+，且j≺Ii；

若i∈I3，则存在j+∈I+3满足j+≠i+，且j≺Ii；

CE3）若i+∈I+2，则存在j∈I2满足j≠i，且i≺I j；

若i+∈I+3，则存在j∈I3满足j≠i，且i≺I j；

CE4）若e∈I2∪I3，则|Ae|＞1.

给定一个链扩张系统(I,I+,J;A)，令L=∪j∈J Aj.首先，在L上定义如下序关系≤：对于a∈Aj，b∈Ak，a≤b当且仅当满足以下条件之一：

P1）j=k∈J,a≤Ajb；

P2）j,k∈I,j＜k；

P3）j=i+1,k=i+2∈I+,i2＜i1；

P4）j∈I,k∈I+.

引理5(L,≤)是链.

证明先证(L,≤)是偏序集.首先由P1）可知，≤满足自反性；其次证明≤满足反对称性.令a∈Aj，b∈Ak满足a≤b和b≤a.考虑下面4种情形：

1）j=k∈J：那么由P1）得a≤Ajb和b≤Aja.因为(Aj,≤Aj)是链，所以a=b；

2）j,k∈I且j≠k：那么由a≤b和b≤a可知j＜k和k＜j，这是不可能的；

3）j=i+1,k=i+2∈I+且j≠k：那么由a≤b和b≤a可知i2＜i1和i1＜i2，这是不可能的；

4）j∈I,k∈I+和k∈I,j∈I+：由≤的定义可知，这两种情形也是不可能的.

综上，由a≤b和b≤a可得a=b.因此≤满足反对称性.

最后证明≤满足传递性.令a∈Aj，b∈Ak，c∈As满足a≤b和b≤c.考虑下面4种情形：

1）j=k=s∈J：那么由P1）得a≤Ajb和b≤Ajc.因为(Aj,≤Aj)是链，于是有a≤Ajc.因此根据≤的定义得a≤c；

2）j=k≠s：那么当k,s∈I且k＜s时，有j＜s，再由P2）得a≤c.当k=i+1,s=i+2∈I+且i2＜i1时，有j=i+1，再由P3）得a≤c.当k∈I,s∈I+时，有j∈I，再由P4）得a≤c；

3）j≠k=s：与情形2）类似得证；

4）j,k和s两两互不相同：如果j,k,s∈I，那么有j＜k和k＜s，于是j＜s，则由P2）得a≤c.如果j∈I,s∈I+，则由P4）得a≤c.如果j=i+1,k=i+2,s=i+3∈I+，则有i2＜i1和i3＜i2，于是i3＜i1，再由P3）得a≤c.

综上，由a≤b和b≤c可得a≤c，即≤满足传递性.因此(L,≤)是偏序集.又由≤的定义可知，对任意a,b∈L，或者a≤b或者b≤a.因此(L,≤)是链.证毕.

其次，在L上定义如下乘法运算◦：对于a∈Aj，b∈Ak，

引理6(L,≤,◦)是单位元为e的幂等格序幺半群.

证明由◦的定义，a◦a=a∧a=a或a◦a=a∨a=a.所以乘法◦满足幂等律.令a∈Aj.如果j∈I，那么由e是I的最大元和定义1 的CE1）得，a≤j≤e.再由◦的定义，a◦e=e◦a=a∧e=a.如果j=i+∈I+，则有i＜e.此时若e∈I1，由◦的定义得a◦e=e◦a=a；若e∈I2∪I3，则由定义1 的CE1）和CE4）可知，|Ae|＞1 且e不是Ae的最小元.于是结合◦的定义得a◦e=e◦a=a.因此e是L的单位元.下面证明◦满足结合律.为此，令a∈Aj，b∈Ak，c∈As，考虑以下5种情形：

1）j,k,s∈I：由◦的定义得，(a◦b)◦c=(a∧b)◦c=a∧b∧c和a◦(b◦c)=a◦(b∧c)=a∧b∧c.因此(a◦b)◦c=a◦(b◦c)；

2）j,k∈I,s=i+∈I+：结合◦的定义有

因此(a◦b)◦c=a◦(b◦c)；

3）k,s∈I,j=i+∈I+或者j,s∈I,k=i+∈I+：与情形2）类似得证；

4）j∈I,k=i+,s=l+∈I+或者k∈I,j=i+,s=l+∈I+或者s∈I,j=i+,k=l+∈I+：与情形2）类似得证；

5）j,k,s∈I+：由◦的定义得，(a◦b)◦c=(a∨b)◦c=a∨b∨c和a◦(b◦c)=a◦(b∨c)=a∨b∨c.因 此(a◦b)◦c=a◦(b◦c).

最后证明≤与◦相容.设a,b∈L满足a≤b，需证明对任意c∈L，有a◦c≤b◦c和c◦a≤c◦b.假设a∈Aj，b∈Ak,c∈As，考虑以下6种情形：

1）j,k,s∈I：那么由◦的定义得a◦c=c◦a=a∧c和b◦c=c◦b=b∧c.又因为a≤b，所以a◦c≤b◦c和c◦a≤c◦b；

2）j,k∈I,s=i+∈I+：那么有a≤b＜c和j≤k.如果i＜j，则i＜k.此时分以下几种情形进行考虑：①当j∈I1时，由◦的定义有a◦c=c◦a=c和b◦c=c◦b=c.②当j∈I2且i⊀I j时，有i⊀Ik.再由◦的定义有a◦c=c◦a=c和b◦c=c◦b=c.③当j∈I2，i≺I j且a≠minAj或c≠minAs时有a◦c=c◦a=c和b◦c=c◦b=c.④当j∈I2，i≺I j且a=minAj和c=minAs时有a◦c=a，b◦c∈{b,c}和c◦a=c=c◦b.故当j∈I2时有a◦c≤b◦c和c◦a≤c◦b.⑤当j∈I3时，与j∈I2的情形类似得证.如果j≤i，则由◦的定义得a◦c=c◦a=a.又因为b◦c,c◦b∈{b,c}，所以a◦c≤b◦c和c◦a≤c◦b；

3）j,s∈I,k=i+∈I+：那么由◦的定义得a◦c=c◦a=a∧c≤c＜b.又因为b◦c,c◦b∈{b,c}，所以a◦c≤b◦c和c◦a≤c◦b；

4）j∈I,k,s∈I+：则a＜b≤b∨c.又因为a◦c,c◦a∈{a,c}，b◦c=c◦b=b∨c，所以a◦c≤b◦c和c◦a≤c◦b；

5）j=i+,k=l+∈I+,s∈I：与情形2）类似得证；

6）j,k,s∈I+：那么由◦的定义有a◦c=a∨c=c◦a和b◦c=b∨c=c◦b.又因为a≤b，所以a◦c≤b◦c和c◦a≤c◦b.

综上，(L,≤,◦)是单位元为e的幂等格序幺半群.证毕.

最后，为了构造幂等元剩余链，还需在L上定义如下两种除法运算和∕：对于a∈Aj，b∈Ak，

并将上述的(L,∧,∨,◦,,/,e)记作J⊗A.以下结论推广了文献[2]的定理20、定理21 以及文献[3]的定理3.5.

定理1L=J⊗A是幂等元剩余链.

证明结合引理5 和引理6，只需证明对任意a,b∈L，a=max{c:a◦c≤b}和b∕a=max{c:c◦a≤b}.假设a∈Aj，b∈Ak.下面证明a=max{c:a◦c≤b}.考虑以下5种情形：

情形1分下面四种情形进行考虑：

1）j,k∈I,b＜a：由◦的定义得a◦(a)=a◦b=a∧b=b.设c∈As⊆L满足a◦c≤b.若c＞b，那么有a◦c∈{a,c}＞b，这与a◦c≤b矛盾.故有c≤b=a.

2）j,k∈I+,a≤b：由◦的定义得a◦(a)=a◦b=a∨b=b.设c∈As⊆L满足a◦c≤b.若c＞b，那么有s∈I+且c＞a.于是a◦c=a∨c=c＞b，这与a◦c≤b矛盾.故有c≤b=a.

3）j∈I,k=i+∈I+,i＜j：有a＜b.分以下几种情形进行考虑：①j∈I1∪I3:由◦的定义得a◦(a)=a◦b=b.设c∈As⊆L满足a◦c≤b.若c＞b，则有s=l+∈I+且l≤i.故l＜j.于是由◦的定义得a◦c=c＞b，这与a◦c≤b矛盾.故有c≤b=a.②j∈I2且i⊀I j，或者j∈I2，i≺I j且a≠minAj或b≠minAk：与情形①相同.③j∈I2，i≺I j且a=minAj和b=minAk：与情形①类似得证.

4）j=i+∈I+,k∈I,k≤i：有a＞b.由◦的定义得a◦(a)=a◦b=b.设c∈As⊆L满足a◦c≤b.若c＞b，则a◦c∈{a,c}＞b，这与a◦c≤b矛盾.故有c≤b=a.

情形2分下面4种情形进行考虑：

1）j∈I1∪I3,k∈I,a≤b：由◦的定义得a◦(a)=a◦j+=a≤b.设c∈As⊆L满足a◦c≤b.若c＞j+，则s=l+∈I+且l＜j，那么a◦c=c＞b，这与a◦c≤b矛盾.所以c≤j+=a.

2）j∈I2,k∈I,a≤b且a≠minAj：与1）类似得证.

3）j∈I1∪I3,k=i+∈I+,j≤i：由◦的定义得a◦(a)=a◦j+=a≤b.设c∈As⊆L满足a◦c≤b.若c＞j+，则s=l+∈I+且l＜j，于是有l＜i.再由◦的定义得a◦c=c＞b，这与a◦c≤b矛盾.所以c≤j+=a.

4）j∈I2,k=i+∈I+,j≤i且a≠minAj：与3）类似得证.

情形3分下面5种情形进行考虑：

1)j=k=i+∈I+,a＞b:有a≠minAj.由◦的定义得a◦(a)=a◦i=i＜b.设c∈As⊆L满足a◦c≤b.若c＞i，那么当s∈I+时，a◦c=a∨c≥a＞b，这与a◦c≤b矛盾；当s∈I时有s＞i，再结合◦的定义可知a◦c=a＞b，这与a◦c≤b矛盾.故c≤i=a.

2）j=i+∈I+1∪I+2,k∈I+,k＜j：与1）类似得证.

3）j=i+∈I+3,k∈I+,k＜j且a≠minAj：与1）类似得证.

4）j=i+∈I+1∪I+2,k∈I,i＜k：有a＞b.由◦的定义得a◦(a)=a◦i=i＜b.设c∈As⊆L满足a◦c≤b.若c＞i，那么当s∈I+时有a◦c∈{a,c}＞b，这与a◦c≤b矛盾；当s∈I时有s＞i，又由于j=i+∈I+1∪I+2，于是当s∈I1∪I2时，结合定义1的CE3）和◦的定义知a◦c=a＞b，当s∈I3时有i⊀Is，再由◦的定义得a◦c=a＞b，这均与a◦c≤b矛盾.故c≤i=a.

5）j=i+∈I+3,k∈I,i＜k且a≠minAj：与4）类似得证.

情形4记m=minAl+，其中l满足l≺I j.考虑以下2种情形：

1）j∈I2,k∈I,a≤b且a=minAj：由◦的定义得a◦(a)=a◦m=a≤b.设c∈As⊆L满足a◦c≤b.若c＞m，则有s=h+∈I+满足h≤l.此时如果h=l，则有c≠minAl+，再结合◦的定义得a◦c=c＞b；如果h＜l，则有h＜j且h⊀I j，于是由◦的定义得a◦c=c＞b，这均与a◦c≤b矛盾.故有c≤m=a.

2）j∈I2,k=i+∈I+,j≤i且a=minAj：与1）类似得证.

情形5记m=minAl，其中l满足i≺Il.考虑以下两种情形：

1）j=i+∈I+3,k∈I+,k＜j且a=minAj：由◦的定义得a◦(a)=a◦m=m＜b.设c∈As⊆L满足a◦c≤b.若c＞m，那么当s∈I+时有a◦c=a∨c≥a＞b，这与a◦c≤b矛盾；当s∈I且s≥l时有i＜s，特别地，当s=l时有c≠minAl，当s＞l时有i⊀Is.又由于j=i+∈I+3，于是结合◦的定义可知，无论s∈I1∪I2或是s∈I3都有a◦c=a＞b，这与a◦c≤b矛盾.因此c≤m=a.

2）j=i+∈I+3,k∈I,i＜k且a=minAj：与1）类似得证.

对于b∕a=max{c:c◦a≤b}的证明是类似的.证毕.

下面证明任意幂等元剩余链都同构于某一J⊗A.设L=(L,∧,∨,·,,/,e)是幂等元剩余链.令L*={j∈L:存在a∈L使j=a*}和I={j∈L*:j≤e}=I1∪I2∪I3=L*-，其 中I1={i∈L*-:对任意a∈Li,|Da|=1}，I2={i∈L*-:存在a∈Li,|Da|=2且Da是左零半群}和I3={i∈L*-:存在a∈Li,|Da|=2且Da是右零半群}.令I*={i*:i∈I{e}}=I1*∪I2*∪I3*=L*+， 其 中I1*={j∈L*+:对任意a∈Lj,|Da|=1}，I2*={j∈L*+:存在a∈Lj,|Da|=2且Da是左零半群}和I3*={j∈L*+:存在a∈Lj,|Da|=2且Da是右零半群}.并令X={(Lj,≤):j∈L*}.由命题3的2）可知，对任意i∈I{e}有i*＞e.因此I ∩I*=∅.若i,l∈I满足i≠l，则存在a,b∈L使a*=i和b*=l.于是由命题2的1）得i**=a***=a*=i≠l=b*=b***=l**.因此i*≠l*.

引理7(I,I*,L*;X)是一个链扩张系统.

证明由命题3的3）、5）和8）可得.证毕.

定理2设L=(L,∧,∨,·,,/,e)是幂等元剩余链，则L同构于L*⊗L.

证明记L*⊗X中的序关系为≤1.结合定理1 和引理7，只需证对任意a,b∈L，≤=≤1和a·b=a◦b.首先证明≤=≤1.设a,b∈L且a≤b，考虑以下3种情形：

1）若a≤e和b≤e，则由命题3 的1）得a**≤e和b**≤e，即a**,b**∈I且a**≤b**.结合a∈La**和b∈Lb**，由P1）和P2）得a≤1b；

2）若a≥e和b≥e，则由命题3的1）得a*≤e和b*≤e，即a*,b*∈I.结合a∈La**和b∈Lb**，再由命题3的1）知b*≤a*.于是由P3）得a≤1b；

3）若a≤e和b＞e，则由命题3 的1）得a**≤e和b**＞e.即有a**∈I和b**∈I*.结合a∈La**和b∈Lb**，由P4）得a≤1b.

综上，≤⊆≤1.

反之，假设a≤1b，考虑以下4种情形：

1）若a**=b**∈L*，则由P1）得a≤b；

2）若a**,b**∈I满足a**＜b**，则由命题3的7）得a≤b；

3）若a**,b**∈I*满足a*＞b*，则由命题3的7）得a≤b；

4）若a**∈I，b**∈I*，那么结合命题3的3）和4）知a≤a**≤e和e＜b≤b**.故a≤b.

综上，≤1⊆≤.因此≤=≤1.

接着证明a·b=a◦b.考虑以下几种情形：

1）若a≤e和b≤e，则由引理2 的4）知a·b=a∧b，根据◦的定义得a◦b=a∧b.又由于≤=≤1，故a·b=a◦b；

2）若a＞e和b＞e，则与1）类似得证；

3）若a＞e和b≤e，则由命题3的1）知a*,b**∈I，且a∈La**和b∈Lb**.现考虑以下两类情形：

①a*＜b：则由命题2 的1）和命题3 的3）得a*=a***＜b≤b**，即a*＜b**.分以下几种情形进行考虑：当b**∈I1∪I2时，根据◦的定义，a◦b=a.因为a＞e，于是由命题1 的4）得a*≺na**≤na.假设b＜na.因为a*＜b≤e，所以由引理4 的2）得a*＜nb＜na.再由命题1 的2）得b＞e，这与b≤e矛盾.故b≮na.于是有a‖nb或者a＜nb.此时如果a‖nb，那么由于b**∈I1∪I2，结合引理4 的6）可知Da=Db是左零半群，故a·b=a；如果a＜nb，即有a·b=a.综上，当b**∈I1∪I2时有a·b=a◦b=a.当b**∈I3且a*⊀Ib**或者b**∈I3，a*≺Ib**且a≠minLa**或b≠minLb**时，与b**∈I1∪I2的情形同理可证得a·b=a◦b=a.当b**∈I3，a*≺Ib**且a=minLa**和b=minLb**时，根据◦的定义得a◦b=b，又结合命题3 的6）和8）可知a‖nb，于是由引理4 的6）可得Da=Db是右零半群，因此a·b=b=a◦b.

②b≤a*：则结合命题2的1）和命题3的1）可得b**≤a***=a*.那么根据◦的定义，a◦b=b.又因为b≤a*≤e，所以由引理4的2）得b≤na*.再由命题1的2）有a*＜na.于是b≤na*＜na，故有a·b=b.因此a·b=a◦b=b.

4）若a≤e和b＞e，与3）类似得证.证毕.