基于重整化群的舰艇末端反导火力配置优化研究∗

杨绍清 梁新宇 黄 义

（海军大连舰艇学院 大连 116018）

1 引言

水面舰艇的末端反导一直是各国海军高度重视的一个课题［1～2］，特别是反舰导弹的饱和攻击和高超音速反舰导弹攻击，是水面舰艇的很大威胁，因此如何在一个重要的区域中实现有效的防御则成为水面舰艇末端反导的一个重要的课题。本文利用重整化群优化原理［3］，对舰艇及编队三维作战空域的末端反导防御问题进行了研究，提出了一种新的水面舰艇末端反导火力优化配置方法，可为水面舰艇及编队末端反导火力配置提供决策依据。

2 重整化群优化原理

重整化群（renormalization group）方法是20世纪70年代初Wilson［3］提出的一种方法，是建立在系统具有明显分形结构基础上，通过重复使用一个重整化递归关系，将一个具有较大相关尺度的原始系统，变换到一个统一的相关尺度上，从而研究系统的临界现象并实现系统优化。

基于重整化群的优化原理可以描述如下［12］：

1）设在尺度L0的情况下，系统某物理量大小为p0；

2）通过将尺度进行粗化，可以计算出在尺度2L0的情况下，系统的物理量为p1；

3）再进行粗化，可以计算出在尺度4L0的情况下，系统的物理量为p2；

4）一般地，在尺度为2nL0时系统的物理量的大小为pn；

5）定义变换T，则上述粗化过程可表示为T（p0）→p1，T（ p1）→p2，T（p2）→p3，…，T（pn-1）→pn，…。每一次变换，对应的尺度变化为 L0→2L0，2L0→4L0，…，2（n-1）L0→2nL0，…；

6）如果对于变换T，存在一个正整数N满足：T（pn）=pn+1=pn，n ≥ N，则称pn为T的一个不动点，在临界状态中，不动点通常对应临界点［10］。

利用不同尺度获得系统物理量的过程称为重整化，而变换T的集合定义为半群，是一个代数学概念［4］。设S是非空集合，在S中定义了二元乘法运算*，满足结合率，即

则称S为半群。

考虑T的重整化作用，且变换T集合中的各元素必然满足结合率，因此，物理学家将这一半群称为重整化群。

3 末端反导火力配置优化方法

3.1 基本假设

设某水面舰艇部队要进行海上末端反导作战，为了问题的简化，给出以下两个假设。

1）要防御的总区域是一个边长为L的立方体，舰艇（编队）配置的各火力单元集中位于总防御区域底部中心，该立方体称为总防御区域。参见图1。

图1 总防御区域

2）各火力单元对各自负责的防御单元的防御效果相同。

图1中的圆点表示一个防御单元的中心，这个防御单元的实际大小由火力单元的战技性能、技术状态、毁伤能力和任务要求等决定。根据这一假设防御单元符合边长为l的立方体，l小于总防御区域的边长L。

3.2 任务描述

舰炮末端反导的任务就是要对从总防御区域除底部外的其他5个面来袭的导弹进行有效的拦截，因此，防御任务指标可以用舰炮对总防御区域5个面的控制程度来描述。对总防御区域的控制程度可以分成三类，即弱控制、强控制和无控制［5］，各类控制的含义如下。

1）弱控制是指部队对总防御区域的一个方向上具有防御能力，即防御单元布满总防御区域5个面中的1个面。

2）强控制是指部队对总防御区域的两个方向上具有防御能力，即防御单元布满总防御区域5个面中的两个面。可见，对总防御区域的强控制必然也是弱控制［9］。

3）无控制是指部队对总防御区域无控制能力，既不是强控制，又不是弱控制的，则为无控制［6］。

3.3 火力配置优化重整化群方法

3.3.1 总防御区域的分形特征

重整化群方法的前提是需要系统具有分形结构［7］。总防御区域中防御单元的边长逐渐变小时，防御单元的数量将逐渐增大，因此总防御区域可以看成是不同测度下具有自相似性的防御单元组成的，因而可以用分形维进行描述。

式（1）中，D总是处于 0～3之间，故有0＜P0≤1。

3.3.2 强弱控制概率计算

强弱控制概率用于定量描述任务需求，就是重整化群方法中要求解的物理量［8］。

为求解问题方便，先考虑以边长为2l的立方体作为总防御区域的弱控制和强控制时的概率。设Pw1为对总防御区域弱控制概率，Ps1为对总防御区域强控制概率，W为弱控制事件，S为强控制事件，Ai(i=1，2，…，8)为总防御区域中有i个防御单元得到控制的事件，则根据全概率公式有［11］：

则在各种情况下弱控制和强控制概率如下。

1）总防御区域中有1、2或3个防御单元得到控制时，无法形成弱控制和强控制，故：

2）总防御区域中有4个防御单元得到控制时，共有C84种组合方式，形成每种方式的概率为当总防御区域1个面中的4个防御单元得到同时控制时，可形成弱控制，因此，弱控制有5种方式；显然，在此情况下无强控制。故有：

其中，P0参见式（1）。

3）总防御区域中有5个防御单元得到控制时，共有C85种组合方式，形成每种方式的概率为当总防御区域1防御面中的4个防御单元得到同时控制时，可形成弱控制，剩下的1个防御单元位于该防御面相对面的4个位置中任一位置即可，而共有5个防御面，因此，弱控制有20种方式；显然，在此情况下无强控制。故有：

4）总防御区域中有6个防御单元得到控制时，共有C86种组合方式，形成每种方式的概率为

根据得到控制的6个防御单元不同位置情况可分析强弱控制概率。1）当得到控制的4个防御单元位于总防御区域顶部，其余两个防御单元位于总防御区域底部的同一边上时，顶部和1个侧面同时得到控制，从而形成强控制，由于有4个侧面，所以有4种强控制方式；如果其余两个防御单元位于总防御区域底部的不同边上时，即位于底部的对角时，只有顶部得到控制，因此，只能形成弱控制，共有两种弱控制方式；由于强控制也是弱控制，因此，共有4种方式强控制，6种方式弱控制；2）当得到控制的4个防御单元位于总防御区域侧面，相邻两个侧面都得到控制时将形成强控制，共有4种控制方式，侧面与顶部形成的强控制已经计算过；而弱控制是其余两个防御单元位于相对侧面的对角和下边时，1个侧面共有3种方式，4个侧面共有12种方式；因此，共有4种强控制，16种弱控制；3）当得到控制的4个防御单元位于总防御区域底部时，其余两个位于顶部的同一边，则形成弱控制，共有4种方式，在此情况下无强控制。

综上所述，在总防御区域中有6个防御单元得到控制时，弱控制方式有26种，强控制方式有8种。故有：3.3.3 尺度粗化及概率变换方程与求解

根据P0，由式（4）可以计算出了 Pw1，此时总防御区域变长为L而防御单元边长为l；将总防御区域和防御单元边长分别变为2L和2l，则此时根据式（2）可得总防御区域的弱控制概率为；类似地，用重整化群的方法，反复增大区域，由式（4）和（5）可以得到以下关系：

这样就可以得到图2和图3中所示的情况。对于弱控制和强控制，分别符合以下的关系式：

从图2和图3中可以看出，x=0和x=1是弱控制和强控制的可靠的不动点。但在0和1之间它们各自有不同的不可靠的不动点。弱控制概率的不动点约为PWC=0.7634，强控制概率的不动点为PSC=0.9391。

图2 弱控制图y=f(x)和y=x

图3 强控制图y=g(x)和y=x

3.3.4 应用举例

1）问题描述

设某一水面舰艇或编队要执行末端反导任务，总防御区域边长为L=10km，火力单元作战能力范围为l=5km，一个火力单元能够有效控制各不相同的两个防御单元，试问需要多少个火力单元才能够实现末端反导的弱控制和强控制？

2）问题求解

分别考虑水面舰艇或编队有不同个火力单元情况。

（1）两个火力单元

两个火力单元可以有效控制4个防御单元，因此，N(l)=4。

根据给定的总防御区域L=10km和防御单元的作战能力范围l=5km及相应的防御单元数量N（l）=4，可以估计出防御单元分布的分形维：

对总防御区域强弱控制的初始概率为

根据上述求解，弱控制的临界概率为PWC=0.7634，由于P0＜PWC而无法实现弱控制。

实际上，当对总防御区域的弱控制概率大于Pwc时，对总防御区域的弱控制将向好的方向转化，当在Pwc以下时，向坏的方向转化。这一过程与弱控制概率迭代计算过程类似，参见图4。

图4 弱控制概率迭代计算过程

（2）3个火力单元

可以有效控制6个防御单元，P0=0.75，P0＜PWC，仍然不能够很好地实现弱控制。

（3）4个火力单元

可以有效控制8个防御单元，P0=1，P0＞PSC=0.9391，这情况下不仅能够很好地实现弱控制，也能很好地实现强控制。

3）结果与分析

根据上述计算可以得出，当舰艇或编队配有4个和4个以上的火力单元时，则能够实现末端反导的强控制；当舰艇或编队配有3个和3个以下的火力单元时，则能够很好地完成末端反导任务。

实际上，当对总防御区域的初始控制概率P0大于强控制临界概率Psc时，对总防御区域的强控制将向好的方向转化；当对总防御区域的初始控制概率P0小于弱控制临界概率PWC时，对总防御区域将向无控制转化；而当PWC＜P0＜PSC时，将无法实现强控制，但能够很好地实现弱控制，且向好的弱控制转化比向好的强控制转化要容易。

4 结语

本文在对水面舰艇末端反导作战任务进行定量分析的基础上，利用重整化群思想，给出了一种新的水面舰艇末端反导火力单元的配置方法。通过舰载武器火力单元的战术与技术性能，确定火力单元能够有效控制的防御单元的方向、大小和空间形状；通过防御单元的数量和总防御区域的大小，可以确定初始控制概率；根据初始控制概率与总防御区域强弱控制转化的临界概率的大小关系，可以得到舰艇及编队完成任务的情况，进而优化火力配置和兵力部署方案。