三类切线问题的解法探究

吴露露

曲线的切线问题主要有求切线的方程、求切线的斜率、求切线的条数以及两曲线的公切线问题.解答此类问题的常用方法是导数法，即根据导数的几何意义求得切线的斜率，再进一步讨论切线的方程、条数以及公切线.在本文中，笔者将重点探究下列三类切线问题的解法.

一、求经过曲线上某一点的切线方程

求经过曲线上某一点的切线方程问题较为常见.这类题目中通常会告知曲线的方程与曲线上某一点的坐标，要求过该点的切线方程，需先明确该点是否为切点，若该点为切点，则需根据函数f（x）在点x0处的导数f’（x0）的几何意义：在曲线y=（x）上点P（x0，y0）处的切线的斜率，求得切线的斜率，得出切线的方程为y - y0 =f'（x0）（x -x0）.若该点不为切点，则需先设出切点，再按照上述步骤求解.

根据题意，我们无法判断P点是否为切点，于是设出切点Q，再根据导数的几何意义求出切线的方程.

二、求两条曲线的公切线的方程

两条曲线的公切线有两种情况：一是两条曲线存在公共点，公切线恰好过公共點.这种情况较为简单，直接对两条曲线的方程求导，使其导函数，即斜率相等，即可解题;二是两条曲线上的切点不同，需要分别设出两曲线上的切点，求得两条切线的方程，再根据两条直线重合的条件解题.

本题中两条曲线上的切点不一定是同一个点，于是分别设出两个切点，再根据导数的几何意义求得两条切线的斜率和方程，而这两条切线实际上是同一条公切线，因此方程相同，由此建立关于x1、x2的关系式，便能求得问题的答案.

三、求切线的条数问题

求切线的条数问题通常较为复杂，要先根据导数的几何意义求出切线的方程，然后再讨论方程根的个数，最终才能求出切线的条数.

由此可见，解答切线问题，不仅要灵活运用导数的几何意义、导数与函数单调性之间的关系、求导法则，还需灵活运用直线的斜率、方程以及函数、方程的性质.因此在解题时，同学们要学会将切线问题与导数、直线方程、函数、方程知识关联起来，综合运用这些知识来寻求解题的思路.同时，在解题的过程中，要充分利用图形来辅助解题，这样可使解题的效率倍增.