求解与数列有关的最值问题的途径

吴玲

与数列有关的最值问题常与数列、函数、不等式、导数等知识相结合，具有较强的综合性.解答此类问题，需综合运用数列的性质、定义、前n项和公式、函数的性质以及不等式的性质.本文重点探讨一下求解与数列有关的最值问题的途径.

一、利用数列的单调性

数列是定义在正整数集上的一种特殊函数，它和函数一样，具有单调性.在解答与数列有关的最值问题时，我们可以先判断出数列的单调性，再利用数列的单调性来求出最值.一般地，若数列为递增数列，则数列的首项为最小值，最后一项的极值为最大值;若数列为递减数列，则数列的首项为最大值，最后一项的极值为最小值.

判断数列的单调性一般有两种方法：一是作差法，二是作商法.若an< an+1，则数列单调递增;若an>an+1，则数列单调递减.根据数列的单调性，找出其中的最大值，即可求得数列前n项和的最大值.

二、采用基本不等式法

基本不等式法是求解最值问题的重要方法.在求解与数列有关的最值问题时，可将目标式看作或者放缩为两式的和或者积的形式，只需使和或者积为定值，便可利用基本不等式：a+b≥2√ab（a，b>0）求得数列的最值，但同时要注意运用基本不等式的三个前提条件：一正二定三相等.

解答本題，主要采用了基本不等式法，首先对函数式进行变形，配凑出两式的和n+ 25/n，而n、25/n的积

为定值，于是运用基本不等式快速求得最值.

三、数形结合

数列是特殊的一种函数，具有数和形的双重特征，因此在求解与数列有关的最值问题时，可将目标式看作函数式，画出其图形，采用数形结合的方式来解题.我们借助图形，便可快速分析出数列的通项公式、前n项和与项数之间的关系，顺利求得问题的答案.

等差数列可以视为关于n的一次函数，因此可根据等差数列的通项公式绘制出图形，这样便能直观地分析出数列的项与项数之间的变化规律，从而快速求得最值.

在解答与数列有关的最值问题时，要根据题目中所给的条件，仔细研究数列的特点、规律、性质，灵活运用数列的单调性，创造使用基本不等式的条件，将数形结合，这样便可使问题快速获解.