以项目式学习培育高中生直观想象素养的实践探索

◎ 吴子昊 吴茎洁

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《2020修订版课标》）中提出高中数学六大核心素养，其中“直观想象”是六大核心素养之一，并提出要将培养学生直观想象素养的目标落实于数学教学活动中。有研究指出，学科核心素养的培养不仅可以在传统课堂教学中得到落实，还可以通过整合、开发丰富的课程资源，采取多样的学习方式对课程进行创新性建构［1］，使学生在真实情境中提升素养。本文旨在以数学项目式学习活动为载体探究如何达成直观想象素养的有效培养。

一、PBL与直观想象素养的培养

《2020修订版课标》对直观想象素养的界定如下：直观想象是学生借助几何直观、空间想象感受物体形状的多样性以及物体的运动变化，利用几何图形解决数学问题的素养［2］。

项目式学习（Project-Based Learning）（以下简称“PBL”）发源于20世纪美国著名哲学家、教育家杜威的实用主义教育思想，包括“三中心论”——经验中心、儿童中心、活动中心，“从做中学”等［3］。PBL以学生为中心，以学科概念和原理为基础，其主要形式是学生以小组为单位围绕复杂、真实问题或任务进行相互协作、研究，解决问题，制作项目产品或形成解决方案，从而建构学科知识体系。

直观想象素养的培养立足于学生对物体形状多样性和物体运动变化在平面与空间中的直观感受，而要在数学学习中将其抽象出来则依赖于生活中的大量真实情境，这与PBL重视对真实问题的解决这一特点有着内在的逻辑一致性。培养直观想象素养需要在大量具体的现实情境和抽象的纯数学情境中，提供各种具体实物或抽象化的实物模型、几何模型、三维立体模拟模型等，通过数学活动逐步积累丰富的直观想象方面的数学经验［4］。从这个意义上来说，PBL活动过程中呈现出的多种现实或数学情境问题与学生最终基于这些驱动问题完成的“数学作品”（实物或非实物）能够作为直观想象素养培养的有效载体。

直观想象素养的形成需要依托空间形式特别是几何图形进行数学化的思考［5］，且已有国外研究表明，PBL对于几何领域的学习活动往往能够产生积极的影响［6］。另外，PBL在非认知因素比如几何学习动机上的积极影响则更加明显［7］，PBL对于那些“高能力却因为上课分心而表现不佳”的学生尤其有效，这种形式的学习方式较好地抓住了学生的注意力，提高了其学习的热情。

在现阶段，我国数学PBL的设计、开发、实施、评价等各环节并不成熟，其体系亟待完善［8］。这对传统教学提出了一定程度的变革与挑战，课程的创新性建构需要学科教育研究人员与基础教育工作者一起群策群力。本文以高中数学中的部分解析几何、立体几何内容为例，探究如何创新性地建构旨在有效培养直观想象素养的PBL活动。

二、选定项目主题

从学科角度来看，直观想象素养与数学抽象、逻辑推理等素养的形成有着密切关系，并且在数学抽象、逻辑推理等素养的形成发展过程中都离不开直观想象素养。直观想象素养与解析几何、立体几何等数学内容密切相关。《2020修订版课标》中要求“在平面解析几何的教学中，要引导学生通过实例了解几何图形的背景、结合情境描述图形特征及问题，借助直观想象解决问题”。按照线性顺序学习，学生能够掌握圆锥曲线、立体几何两部分相应知识，但对于建立知识的联系，掌握知识的异同，实现知识的融会贯通存在不足，因此需要一个载体将两部分内容有机结合。

从学生角度来看，在高中数学学习中往往不能较好地将立体几何与平面几何相结合及采用几何的方法揭示数学结论本质。学生在日积月累的应试训练中习惯采用代数法，即建立空间直角坐标系利用向量法解决立体几何问题，难以从图形中判断平面几何图形与立体几何图形之间的位置等关系，因此需要一种有效的学习方式帮助学生突破难点。

PBL活动是学生在复杂的、真实的问题中探索学习的过程，在这个过程中能够使学生掌握所需要的数学知识与数学技能。与传统数学课堂不同，学生在PBL中通过自主探究、小组合作等方式达到对数学概念的深入理解。通过数学PBL，增强学生学习动机，让学生能够自己发现问题并给出解决问题的模型。在这个过程中能让学生体会到数学不是记忆公式定理、不是无尽题海，学会从实际问题出发，将实际问题与数学知识相结合，用数学语言表达数学问题，用数学方法解决问题。

基于以上思考，有充分的理由认为PBL是联结解析几何与立体几何内容的较好方式，由此选定项目主题——解析几何和立体几何PBL活动。

三、设计项目任务

具体而言，将本项目分为四个子任务，并给每个子任务设计若干驱动问题供学生小组选择并进行研究。需要说明的是，PBL活动只能作为一种辅助性教学手段，无法代替传统教学，因此本研究设计的若干PBL活动建议教师在学生系统学习解析几何与立体几何内容后作为一种课外补充活动加入。

（一）项目任务与驱动问题

1.任务一：椭圆的绘制

（1）教材上提供了利用图板、细绳和钉子画出椭圆的方法，其原理是椭圆的第一定义。你能选择一种数学软件（如几何画板、超级画板、Geogebra等）并根据椭圆的第一定义绘制椭圆吗？你能找到几种方法？

（2）利用你所选择的数学软件，如何根据平面截圆锥的方式在空间中绘制椭圆？思考圆和椭圆的关系，你能说明圆锥与这两种平面图形的关系吗？

（3）你能将这些方法进行归类，并评价一下它们的优缺点吗？

所需数学知识或技能：椭圆、圆、圆锥的定义和性质；学会收集资料，阅读文献；使用一种数学软件绘制椭圆。

活动形式：选择一种数学软件，通过思考、讨论以及查阅资料等，得出或找到绘制椭圆的不同方法，并对这些方法进行归类和评价。

成果形式：提交一份书面报告。要求：分类介绍椭圆的绘制方法，每种方法附上所绘制椭圆的图片（保留作图过程，示例如图1所示），说明作法、原理（必要时附上证明），可简单评价该方法的优缺点。

图1 数学软件绘制椭圆示例

2.任务二：椭圆车轮的滚动

（1）为什么车轮要设计成圆形？

（2）如果想让椭圆车轮在路面上平稳滚动，这样的路面应该是什么样的呢？

（3）你能否制作出这样的椭圆车轮和路面？

所需数学知识或技能：椭圆的定义和性质；学会查找文献；用数学软件建立模型；动手操作。

活动形式：思考和讨论车轮设计成圆形的原因，用数学软件对椭圆车轮的“滚动”过程建模（见图2），研究制作能使椭圆车轮平稳滚动的路面及椭圆车轮的实物模型。

图2 椭圆车轮滚动过程建模

成果形式：椭圆车轮及路面实物模型，如图3所示。

图3 椭圆车轮及路面的实物模型示例

3.任务三：立体几何与手工制品

（1）回忆旋转体的形成原理，你能否用多种方法制作出圆柱、圆锥、圆台的模型？

（2）你能绘制出正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体的平面展开图，并制作出模型吗？

（3）你能利用柱、锥、台、球等简单几何体和正多面体拼接制成手工制品（如小鸟、千纸鹤等），并使其与实物尽可能相似吗？

所需数学知识或技能：几何体的概念；几何体的展开图；几何体的表面积、体积。

活动形式：查阅书籍，收集相关资料，绘制简单几何体的展开图并制作模型；根据自己的需要选择并拼接几何体，使其成为有趣的工艺品。

成果形式：成型的立体几何手工制品。

4.任务四：空间几何体的投影

（1）你知道三视图的原理吗？

（2）放置在桌面上的几何体是如何产生影子的？请你尝试通过调节光线与投影面的角度、改变光源照射的几何体侧面来变换几何体的影子的形状。

（3）请你通过调整几何体（柱体、椎体、台体、球等）的相对位置，调节光线角度来利用几何体的影子构图，比如人的侧面、小动物的形状等。

所需要的数学知识或技能：球、台体、柱体、椎体等空间几何体的结构特征；三视图及投影；影子面积与光线角度的关系。

活动形式：通过调节光线角度以及几何体的摆放位置等，探索具有意义的影子图像；锁定图像目标，通过研究影子大小与光线的角度关系，影子形状与光源照射的几何体侧面的关系，不断修正完善自己的投影方案；拍照记录几何体的摆放形式，给出最佳图案对应的光线角度。

成果形式：照片展示（见图4）、数学海报、数学论文。

图4 空间几何体的投影示例

（二）项目任务所涉及的知识点

四个子任务的开展均需要扎实的解析几何和立体几何知识作为理论基础。PBL活动主要涉及如下有关几何的知识点，如图5和图6所示。

图5 解析几何所涉及知识点

图6 立体几何所涉及知识点

四、制定评价方式

PBL中任务的实施以学生小组为单位自主活动为主，教师给予及时的指导，帮助学生自我评估。在项目完成后教师可设置问题串，定性评价学生的直观想象素养，考查学生在经历PBL活动后是否对几何知识有认知上的提升。

问题一：在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水。当圆柱桶竖直、水平、倾斜时，圆锥桶内水平面可能呈现出哪些几何形状，画出直观示意图说明。

设计说明：问题一将立体几何与解析几何相结合，主要考查学生利用实物，运用特征描述现实生活中简单物体的结构，借助直观想象探讨问题，揭示数学结论本质。

问题二：参考图7，证明点P的轨迹为一个椭圆，即证明｜PF｜+｜PF′｜为定值。

图7 Dandelin双球

设计说明：问题二设计了一个Dandelin双球问题用于辨析椭圆的第一定义，旨在考查学生对于椭圆的深入理解及立体几何空间想象能力。

另一种评价方式是学生根据自己在PBL活动中的参与表现进行自我评价，该评价大多体现在情感、兴趣、动机等非认知因素上。例如，任务二的目标是合作制作能使椭圆车轮平稳滚动的路面模型，在过程中培养学生团队合作精神，运用数学基本知识、基本技能完成任务，针对任务二的活动过程，制定过程性评价标准。过程性评价主要以自评的形式进行，自评侧重于学生在活动中表现出四个方面的能力：①文献收集与运用能力；②团队协作能力；③数学运用和交流表达能力；④创新能力，并将其定量描述为不同权重的得分，主要通过学生自我评分的形式来完成。

五、结论与启示

（一）旨在培养直观想象素养的PBL活动特征

本文对旨在培养直观想象素养的PBL活动的建构与开发进行具体描述，揭示其一般性与特殊性的特征。一般性体现在其活动特点：较为广泛的知识覆盖面、小组探究、多样的成果形式、多种评价方式相结合等；特殊性体现在基于不同内容载体还有更加丰富的项目活动值得开发。

PBL这种学习形式尽管新颖，但是在迎合项目连贯性时常常会破坏原有的知识体系及顺序，因此教师应注意在设计项目任务时尽量避免PBL带来的知识离散化、碎片化问题，尽量使知识的传授具有其原有的逻辑体系，使其真正落实到直观想象素养的培养中去。

（二）PBL活动对学生非认知因素的积极影响

国外有关不同学科PBL的相关实证研究表明，PBL对低学习成就学生有积极影响［9］。数学学科的研究也表明，低学业表现的学生在PBL中比较高学业表现的学生有更大的进步［10］。PBL活动的呈现形式使知识更具情境性和真实性，这对具有数学学习焦虑或是缺乏学习兴趣与动机等类型的学生在数学学习上有一定帮助。有理由认为，本研究设计的PBL活动可以提升学生学习几何知识的兴趣与动机，在数学学习的非认知因素上有所突破。