一个数列不等式证明过程的“九连问”

浙江省绍兴市越州中学(312075) 屠丰庆

吉林省北华大学数学与统计学院(132013) 屠蕊林

数学知识在提出问题的过程中不断创新,数学思维在分析问题的过程中趋向深刻,数学能力和素养在解决问题的过程中螺旋上升.近期我们父女两对以下模考题从第一个疑虑出发,通过寻根问底和系列讨论,对此类问题有了新的认识,现整理成文,供有类似疑问的读者参考.

模考题已知{an}是公差不为0 的等差数列,Sn是等比数列bn的前n项和,若a2是a1和a4的等比中项,a1=b1=6,a3=b2.

(1)求an及Sn;

解析(1)an=6n,bn=6·3n−1,Sn=3(3n−1),过程略.

①当n=1 时,左边=右边=不等式成立;

②假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1 时,根据归纳假设:

问题1数学归纳法往往能用于跟自然数相关命题的证明,为什么此题不能用数学归纳法?

分析其实所以化简不等式即只需证:

解决从证明对象的“形式”上看,一般认为: 等式的证明数学归纳法肯定适合,而对于不等式”等其他情形类似分析,下同)的证明,往往只适合两侧都带有n的情形.本题整理后一侧是常数,不适合使用数学归纳法.

问题2那此类不等式何时才能使用数学归纳法证明,具体要满足什么条件?

分析为了搞清这个问题,先来看以下两个不等式用数学归纳法的证明和解析过程.

证明①当n=1 时,左边=右边=不等式成立;

②假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1 时,根据归纳假设只需证:即证:显然成立.

由①②可知,不等式对任意n都成立.

解析只关注第②步,当n=k+1 时,使用归纳假设后只需证明整理后即证但此式对任意自然数n都不成立,骨牌中断!

两个不等式形式上完全类同,而且从强弱的角度,不等式(1)更强,但为什么在数学归纳法面前,不等式(2)反而传递不下去,难道形同质异?

解决其实根据上述证明过程我们发现,从k到k+1的过程中,要保证传递的连续性,要求左侧的增量小于等于右侧的增量.一般地,对于不等式当ak≤f(k)−f(k−1)时才能保证归纳假设的传递性.

问题3那对于而言,是否可以从逻辑上确定呢?

分析首先假设不等式可以强化为接着思考的问题自然是: 要使加强命题成立,g(n)应满足什么条件呢? 根据问题2 的证明和解析过程,g(n)应满足:

观察(2)式的结构,不等式左边分母是二次多项式,于是我们考虑到如果g(n)是一次多项式,则不等式右边通分后也是一个二次多项式,这样(2)式就转化为两个二次多项式的比较,从而可以通过g(n)的系数控制使(2)式成立.

解决设g(n)=(a,b为待定的常数),将代入(2)式,化简整理得:a(2k+3)2≥(ak+b)(ak+a+b)对k ∈N∗恒成立,即要求: 4ak2+12ak+9a≥a2k2+(2ab+a2)k+b(a+b)对k ∈N∗恒成立,比较各项系数可取a≤4,b≤4.又因为g(n)=还需满足(1)式,代入得a+b≥因此根据上述逻辑推理,不妨取a=4,b=4,即得g(n)=

问题4此方法对类似不等式的证明是否适用,譬如对文初的模考题该如何操作?

分析由上,问题也就是如何加强致使不等式能用数学归纳法证明.

类似分析首先假设不等式可以强化为观察(4) 式的结构,考虑g(n)=则g(n) 整理后应满足:即这样的a不存在!

解决一般地,类似不等式加强为

这样,给类似的不等式证明提供了一条崭新的道路(下称“新方法”)!

问题5新方法与传统不等式放缩法相比,有什么异同和优点?

分析其实根据数学归纳法的证明过程,关注利用n=k的归纳假设推导n=k+1 应满足的条件,发现新方法其本质上就是放缩法.

解决由上分析,新方法本质上就是特殊的放缩法,只是它不仅给出了一种放缩程序化的探求方法,而且缩小了的上界;另外我们还可以通过待定系数调整g(n),使得进一步逼近上确界.因此新的证明方法相比传统的放缩法更精确,更具可操作性.

问题6从传统放缩法的视角,如何理解新方法中放缩的特殊性?

分析进一步化简整理得到发现新方法推导的放缩结论,一般情形下,解题者不会想到如此操作.

解决根据上述放缩的三个着眼点,结合上例中对于的证明,来理解新方法的放缩结论,首先从第二项开始大于等于其次新数列通项属等差×等比,能采用错位相减的方法求和.最后新数列和的上确界为没有超过上限1.

新方法给出的放缩虽可通过逻辑推理得到,但美中不足的是过程相对复杂,而且待定系数之前需观察通项的结构特征,也具一定的技巧性.

问题7无论是新方法还是传统放缩都有点“高深”,那对具体的通项,放缩的方向和结论有没有规律可循?

分析在新方法放缩结论的基础上,继续观察模考题参考答案给出的放缩过程:

显然,跟新方法相比,参考答案给出的方法,放缩更加“大胆粗犷”.

结合问题6 中对放缩的三个着眼点,来挖掘数列放缩的规律.首先,当n趋向于无穷大时,通项an=中起关键作用的是3n,相对于3n,分子n与分母中的−1 可以忽略不计,参考答案将3n用2n替换,明显比新方法的放缩更加大刀阔斧;其次,形式上参考答案放缩结论是非常简洁的等比数列能直接使用公式求和.

但应该指出的是,如此大胆放缩,其“代价”就是上界估计精确度的降低,也就是极有可能放过头,参考答案放缩成好在数列求和结果还没有超过上限1,否则就要不断调整,譬如将原题上限的估计精度提高到常见调整有两种处理办法,一种是增强通项放缩的精度,譬如从第三项开始改放缩为另一种是保留左侧数列求和的前几项不变,保留越多精确度越高,本例中,只需保留前三项,后续仍然放缩为也就能达到证明的精度.

解决常见的放缩还是有规律可循,一般可以在观察通项结构的基础上,先明确各项无穷大“阶”的高低顺序,众所周知: 以“2”为例,当n趋向于无穷大时,n!≫2n ≫n2≫2n ≫log2n ≫常数2.上例中类似地有3n ≫n ≫常数-1;然后结合已有数列的求和方法和放缩方向,从阶小的项开始调整,往能求和的数列通项变形,一般来说,调整项的阶越高调整幅度越大.抓住本质,放缩就有规律可循,也就不再高深莫测.对于模考题,除了前面提到的两种放缩,通项还可以放缩为等,甚至可以从数列的某一项开始放缩成(1

问题8根据剖析过程,是否意味着这类不等式的证明可采用一种“赖皮”的方法?

分析还是就模考题的证明而言,解题者根本不需要细细思考,就对作一大胆放缩,例如:说明: 此处没有细细运算,是故作玄虚,n随意选取了足够大的100.接下去对原不等式作如下变形和放缩,

虽然有点投机取巧,但从逻辑的角度,证明本质上将数列求和从无限变为有限,过程也无可厚非!

解决由上,本文研究的不等式中的级数都是收敛的,因此可“较随意”地放缩成一个易求和的数列,譬如放缩成一个简单的无穷递缩等比数列,则总存在一个较大的N0,使得目标值.因为随着N0不断增大,与0 越来越接近,也就是说不断接近于的上确界,这样就会出现类似上述这种“赖皮”的证明方法.

问题9上述放缩的“赖皮”法以及用数学归纳证明加强命题的新方法,是否普遍适用?

分析我们来考察不等式的证明.众所周知显然当n →∞时,1−→1,也就是的上确界为1.那么无论从那一项N0开始放缩,放缩成那个具体的数列bn,总有放缩肯定会突破上确界1,至少放大到1+(bN0−aN0).

其次,在“盲目”的状态下,解题者能将此加强成“不等式”,再用数学归纳法证明吗? 答案也是否定的,假设可以加强为则1−<1−g(n),即g(n)<对任意的n都成立.期望加强命题能用数学归纳法来证明,按照前面的逻辑推理,则必须满足:∃n0,对∀k≥n0,都有g(k)−g(k+1)≥则矛盾! 因此不能使用加强成“不等式”再数学归纳法证明的新方法.

解决上述放缩的“辣皮”法不是普遍适用的,至少对于收敛级数当C刚好为的上确界C0时,C−C0=δ=0 没有放缩的自由活动空间,在这种情况下,上述放缩法不再适用;另外,对于数学归纳证明加强成命题的新方法,也不是普遍适用的,但有时候可以加强为等式来证明.

至此,对这个数列不等式证明过程的“连问”,暂告一个段落.但问题似乎还远没有结束,譬如: 对于收敛级数是否可以分成两类,即分别加强“不等式”或“等式”再用数学归纳法证明? 如果不能,需要满足什么条件才能使用加强命题的新方法? 等等,期待读者和同行对此不等式的进一步研究!