多重扭曲乘积浸入*

陈海莲，钟定兴

(赣南师范大学 a.科技学院；b.数学与计算机科学学院，江西 赣州 341000)

1 基本概念

扭曲乘积流形的定义最早出现在Bishop和O’Neill的著作中，Bishop和O’Neill利用扭曲乘积流形构造了许多负曲率流形的例子.在Bishop和O’Neill之前的数学和物理学的一些文献中也出现过扭曲乘积，只不过没有给出扭曲乘积的定义.比如，KruchKovich把扭曲乘积称为半约化空间.扭曲乘积流形与理论物理联系密切，爱因斯坦场方程和规范场方程的某些解是扭曲乘积流形.

设φi:Ni→Mi是黎曼流形Ni到黎曼流形Mi的等距浸入，1≤i≤l，定义φ=(φ1,φ2,…,φl):N1×f2N2×…×flNl→M1×ρ2M2×…×ρlMl，φ(p1,p2,…,pl)=(φ1(p1),φ2(p2),…,φl(pl))，其中fi=ρi°φi,2≤i≤l.那么φ是扭曲乘积流形N1×f2N2×…×flNl到扭曲乘积流形M1×ρ2M2×…×ρlMl的等距浸入，φ称为多重扭曲乘积浸入[1].

扭曲乘积浸入出现在微分几何的某些方面的研究当中，见文献[1-4].

本文研究扭曲乘积流形到扭曲乘积流形的等距浸入的有关性质，得到了这样的等距浸入为全测地浸入，或为全脐浸入，或为极小浸入的充要条件,推广了文献[1]的相应结论.

2 主要结论及其证明

引理1设φ=(φ1,φ2,…,φl):N1×f2N2×…×flNl→M1×ρ2M2×…×ρlMl是多重扭曲乘积浸入，那么

(1)

∇XV=∇VX=(Xlnfi)V,X∈L(N1),V∈L(Ni), 2≤i≤l，

(2)

(3)

∇VU=∇UV=0,V∈L(Ni),U∈L(Nj), 2≤i,j≤l,i≠j,

(4)

记φ和φi:Ni→Mi的第二基本形式分别是h和h(i),可得到[1]

引理2h(X,Y)=h(1)(X,Y),X,Y∈L(N1),

(5)

h(X,V)=0,X∈L(N1),V∈L(Ni),i≥2,

(6)

h(V,W)=h(i)(V,W)-Dlnρi,V,W∈L(Ni),i≥2,

(7)

h(V,U)=0,V∈L(Ni),U∈L(Nj),i,j≥2,i≠j

(8)

利用引理1和引理2，首先考虑扭曲乘积浸入是全测地的条件.

定理1设φ是一个多重扭曲乘积浸入，那么

证明设X∈L(N1),V∈L(Ni),W∈L(Nj), 2≤i,j≤l,i≠j,由引理2可得

h(X,V)=0,h(V,W)=0,

(9)

所以φ是混合全测地的.

(10)

等号成立当且仅当h(i)=0,1≤i≤l.即φi:Ni→Mi都是全测地的，1≤i≤l.

下面考虑多重扭曲乘积浸入是全脐的条件.

定理2多重扭曲乘积φ=(φ1,φ2,…,φl):N1×f2N2×…×flNl→M1×ρ2M2×…×ρlMl是全脐的当且仅当以下2个条件同时成立：

证明设多重扭曲乘积浸入φ是全脐的，那么

(11)

(12)

(13)

(14)

h(i)(V,W)=0,V,W∈L(Ni)，2≤i≤l

(15)

即对2≤i≤l，φi:Ni→Mi都是全测地.把(15)代入(14)，可得

(16)

由(13)(16)可得

(17)

(18)

因此φ1:N1→M1是全脐的，且φ1的平均曲率向量是-Dlnρi,2≤i≤l.

h(1)(X,Y)=(-Dlnρi),X,Y∈L(N1)，i≥2.

(19)

h(i)(V,W)=0,V,W∈L(Ni)，i≥2.

(20)

由引理2可得

h(X,Y)=(-Dlnρi),X,Y∈L(N1)，i≥2.

(21)

h(V,W)=- Dlnρi,V,W∈L(Ni)，i≥2.

(22)

由(21)可得

Dlnρ2=Dlnρ3=…=Dlnρl.

(23)

由(21)-(23)可得

H=-Dlnρi.

(24)

因此

h(X,Y)=H,X,Y∈L(N1)，

(25)

h(V,W)=H,V,W∈L(Ni)，i≥2.

(26)

对于N1×f2N2×…×flNl上的任意向量场X=X1+X2+…+Xl,Y=Y1+Y2+…+Yl,其中Xi,Yi∈L(Ni)，由引理2有

h(X,Y)=h(X1,Y1)+h(X2,Y2)+…+h(Xl,Yl)=

(++…+)H=H.

(27)

所以φ全脐的.证毕.

注定理2是文献[1]中定理2的推广.

最后考虑极小多重扭曲乘积浸入.

定理3设φ是多重扭曲乘积浸入，那么

证明在N1×f2N2×…×flNl上取标准正交基e1,e2,…en1,…,etl-1+1,…,etl-1+nl，其中eti-1+1,…,eti-1+ni是Ni上关于Ni上的黎曼度量gi的标准正交基的提升的倍，f1=1,ti=n1+n2+…+ni,t0=0,0≤i≤l-1，因此，由(5)得

(28)

所以φ的部分平均曲率向量H1等于φ1:N1→M1的平均曲率向量，φ是N1极小当且仅当φ1是极小的.

(29)

这里H(i)是φi:Ni→Mi的平均曲率向量，注意到Dlnρi是M1上的向量场，H(i)是Mi上的向量场，故Dlnρi与H(i)是正交的.所以φ是Ni极小的当且仅当

(30)

即H(i)=0，且-Dlnρi=0，也就是φi:Ni→Mi是极小的，且Dlnρi=0.

(31)

最后一个等式右边的第1,2,…,l项分别是M1,M2,…,Ml的向量场，所以φ是极小的充分必要条件是

注定理3是文献[1]中定理3的推广.