不同倾角节理岩体损伤模型及力学特性

张慧梅， 陈敏， 孟祥振， 慕娜娜， 刘慧

(1.西安科技大学 理学院，陕西 西安 710054； 2.西安科技大学 建筑与土木工程学院，陕西 西安 710054)

岩体的变形特征是岩土工程建设所直接面临的基础力学问题。实际工程中的岩体是由岩块和结构面组成的地质体，多数岩体被大量相对较小的节理所切割，这种节理以不同的方位分布于岩体中，形成初始损伤并表现出各向异性和弱化的特性。在受荷时，岩体受节理与荷载2种因素共同作用，其变形破坏正是2种因素的耦合累积效应，必须从损伤的本质特性揭示其破坏机理。

近年来，节理岩体力学特性的研究十分活跃，并取得了许多阶段性成果。在试验和数值模拟方面，文献[1-6]分析了荷载作用下不同节理状况对岩体强度及变形特征的影响。在损伤本构模型研究方面，刘红岩等[7]采用变形元件描述岩块和节理面的变形规律，构建单轴作用下节理岩体的损伤本构方程；袁小清[8]、赵怡晴[9]、陈松等[10]引入节理几何尺寸及力学参数，建立非贯通节理岩体的损伤本构模型；赵航等[11]通过弹性波波幅表征岩体的宏观损伤变量，构建节理岩体损伤本构模型；史越等[12]基于柯西转轴方程和Weibull分布原理，建立单轴压缩下层状岩体的损伤模型；李列列等[13]基于Betti能量互易定理，建立节理岩体复合损伤本构模型；惠鑫等[14]考虑节理尺寸为分形分布，节理方位为正态分布，建立节理岩体统计损伤本构模型；胡亚元等[15]考虑节理面和完整岩块力学参数的动态变化，建立了节理岩体非线性损伤本构模型。

上述研究中本构模型的模型参数多以试验数据拟合为主，缺乏理论表达和明确的物理意义，无法反映模型参数对岩体力学性质的影响；未能从节理初始损伤和受荷损伤2种损伤耦合作用的响应揭示其宏观变形破坏特征，反映损伤力学的本质特性。本文充分考虑岩体的非均匀性和各向异性，采用D-P准则描述岩石的微元强度，建立考虑节理倾角效应的岩体多因子耦合损伤模型，推导模型参数的理论表达式；并从岩体结构特性、损伤演化形态及模型参数等多方位表述岩体的变形破坏特性。

1 考虑节理倾角效应的岩体损伤模型

1.1 节理岩体损伤本构模型

根据推广后的应变等价原理，将预制节理造成的损伤作为第1种损伤状态，节理与荷载引起的总损伤作为第2种损伤状态，则节理岩体的损伤本构关系可表示为:

(1)

式中：σ1、ε1为轴向名义应力和名义应变；σ2、σ3为侧向名义应力；ε2、ε3为侧向名义应变；E0为完整岩石的弹性模量；β为节理倾角；μβ为节理岩体的泊松比；Dt为节理岩体总损伤变量。

由于节理面的存在，岩体产生局部初始损伤，受荷时节理与荷载所诱发的2种损伤相互影响。此时轴向应力主要由节理初始损伤、受荷损伤、节理与荷载耦合损伤以及未损伤4部分共同承担。假定N、Nβ、Ns、N1、N2分别为岩体总微元数目、节理损伤微元数目、受荷损伤微元数目、节理与荷载耦合损伤微元数目、未损伤微元数目。

节理初始损伤Dβ可定义为节理损伤微元数目与总微元数目的比值：

(2)

在荷载作用下，节理岩体进一步产生损伤，此时，定义节理岩体受荷损伤变量Ds为：

(3)

总体而言，可按岩体的最终损伤程度定义节理岩体受荷时的总损伤变量Dt为：

(4)

将式(2)、(3)代入式(4)可得节理损伤、受荷损伤和总损伤三者之间的关系：

Dt=Ds+Dβ-DsDβ

(5)

由式(5)可知节理与荷载的耦合作用会对总损伤产生弱化效应，耦合项由式DsDβ表示。

根据宏观唯象损伤力学理论，材料的劣化程度可用岩体的宏观力学性能响应表征，因此选用弹性模量度量节理岩体的初始损伤Dβ为：

(6)

式中Eβ为不同节理倾角岩体的弹性模量。

节理岩体受荷过程中，内部微缺陷不断产生、发展，微元体呈现出随机性破坏的特征，因而可用统计规律表达。假定岩石微元强度服从Weibull分布，可得受荷损伤变量表达式为：

(7)

式中：m、F0为统计分布参数，与材料力学性质相关；F*为微元强度统计分布变量。

将式(6)、(7)代入式(5)可得到节理-荷载耦合作用下岩体的总损伤表达式为：

(8)

由式(1)和(8)可得到常规三轴条件下节理岩体的损伤本构关系式为：

(9)

(10)

基于D-P屈服与破坏准则，F*可表示为：

(11)

式中：α为与岩石内摩擦角φ有关的常数；I*为有效应力张量的第一不变量；J2*为有效应力偏量的第二不变量，其表达式分别为：

式中：σ1*为轴向方向的有效应力；σ2*、σ3*为侧向方向的有效应力；σi*=σi/(1-Dt)。

根据式(11)，可将式(9)和(10)中F*分别表示为：

(12)

(13)

I=σ1+σ2+σ3

1.2 模型参数确定

模型曲线在峰值点处满足的极值条件为：

1)ε1=εc，σ1=σc

根据多元函数全微分法则，将σ1和σ3视为关于ε1、ε3和β的函数。由式(9)、(10)可得到σ1和σ3的全微分形式为：

(14)

(15)

对式(9)～(10)两边取全微分得到：

(16)

(17)

(18)

(19)

假定F0和m是与σ3和β有关的函数，则有：

(20)

(21)

将式(18)～(21)代入式(16)～(17)中可得：

C1dσ1+C2dε1+C3dσ3+C4dβ=0

(22)

D1dσ1+D2dε3+D3dσ3+D4dβ=0

(23)

其中：

联立式(22)和(23)消去dσ3，可得到dσ1的表达式，再与式(14)比较，并根据极值条件2)，得到：

(24)

化简式(24)得到：

(25)

由式(9)和极值条件1)得到：

(26)

联立式(25)和式(26)可得到模型参数m以及F0的表达式为：

(27)

(28)

由式(27)和(28)可以看出，模型参数与节理岩体的倾角、围压、峰值强度及弹性模量等力学特征参量相关，因而可以刻画岩体的力学行为。

2 节理岩体损伤力学特性分析

为全面验证本文损伤模型的合理性，引用文献[16-17]的试验结果对不同节理状况岩体的损伤力学特性进行分析。岩体力学参数如表1所示。文献[16-17]以砂岩为研究对象，采用RMT-150C试验机对Ф×H为50 mm×100 mm的完整岩样及节理倾角为0°、30°、45°、60°、90°的单一贯通节理岩样进行单轴和三轴压缩试验。单轴压缩试验中，采用位移控制，速度为0.005 mm/s。三轴压缩试验中，先采用力控制模式，轴向力与围压分别以0.2 kN/s和0.1 MPa/s按静水压力加载，达到围压设计值时再采用位移控制模式，位移速率为0.005 mm/s。

表1 不同节理倾角及围压下岩体的力学参数

2.1 损伤特性分析

利用表1和式(8)绘制出围压15 MPa时完整岩石和不同倾角节理岩体总损伤演化曲线，如图1所示。由图1可知，当ε1=0时，完整岩体的初始损伤为0，不同倾角节理岩体的初始损伤值均大于0，且表现出明显的差异性，说明完整岩石被切割形成宏观缺陷，从而产生初始损伤，且初始损伤状态受节理倾角的影响较大。在受荷初期，节理岩体初始损伤阶段均大于完整岩石，且随节理倾角的增加，初始损伤阶段先增后减，60°节理倾角时达到最大。这是因为此阶段岩体变形主要为岩石微缺陷和节理面的压密闭合，而节理更易变形。在损伤演化初期，相同应变下，随节理倾角的增加，总损伤值呈现先增后减的变化态势，60°倾角时达到最大。随着应变的增大，不同节理状况岩体的损伤演化发展速率差别越来越明显，0°～60°节理倾角的岩体损伤累积增长速度依次变缓，其中60°节理倾角岩体的损伤演化速度最慢，应变恢复能力最差。在损伤演化的后期，完整岩石和不同节理状况岩体的损伤曲线逐渐靠近，渐趋重合。

图1 不同节理倾角下岩体损伤演化曲线Fig.1 Damage evolution of rock mass under different joint dip angles

从图1还可以看出，随着应变的增加，完整岩石和节理岩体的损伤演化曲线增长趋势具有明显的相似性，演化过程可以分为4个阶段。初始损伤阶段：岩体宏观节理及微裂纹渐趋闭合，处于压实状态，闭合面呈现相互滑动趋势，但受内摩擦作用并未延伸或扩展，损伤演化曲线近似水平；损伤稳定发展阶段：微破裂发展出现了质的变化，岩石颗粒及节理面滑移与错动，产生不可恢复变形，损伤开始演化并呈非线性缓慢增长趋势；损伤加速发展阶段：原生缺陷快速发展，新生裂隙不断产生，裂纹间相互作用加剧，岩体内部不断产生新的宏观裂纹及破裂面，损伤加速；损伤破坏阶段：岩体应力瞬间释放产生破坏，损伤曲线又渐趋平缓，趋向1。

2.2 强度与变形特性分析

2.2.1 强度特性

根据表1的试验数据以及式(8)、(9)，计算得到4种围压情况下，岩体峰值强度及峰值处总损伤值随节理倾角的变化规律，如图2所示。

由图2可以看出，在围压作用下，不同节理状况岩体峰值强度的弱化程度有所不同，随节理倾角增加呈开口向上的“U”型变化趋势，表现出明显的各向异性。0°、30°倾角时峰值强度较高，此时其内摩擦角大于节理倾角，岩体强度由岩石强度决定，只与矿物连结力和致密度等因素有关；60°时峰值强度最低，此时节理面上的应力状态基本处于极限平衡，岩体将沿节理面发生剪切滑移破坏；90°倾角时强度相对较大，此时岩体因节理面横向扩张而破坏，岩体强度一般介于岩石和节理面之间。

图2 峰值强度和总损伤值与节理倾角关系Fig.2 Relationship between peak intensity and total damage value and joint dip angle

不同节理状况下岩体峰值处的总损伤值有明显差异，随节理面倾角的增加，总损伤值呈先增后减的变化趋势，与初始损伤值的变化规律相似，表明岩体的总损伤值受初始损伤的影响程度较大。根据损伤模型计算的损伤值与峰值强度的变化规律相对应，与文献[16-17]的试验现象基本一致，从而验证了损伤模型描述的合理性。

2.2.2 变形特性

根据图2计算的总损伤值及式(8)，可得不同围压下岩体弹性模量随节理倾角变化的关系曲线，如图3所示。

图3 弹性模量与节理倾角关系Fig.3 Relationship between elastic modulus and joint dip angle

对比表1数据和图3可知，岩体弹性模量的计算值与试验值基本一致。不同倾角岩体的抗变形能力有明显差异，各向异性特征明显。岩体的弹性模量随节理倾角的增加呈先降后升的变化态，60°时最低。分析岩体的变形量，节理倾角为0°时，主要由岩石和节理面压密汇集而成；90°倾角时，主要由岩石和节理面错动构成；而其他节理倾角时，主要由岩石和节理面滑移形成，节理、物质成分和物质结构的方向性导致节理岩体变形的各向异性。

2.3 模型参数的讨论

2.3.1 模型参数的物理意义

将表1试验数据代入式(27)和(28)进行计算，可得模型参数m、F0对岩体σ1-ε1模型曲线的影响，如图4所示。

图4(a)显示，随参数m的增加，模型曲线峰前线弹性部分变化不大，主要表现出峰前塑性屈服段及峰后软化段坡度越来越陡，峰后应力降低速度不断增加，表明节理岩体的延性减弱。故模型参数m能够反映节理岩体的延脆性特征。

图4 模型参数对模型曲线的影响Fig.4 Effect of model parameters on model curve

图4(b)显示，随参数F0的增大，曲线峰值强度增加，峰前曲线形状基本不变，峰后曲线组整体右移，近似平行排列，曲线斜率基本不变，故参数F0可反映节理岩体的强度。

2.3.2 模型参数影响效应分析

利用表1的试验数据，由式(27)和(28)计算得到模型参数m、F0随节理倾角和围压的变化曲线，如图5所示。

图5 围压、节理倾角对模型参数m、F0的影响Fig.5 Effect of confining pressure and joint dip angle on model parameters

由图5可以看出，随节理倾角的增加，参数m、F0均呈先降后升的变化态势，在60°时达到最低，表明随节理倾角的增加，岩体的承载能力先降低再增加，延性特性先增强再减弱。随围压的升高，参数值m减小，且在0～5 MPa下降最快，说明节理岩体的脆性不断减弱，当围压达到10 MPa时，岩体已出现显著的延性特征，参数m的变化曲线近似水平；随围压的升高，参数F0增大，且上升幅度逐渐降低，表明节理岩体抵抗破坏的能力逐渐增加，强度不断提高，且在施加围压初期强度增强效应更加明显。参数m、F0的变化规律所揭示的岩体延脆性及强度特征变化与文献[16-17]的试验现象相符，进一步验证本文所建模型的正确性。

3 模型验证

根据表1和式(9)进行计算，可获得不同节理倾角及围压下岩体σ1-ε1理论曲线，并与文献[16-17]的试验曲线作对比，如图6所示。

由图6可知，本文建立的损伤本构模型能够较好地描述不同节理倾角及围压下岩体的力学行为，与试验结果取得了较好的一致性，从而全面验证了损伤变量、模型参数及本构方程的合理性。

图6 节理岩体本构模型理论与试验曲线比较Fig.6 Comparison between test and theoretical curves of constitutive model for rock mass

4 结论

1) 节理岩体的损伤演化途径与岩体结构变化所诱发的宏观力学响应有良好的对应关系，可反映岩体不同阶段的变形特性。随着节理倾角的增加，岩体损伤值呈先增后减的变化态势；而损伤演化速率表现出相反的变化规律；在变形后期，不同节理状况岩体的损伤曲线渐趋重合。

2) 节理宏观缺陷的存在，使岩体的强度及刚度明显弱化，并表现出强烈的各向异性。随节理倾角的增加，岩体的强度及弹性模量均先减小后增大，而对应的总损伤值则呈现出相反的变化趋势；随围压的升高，节理岩体的强度及弹性模量整体增强，各向异性特性不断弱化。

3) 随节理倾角的增加，模型参数m、F0均呈先减后增的变化态势，可反映出随节理倾角的增加，岩体的延性特性先增强再减弱，承载能力先降低再增加；随围压的升高，m值降低，且降幅渐趋平缓，而F0逐渐增大，可反映出随围压的升高，岩体的延性特性增强，承载能力逐渐增加。