基于雨课堂的数学模型实验混合教学模式研究

韩瑜，屈泳，阮小军，王三华

（1.江西财经大学统计学院，江西南昌 330013；2.南昌大学数学与计算机学院，江西南昌 330031）

互联网技术正在引领高等学校的信息化改革。网络在线开放课程MOOC（Massive open online courses）规模不断的发展和壮大，体现着教学信息化浪潮的深入发展。教育部在《教育信息化“十三五”规划》中提到了“十三五”期间全面提高教育质量，促进教育公平，加快教育现代化的重要工作，给教育信息化的发展带来了新契机。随着新技术、新方法的不断应用，教育教学环境也发生了极大变化[1]。多媒体信息技术与智能终端等构成的智慧型课堂教学环境正在逐步影响传统的课堂教学模式，各种教学资源也不断整合完善，形成了课堂、校园、网络、虚拟学习空间、立体化学习资源等多层次、全方位的立体教学系统。在教学模式上，也孕育出“互联网+教育”的混合教学模式。高等院校也在不断改进教学模式，除了基于中国大学MOOC 平台的SPOC 翻转课堂模式外，还推出了不少基于互联网的智慧教学平台，如雨课堂、慕课堂和超星学习通等，特别是2020年新冠肺炎疫情突发，线下课堂教学无法开展，混合教学模式凭借交互性、实时性、灵活性等优点，成为疫情期间的重要教学模式之一，得到广泛应用，混合教学模式推动高等学校教育信息化的发展与改革[2]。

1 基于雨课堂的学习者分析

雨课堂是由清华大学在线办公室研发，由学堂在线平台和清华大学联合推出的适合在线教学的一款智慧型教学工具，为传统的课堂教学提供一个全新的网络支持平台[3]。雨课堂通过PPT 和微信，运用互联网和大数据等先进技术，实现智慧教学。它将复杂的计算机技术与课堂教学场景有机融合，创建高效、智能的互动学习环境。具有功能全面、操作便捷、互动性强等特点。教师和学生不需要进行专业的技术学习，即可使用PPT、微信直接开展课堂教学，进行实时互动，使教与学更加简单明了[4]。

对选修数学模型实验课程学生的学习行为进行分析，在实验教学过程中，教师可以根据分析数据，有针对性地采用多种教学方式，培养学生自主学习的良好习惯，激发学生的学习热情，培养学生的科学计算能力、发散性思维和解决问题能力。

数学模型实验作为面向全校学生开设的创新型实验课程，要求选修课程学生具备一定的数学知识和计算机知识。在第一节实验课时，运用雨课堂智慧教学工具，对参加课程学习的学生进行摸底调查，为此设计了一系列问卷问题，在实验课堂教学过程中进行问卷调查[5]：

（1）你学习过什么数学专业课程？

（2）你接触过数学模型吗？

（3）你了解数学模型吗？

（4）你参加过什么类型的数学建模竞赛？获得过奖项吗？

（5）你最熟悉哪种编程语言？

（6）这门课会涉及大量实践操作，需要投入的时间可能会比较多，你对此怎么看？

（7）学完课程后，你希望有什么样的收获？

在第一节实验课上课时，将本组问卷通过雨课堂发送到学生的微信上[6]，其中前5 个问题收集学生数学知识的掌握程度和对数学模型的认识等，有利于指导教师快速了解学生的基本情况，方便教师有针对性地设计教学内容和教学进度。后两个问题则是为了解学生对这门实验课的看法和想法，学生通过微信端进行实时的问卷回答，便于师生之间的交流。

问题1-4 是对学生数学知识学习及数学建模情况的调查，通过对参加课程学习的56 位学生数学专业学习情况的收集，发现大部分学生都学习过高等数学等数学基础课程，有15 名学生学习过数学分析、高等代数等专业课程，具有一定的数学知识基础。有12 名学生参加过学校组织的数学建模竞赛，对数学建模和数学模型有一定的了解。第5 条则反映出大部分学生都学习过一两门编程语言，其中最多的是C 和C++语言，而对数学模型课程中使用广泛的Matlab、Lingo 等科学计算程序语言和Python 等人工智能语言则接触较少。图1为部分问题问卷调查内容的学生端显示界面。

图1 问题1、4、5 在雨课堂学生端的问卷调查显示内容

雨课堂智慧教学工具可以方便教师实时进行问卷调查、结果统计，通过雨课堂内置的问卷调查工具，实验指导教师实时推送和收集学生的各项调查问卷，可作为教师进行课程教学设计的参考。

2 数学模型实验教学内容设计

数学模型实验是将科学计算、数学理论分析与解决实际问题融为一体，以各种生活问题为背景，采用实验案例进行课程教学的综合性创新型实验课程，教学目的是培养学生建模思想、学习数学模型知识和模型构建语言，培养学生的数学建模思维，提高学生应用各类数学模型知识解决实际问题的能力。作为创新型实验课程，要求选课学生具有比较扎实的数学知识、逻辑理论、计算机编程语言、创造性思维和程序设计能力等。课程内容较为复杂，难点多，而且注重逻辑思维和程序设计能力。通过数学模型实验课程的学习，可以培养学生的实践能力和创新思维[7-8]。

数学模型课程包含很多模型及案例分析，需要运用Matlab 等科学计算软件进行模型的构建和设计，实现对知识的融会贯通。教师根据数学模型课程的知识点，设计和安排实验课教学内容，不仅可以帮助学生掌握数学模型课程的重点，也有助于教师根据学生的学习情况持续改进课程教学方案。

结合数学模型实验课程的教学大纲要求，针对选修实验课程学生的基本情况，在实验教学中分8 个实验项目进行教学设计，设计出表1所示的实验项目与教学大纲对照表，分别和课程教学大纲的各个章节相对应。

表1 实验项目与教学大纲对应关系表

考虑到实验课程中学生的实际情况和课时安排，在实验课程教学设计上，主要强调学生对数学模型基础知识的掌握和运用，以及模型构建语言Matlab 的熟练应用。特别是初等模型、简单的优化模型、数学规划模型、微分方程模型等基础模型知识的掌握，实验课时设计主要集中在教学大纲的这几个章节以及Matlab 软件的具体使用方法，其余的知识点则课时少一些。

3 基于雨课堂的混合教学模式的实践应用

3.1 基于雨课堂的实验分组

在数学模型实验的教学环节中，采用学生分组的方式进行实验教学，雨课堂具有学生自由分组、教师指定分组和系统随机分组三种分组功能。因为学生数学知识和数学模型知识的差异，在分组工具选择上采用系统随机分组进行，系统随机分组消除了另外两种分组的主观因素影响，更容易被师生接受。在实验教学过程中，将参加实验学习的学生通过雨课堂的随机分组工具分成8 个小组，每组设定一个组长，负责各自组中学生的学习情况。

数学模型实验课共设计了8 个实验项目，每个实验项目各由几个实验案例构成，如果让8 组学生都完成所有的实验项目，则所需要的课时数量太大，无法正常进行课程安排。为此把8 个实验项目分成4 个档次，实验项目1-2、实验项目3-4、实验项目5-6 和实验项目7-8 分属4 个不同的档次，同档次的实验项目的难度和学习内容基本一致。再将分组学生与各档次实验项目进行抽签分类，每个组分别从1-4 档实验项目中抽取一项，共需完成4 项实验项目的学习和实验操作。而每项实验项目则有2 个小组分别进行实验操作，在课程学习过程中形成一定的竞争，有利于各个小组高质量地完成实验项目。分组分档的实验教学，有利于培养学生的团队协作能力。

3.2 雨课堂与翻转课堂结合的课堂教学活动

数学模型实验是面向全校本科生开设的一门创新型实验课程，其目的是通过对数学模型知识的学习，让学生掌握数学模型的各种模型类型及建模思维。通过对数学模型的分析和构建，利用科学计算软件（MATLAB 等）进行实际问题的分析和解决。实验教学过程中，需考查学生数学基础知识、自我学习能力、团队协作能力，还要考查学生的程序应用和设计能力。在实验教学过程中，考虑采用翻转课堂的教学方式进行课程教学与实践。

翻转课堂是将传统的课堂内容与课堂下的内容互换，也就是教师和学生角色进行互换[9]。在数学模型实验课程教学中，要求学生分组完成各自的实验项目，并将所学的知识在课堂上进行展示。利用雨课堂的课前发布特性，将数学模型实验教学课件、微课视频、实验项目等教学资源在课前发布，学生进行自主预习和学习，在自主学习中遇到问题时可以在雨课堂的讨论区进行留言和咨询。而在实验课堂上，学生通过课前自我学习和团队协作，完成教师安排的实验项目。此次课堂教学实践活动，以实验项目3 和4 进行阐述。

实验项目3 是运用线性规划模型知识进行快递生产计划安排，实验项目内容为：一个有25 个城市下落口的快递分拣平台，有8 个搬运机器人，所有机器人都从起点出发。已知分拣员把每件货物放到机器人上需要花费2s 时间；机器人接到货物后，扫码需要0.5s；机器人直行平均速度为1m/s，每次转弯需要额外花费1s；两个机器人相遇并阻碍对方前进时，两者转弯避开需要2s；机器人到达目的地城市下落口后，卸货需要1s；每个1m 宽的通道只能允许1 个机器人行驶，2m 宽的通道只能允许两个机器人并行；机器人只有在城市下落口四边的中心位置才能卸货；不考虑机器人电量。现有1 000 件快递需要分拣到各自目的地城市下落口，为机器人设计搬运路径，并计算搬完所有1 000 件快递需要多少时间（从起点搬运第一件快递开始，到1 000 件都搬完并且所有机器人回到起点结束）。这个实验项目考查了学生对线性规划模型知识点的掌握，并运用所学数学知识建立线性规划模型，最后运用MATLAB 优化工具箱进行问题的解决[10]。

实验项目4 则是关于最优化模型的应用，是一个关于空调使用寿命的问题。内容是空调的使用寿命会受到材料、加工设备和制造工艺等生产因素的影响。直接研究材料、加工设备和制造工艺对空调使用寿命的影响是一个复杂而又困难的专业问题。现在某空调厂商刚刚研制出来的一款新空调A，它在上市销售之前必须经过严格的性能测试，但这种测试是小规模的，因此获得的样本数据量非常有限，不足以精确地描述新空调A 的使用寿命。一种可行的办法就是利用同类型空调的相关信息来研究新空调A 的使用寿命。因为，新空调A 的使用寿命不仅与该厂商以往生产的其他同类型空调的使用寿命密切相关，而且还与其他厂商生产的同类型空调的使用寿命密切相关。另外，需要特别指出的是，空调的使用寿命还受到使用强度、气候和环境等外部因素的影响。某空调生产厂商的销售和售后网点主要分布在我国南方地区。如果你是受雇于该厂商的技术顾问，请你针对该厂商最近刚推出的一款新空调A，建立一个数学模型来研究这款新空调A在南方地区（或选取南方的某一个代表性城市）的使用寿命问题。另外，该厂商希望在我国北方地区推广和销售这款新空调A，请再建立一个数学模型来研究这款新空调A 在北方地区（或选取北方的某一个代表性城市）的使用寿命问题。此项实验的目的是考查学生是否掌握一元函数的极值法和了解计算机图形模拟和数值模拟法，同时也培养学生的发散性思维。此实验项目的教学课件及教学任务学生端显示界面如图2所示。

图2 最优化模型实验课件及任务学生端推送界面

实验课上课前，教师通过雨课堂将课程的教学课件、实验项目、教学视频等教学资源进行发布，并设置实验项目讨论[11]，布置自学任务，学生根据教学课件和视频进行自学，进行实验项目的练习，在自主学习中遇到问题时可通过雨课堂进行线上互动交流。在实验课堂上，学生通过雨课堂的同步功能，就自己完成的实验项目进行分析和讲解，同时利用雨课堂工具进行线上线下的交流互动[12]。一个实验项目结束后，教师结合雨课堂平台收集的学生评价等信息，及时了解学生的学习状态，有针对性地点评和反馈。学生则通过自评、互评及教师点评，不断深化数学模型实验课程的学习。

3.3 教学反馈与效果

在实验教学结课时，运用雨课堂进行课程结课问卷调查，收集学生对本门课程学习情况的反馈。

（1）你是否接受雨课堂等混合教学模式？

（2）你认为雨课堂混合教学可以提升学习效率、增加学习兴趣吗？

（3）你认为实验课程可以提高你的专业知识水平吗？

（4）对于课程实验项目的设置，你认为设置合理吗？

（5）本门实验课程，你的参与度如何？

（6）你认为本门实验课程的最大特点是什么？

对于调查问题1，完成问卷调查的56 名学生中，31 人选择接受、11 人选择不接受，还有14 人选择不清楚。对于问题2，完成调查的56 名学生中有35 人选择可以，8 人选择不可以，13 人选择不清楚。对于问题6，则有45 人选择完全参与，8 人选择基本参与，3 人选择没有参与，混合教学问卷调查的反馈情况如图3所示。

图3 混合教学问卷调查反馈统计图（问题1-3）

通过将雨课堂应用于数学模型实验课程，提供了学生自主学习条件，大部分学生掌握了数学模型实验课程中的重要知识、学会了数学模型的构建和科学计算语言的程序编写工作。在课程考核上，要求每位学生必须参加学校组织的校内数学建模竞赛，并以竞赛论文作为考查项目。通过运用课程学习的知识，在校级数学建模竞赛中，一共获得一等奖3 项、二等奖5 项、三等奖11 项。另外还有12 名学生通过学校选拔，入选学校数学建模集训队，代表学校参加全国大学生数学建模竞赛等相关竞赛，获得了多个奖项。

4 结语

在数学模型实验教学中开展混合教学模式的研究，应用雨课堂智慧教学工具，倡导以学生为中心的教学理念，把课堂交给学生[13]。雨课堂混合教学改变了传统教学中教师一人讲授、学生被动听课的授课方式，采用翻转课堂模式，旨在培养学生的自主学习能力、团队协作能力和解决问题能力。雨课堂打通线上教学和线下教学，解决了实验教学枯燥无味的教学困境，提升了实验教学的活力[14]。在实验教学中应该充分利用雨课堂等智慧型教学工具，将智慧课堂的理念与实验教学完美融合，以解决实验课程教学中的“教”与“学”分离的问题，提高学生的积极性、主动性，推动实验教学模式的改革与创新。