基于直观想象能力，探讨含参函数的零点问题的策略应用

黄俊森

[摘  要] 文章以2020年全国Ⅰ卷文科数学第20题为例，说明解决含参函数的零点问题的三种方法——直接法、参变分离法、转化法，以直观想象为抓手，化归为常规方法，让学生有迹可循，总结规律，循序渐进突破学生的思维难点，进而达到落实数学核心素养的目的.

[关键词] 直观想象;含参函数;零点;策略

含参函数的零点问题一直是高考压轴题的热点和难点，近6年每年都考查了，特别是遇到非常规的含参方程或超越方程时，学生就束手无策，原因是学生无法将陌生函数的信息转化成可供解题的信息. 函数的零点是沟通函数、方程、图像的重要媒介，它充分体现了函数与方程的关系，蕴含了丰富的数形结合思想，而且在落实数学核心素养方面有其独特的价值.

王尚志教授说过，“直观想象非常重要. 证明的思路是看出来的，要教育学生学会用图形来探测与表达结果.”函数零点问题就是一个很好的培养学生直观想象能力的载体，通过“函数y=f（x）有零点？圳方程f（x）=0有实根？圳函数y=f（x）的图像与x轴有交点”的适当转换，可以得到相应的图像，得到各種不同的求解策略. 而培养学生的直观想象能力，即平面图形或空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：会识图，会画图，会析图，会用图.

下面以2020年全国Ⅰ卷文科数学第20题为例探究其解法，基于直观想象分析这种类型问题的实质，打开这类问题的思维层次，并举例分析、变式练习、总结归纳，让考生熟练掌握这类题型的解法.

看山是山，真题回放

例 （2020年全国Ⅰ卷文科数学第20题）已知函数f（x）=ex-a（x+2）. （1）略;（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.

题目分析：第（1）问略. 对于第（2）问，首先思考：条件“f（x）有两个零点”等价于f（x）的图像是怎样穿过x轴两次的？是否类似于抛物线先减后增，顶点在x轴下方，或者反之？然后将题目中的函数解析式转化为图像进行分析，需要研究其单调性和极值点等函数性质.

看山不是山，解法探究

解法1（直接法）：由已知得f′（x）=ex-a.

若a≤0，则f′（x）=ex-a≥0恒成立，f（x）在R上单调递增，最多和x轴有一个交点，不符合题意.

若a>0时，令f′（x）=ex-a=0，得x=lna.

题后反思：先直接分析f（x）的单调性，求导后转化为不等式问题，即判断何时f′（x）>0和f′（x）<0，需要对参数进行分类讨论，很多学生对此手足无措. 此时画出f′（x）的图像是完整突破的关键. 为了画出导函数的图像，分类讨论可分为三步：方程有没有根，根在不在定义域，哪些区域要或不要. 从高考试卷反馈来看，此解法学生易漏证其必要性，即证明f（x）在区间（-∞，lna）和（lna，+∞）的图像穿过了x轴——若图像没有穿过x轴就没有两个交点，所以必须进行检验. 检验方法是零点存在性定理，难点在于如何在两个区间内各找一个正值点. 常用方法：先在极值点左右区间找常数点试一试，或者通过放缩法化曲为直再代入检验. 但凡遇到函数或导函数都应当联想其图像，可以从图像直观辨析需要的条件或性质.

令h′（x）>0，解得x>-1;令h′（x）<0，解得x<-2或-2<x<-1. 故函数h（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增. 且当x<-2时，h（x）<0，当x>-2时，h（x）>0. h（x）的图像如图2所示.

解法3（转化法）：若f（x）有两个零点，即a（x+2）=ex有两个解，即y=a（x+2）和y=ex有两个交点.

易知直线y=a（x+2）必过点A（-2，0），且斜率为a. 下面先看直线y=a（x+2）与曲线y=ex只有一个交点的情形：

如图3可知，当y=a（x+2）和y=ex有两个交点时，a>e-1. 所以，满足条件的a的取值范围是（e-1，+∞）.

题后反思：解法3将a（x+2）=ex转化为两个相对熟悉的函数的交点问题，数形结合法对学生来说更容易入手，且避过了前两个解法中的一些难点，又形象直观，一目了然. 但是学生能否熟练画出正确的图像，理解参数是如何影响函数图像的，是教师在平时教学中应该对基本的通性通法不断训练的结果.

看山还是山，思维提升

上述的三种解法殊途同归，关键要让学生学会利用导数和图像这些工具，掌握常规题型的通性通法，掌握分类讨论和等价转化思想，在解题教学中渗透数形结合，这才是高效备考的上策. 很多函数只要能画出其图像，就能清楚其性质，如果画不出来，是因为缺了什么条件？顺藤摸瓜画函数图像，其实是综合研究整个函数性质的过程，所以课堂教学要多渗透数形结合.

对含有参数的函数零点问题的解题思路，哪种方法能得到相对简单的函数就优先考虑哪种，比如用直接法先判断能否得到易于讨论的含参导函数，否则就参变分离，或转化为两个相对简单的函数的交点问题进行处理会更佳.

面对高考命题者越来越青睐函数零点问题，学生要想解决这类函数零点问题，需要具备扎实的基础知识和熟练的变形技巧，还需要具备直观想象能力，不断地变换角度，化繁为简，化难为易.