走进切线问题，典例探究思考

郑秀丽

[摘  要] 切线问题在高中数学中十分常见，切线的定义、求解方法、常见题型是探究的重点. 文章结合实例探究切线问题，开展策略总结，基于教学实践，提出几点建议.

[关键词] 曲线;切线;定义;导数;题型;数学思想

曲线的切线问题是近几年高考的热点问题，实际考查时常与导数相结合，从直线与曲线的位置关系的视角来构建. 问题涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等. 破题的关键是利用导数的几何意义推导切线的方程，下面深入探究.

引例探究

问题：（2021年全国高考乙卷文数第21题）已知函数f（x）=x3-x2+ax+1.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）求曲线y=f（x）过坐标原点的切线与曲线y=f（x）的公共点的坐标.

解析：（1）求f（x）的单调性，对应的导函数为f′（x）=3x2-2x+a，导函数的判别式为Δ=4-12a.

（2）求曲线y=f（x）过坐标原点的切线与其公共点的坐标，显然解决本问的关键就是求切线的方程. 需要关注题设中的两个信息：①曲线y=f（x）的切线;②切线经過原点. 分两步进行：首先求切线的方程，然后与曲线的方程联立，转化为解方程问题.

综上可知，公共点的坐标为（1，a+1）和（-1，-1-a）.

策略总结

求切线的方程，主要有两大类题型：题型1，已知切点求切线的方程;题型2，求曲线过某点的切线的方程. 对于不同题型，可采用不同求解策略.

典例探究

曲线的切线题型比较多，题设变化多样，但解析的核心均为求曲线的切线方程. 常见的题型有：设定切线求参数取值、求导与分析切线斜率、利用切线构建几何图形等，下面结合实例具体探究，总结相应的方法和技巧.

题型1：设定切线求参数取值

例1 已知函数f（x）=-x3+2x2-x，若过点P（1，t）可作曲线y=f（x）的三条切线，则t的取值范围为________.

解析：由已知可得函数f（x）的导函数为f′（x）=-3x2+4x-1，过点P（1，t）作曲线y=f（x）的三条切线，分为两种情况：

①点P在曲线y=f（x）上，则点P为切点，可得点P（1，0），切线方程为y=f′（1）·（x-1）=0，即切线为x轴，切线只有一条，不符合题意.

评析：上述探究曲线过点P时参数t的取值范围，解析过程有两大特点：一是深入讨论点P为切点和不为切点两种情形，思维严谨;二是充分利用导函数的几何意义，将切线个数问题转化为交点个数问题，把复杂问题简单化.

题型2：求导与分析切线斜率

评析：上述证明圆锥曲线背景下切线与直线平行，整个过程分三步构建：第一步，由已知确定直线的斜率，通过求导确定切线的斜率;第二步，联立直线方程与曲线方程，提取其中的参数关系;第三步，结合参数关系变形转化为斜率数式，证明斜率相等. 上述所形成的构建策略，是解决圆锥曲线背景下切线问题的常用方法.

题型3：利用切线构建几何图形

例3 （2020年北京高考卷第19题）已知函数f（x）=12-x2.

（1）求曲线y=f（x）的斜率等于-2的切线方程;

（2）设曲线y=f（x）在（t，f（t））处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S（t），求S（t）的最小值.

解析：本题是典型的与切线相关的综合题，两问分别涉及“切线方程”和“与切线相关的几何图形”，突破问题要准确利用导函数的几何意义，确定切线方程，构建面积模型，利用函数性质求最值.

所以t=2时S（t）取得极小值，也是最小值. 又知S（t）为偶函数，所以当t=±2时，S（t）有最小值32.

评析：上述分别探究切线方程以及依托切线求三角形的面积最值. 解析过程充分利用导函数的几何意义求切线方程;基于三角形的面积公式，充分利用导函数确定函数的单调性求解面积最值. 整个过程充分体现了导函数的两大应用点：一是求切线方程;二是研究函数的单调性.

解后反思

上述深入探究了切线的求解方法以及常见的问题类型，下面基于教学实践进行反思，提出几点建议.

1. 理解切线定义，开展知识总结

切线是一种特殊的直线，实则是曲线上某点处的方向线，这是切线的几何意义，而代数意义则是函数在该点处的导数. 切线的双重定义是教学重点，教学中要指导学生从几何、代数两大视角探究切线的定义，采用数形结合的方式引导学生思考，深刻理解切线的意义. 在此基础上总结求切线方程的方法和技巧，形成相应的求解策略.

2. 关注切线问题，促进知识融合

切线问题是高中数学探究的重点，问题类型多样，教学中要采取归纳整理、融合探究的方式，引导学生分两步强化提升解题能力：第一步，总结切线的求解方法，掌握一般切线问题的求解策略，如求曲线的切线方程、分析切线的斜率取值、求参数范围等;第二步，关注圆锥曲线背景下的切线问题，从知识综合、位置关系两大视角开展知识探究，总结破题思路.

3. 开展实践探究，提高思维能力

教学探究中要注重提升学生的实践能力，即结合实际问题引导学生思考，总结方法和技巧，帮助学生积累解题经验. 尤其是综合性极强的切线问题，让学生体验探究过程，合理设问，引导学生思考确定切线的方法以及切线问题的转化技巧. 如引导学生将切线的条数问题转化为交点的个数问题，将切线平行问题转化为直线斜率问题，等等. 教学中要合理渗透数形结合、化归转化、函数与方程等思想方法，提高学生的数学思维能力.