研究型教学指导下的椭圆几何性质教学

[摘  要] 课堂教学如何以生为本，让学生的学习变成研究，是许多教师面临的难题. 对此，高中数学研究型教学提供了很好的理论与操作指导. 借鉴“五环十步”研究型教学模式和ADE模型对“椭圆的简单几何性质”进行教学设计，并进行教学实践，将教学变成指导学生的研究，让学生思维能力和核心素养的发展落到实处.

[关键词] 研究型教学;ADE模型;“五环十步”教学模式;椭圆的几何性质

教学是艺术，因此需要“因地制宜”、灵活变通;教学是科学、是技术，因此教学设计需要依据一定的原理与方法展开. 依据李昌官老师的理论精华“高中数学研究型教学”，通过自学、研讨、师傅指导、教学实践等活动，笔者深刻体会到理论的高度与对教学的指导意义，对学生来说也能亲身经历与体会知识发现与建构的过程. 笔者使用“五环十步”研究型教学模式对原来的“椭圆的简单几何性质”教学进行了再设计，受新理论的启发，特意从椭圆的方程入手，从数的角度引导学生运用类比函数的代数方法进行探究，开启椭圆几何性质的建构之旅.

分析准备阶段

1. 知识分析

（1）知识的背景与“固着点”.

学生学习了椭圆的定义后，通过建立恰当的坐标系得到了椭圆的标准方程. 按照逻辑发展的必然性，解析几何有其自身的学科性质，主要是借助于椭圆的标准方程来定量刻画和研究椭圆的几何性质. 利用函数思想方法、直线和圆的位置关系等，为研究椭圆的简单几何性质提供了知识与经验上的“固着点”.

（2）知识生长的过程与阶段分析.

本节知识生长的基本过程是在大致明晰研究问题、研究方法的基础上，探究椭圆的简单几何性质，最后运用这些性质解决相关问题.

（3）知识建构的策略与方法分析.

对椭圆简单几何性质的探究是第一次系统地从方程出发探究曲线自身的性质，主要的建构策略和方法有三个：一是类比，类比利用函数解析式探究函数性质的方法;二是突出“以数解形”的坐标法思想，从方程出发探究曲线的性质，让学生切实体验借助于代数方法解决几何问题的过程;三是从特殊到一般，对一般性的探究，可以先特殊化、简单化，进而猜想或推广到一般情形，并给予证明.

（4）知识之间的联系与结构分析.

无论是直线与方程、圆与方程，还是圆锥曲线与方程，坐标法思想一以贯之. 建立直线、圆的方程时并未强调如何“建系”，而学习圆锥曲线时要求建立恰当的坐标系，主要是为了让圆锥曲线的方程简单化，进而让后续相应的研究简单化. 椭圆、双曲线、抛物线三部分，在“提出问题”“探究概念”“建立方程”“利用方程研究曲线的性质”等方面的基本做法都是相似的. 本节课中，通过特殊化可以联系圆的有关性质，通过类比可以联系函数的图像与性质，通过推广可以联系一般方程的研究方法.

（5）知识的要点与本质分析.

解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，本节课需要突显椭圆标准方程的结构特征、代数特征，椭圆标准方程的本质特征包含有界性、对称性等，离心率的本质是刻画椭圆形状的代数量.

（6）知识的教学价值.

由曲线方程研究曲线的几何性质是解析几何教学的主要问题，因此笔者希望通过重新设计“椭圆的简单几何性质”教学，让学生能够较系统地学习如何用代数方法研究曲线的性质，对学生来说既要清楚需要研究什么方面的性质，又要明晰利用什么方法进行研究. 以数助形，对学生后面根据方程来研究曲线几何性质具有“标杆”作用.

从思维的角度来看，本节课宜“从特殊中见一般”，适时提炼出各种观点，如函数与方程、不等式、数与形等思想方法，需要努力培养学生观察与分析、抽象与概括、推理与证明、用数助形等数学素养，养成严谨的态度与思维，提升学生的数学素养.

2. 学生认知分析

（1）学生认知基础分析.

学生已经学习了直线与圆的方程，并借助于它们研究了直线与圆、圆与圆的位置关系，也学习了椭圆的定义与标准方程，知道坐标法以及以椭圆的中心为原点建立平面直角坐标系得到椭圆的标准方程. 学生初步具备利用代数方法研究直线与圆的问题的能力，同时也有利用函数解析式研究函数性质的经验.

（2）学生认知障碍分析.

通过方程来研究曲线的几何性质对学生来说可能不熟悉其基本方法，研究曲线时对研究什么也不甚了解，难以形成清晰的研究框架.

（3）克服障碍的措施分析.

教师应发挥自身的主导作用，类比利用函数解析式探究函数性质的方法，帮助学生明确曲线的几何性质一般包括哪些，直到学生能够基本提炼出曲线的形状、大小、对称性、位置等性质，而且能够利用曲线方程对上述性质进行研究. 让学生自主探究数学结论，一方面，能够满足学生好奇探索的心理需求和情感体验;另一方面，能使数学结论的出现变得自然，符合学生的认知规律，自然而然地完成知识的正迁移和内化过程.

教学目标与教学设计思路

本节课的教学目標是掌握椭圆的四个几何性质（范围、对称性、顶点、离心率），掌握标准方程中的几个基本量（a，b，c，e）的几何意义，还有他们之间的相互关系，系统学习用代数方法研究曲线的几何性质.

本节课教学设计的思路是问题引导，利用计算机、几何画板、希沃投屏等辅助教学，引导学生主动探究，让学生多次体验由“数”到“形”的探究过程，培养学生的探究精神，也为之后研究双曲线、抛物线的几何性质等奠定基础.

教学过程设计

1. 呈现背景，提出问题

教师引导：可以类比利用函数解析式研究函数性质（如定义域、值域、关键点、奇偶性、图像形状等）的方法，引导学生借助于曲线方程研究曲线的几何性质（范围、形状、大小、对称性和特殊点等）.

设计说明：让学生能整体把握研究方法、研究内容.

2. 联想激活，寻求方法

问题2：如何利用函数的解析式研究函数的性质？

学生可以从以下几方面进行类比：（1）类比函数的定义域和值域研究椭圆的范围，是研究椭圆标准方程中变量x，y的取值范围的一般方法;（2）类比函数图像的奇偶性、对称性研究椭圆的对称性，是研究椭圆标准方程对称性的一般方法;（3）类比函数图像上的特殊点、特殊线研究椭圆的顶点，是研究x=0或y=0时椭圆标准方程的解的一般方法;（4）类比函数图像的形状，引导学生探究椭圆的圆扁程度，并引出离心率.

问题3：如何通过直线与圆的方程研究直线与圆的几何性质？

设计说明：通过对直线方程与圆方程的探究可以知道直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，感受数形结合的魅力，但椭圆的图形相对更复杂，如何突破椭圆图形“难入微”的局限呢？教师可以引导学生通过对方程的逻辑推理得到结论.

3. 提出猜想，验证猜想

问题4：从椭圆的标准方程出发猜想变量的范围，并证明.

问题5：继续观察椭圆标准方程的特点，猜想椭圆曲线的对称性，并验证.

引导发现：把x换成-x，或把y换成 -y，或把（x，y）换成（-x，-y）时，方程的解都是不变的，说明椭圆曲线关于y轴、x轴或原点对称.

设计说明：引导学生发现曲线对称一般可以转化为曲线上任意一点对称，也引导学生发现上述三种对称中的任意两种可得第三种对称.

通过方程学生可以知道曲线的固有性质（对称轴、对称中心）.

问题6：如何利用方程求椭圆与对称轴的交点？

设计说明：在椭圆标准方程的推导过程中，令a2-c2=b2不仅能使方程简单整齐，也有特定的几何意义，引导学生发现特征三角形OB1F2，如图2所示.

问题7：用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？怎样的两个椭圆才是相似的？

（3）离心率的历史意义，学生课后可以查阅相关资料：太阳（以太阳中心为焦点）到（行星）轨道中心的距离和长半轴长的比可以用来表示轨道的形状.

可以借助于几何画板等软件体会离心率对形状的影响，要求学生理解.

4. 运用新知，巩固内化

问题9：研究方程16x2+25y2=400，给出该椭圆的几何性质，并作图.

设计说明：本题比较简单，为巩固新知，让学生上台板演或提出问题，分享交流，也可以合作学习，列表画草图;作图时可以利用椭圆的对称性，只画第一象限（或其他象限）的图像，让学生再次感受有限到无限的转化. 掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项（范围、顶点、光滑、对称性等），体现通过方程研究几何性质的成果，让学生体会到只有研究了几何性质才能更好地解决问题.

5. 回顾反思，拓展问题

问题10：椭圆几何性质的探究过程中蕴含着哪些数学思想方法？

问题11：如何通过方程研究对应曲线的几何性质？

设计说明：椭圆几何性质的探究过程中蕴含了函数与方程、不等式、数與形等基本数学思想方法，典型而丰富，对后面根据方程研究双曲线、抛物线乃至一般曲线的几何性质具有“标杆”作用;方程中含有丰富的信息，蕴含着内在规律，要学会研究，通过方程就可以知道相应曲线的几何性质，容易抓住解析几何的本质特征，同时引导学生回顾研究的过程，学会研究的“套路”.

作者简介：邬仁勇（1981—），本科学历，中学高级教师，李昌官名师工作室第三期学科带头人，曾获台州市优秀教师、台州市教坛新秀、台州市教学大比武一等奖等荣誉.