几何距离公式的推理与应用

勾艺茹 李述芬 邵利

[摘 要]几何中各个维度的相关内容具有相似性，各个维度所依托的基本框架，即数轴、平面直角坐标系以及空间直角坐标系中涉及的距离公式可以进行类推。文章通过分析数轴、平面直角坐标系的两点的距离公式，推导空间直角坐标系的两点的距离公式，并举例说明空间直角坐标系的两点的距离公式的相关应用。

[关键词]距离公式;几何;推理

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）08-0013-03

一、引言

几何中最基础的元素为“点”，“点”运动成“线”，“线”运动成“面”，“面”运动成“体”。按空间维度，几何可归纳为从“点”出发到一维的“线”，再从一维的“线”到二维的“面”，接着从二维的“面”到三维的“体”三类。以上变化可谓是环环相扣。数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系则是按照空间维度的顺序展开的。本文从低维进阶到高维空间的视角介绍几何距离相关公式的推导与应用。

二、几何距离公式

几何中点、线、面三者之间的距离公式按排列组合方式进行分类，有点与点、点与线、点与面、线与线、线与面、面与面六种类型（注：线、面等相关距离问题，需要平行关系才有意义）。其中最基础的类型为点与点、点与线、点与面。

（一）两点的距离公式

数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系中的两点的距离公式见表1。

（二）“一生二”——由两点的距离公式到点到直线的距离公式

（1）定义：过点作目标直线的垂线，这点到垂足的距离。

设直线[l]的方程为[Ax+By+C=0]，点[P]的坐标为[（x0， y0）]，则点[P]到直线[l]的距离[d=Ax0+By0+CA2+B2]。

（2）公式推导：

如图1所示，过点[P]作直线[l]的垂线，垂足为[M]。[kPM·kl=-1，Ax2+By2+C=0，]?[y1-y2x1-x2·-AB=-1，Ax2+By2+C=0，]?[A（y2-y1）-B（x2-x1）=0，                ①Ax2+By2+C=0，                                  ②]

将②两边同时减去[Ax1+By1+C]，得

[A（x2-x1）+B（y2-y1）=-（Ax1+By1+C）]，     ③

将①③式两边分别平方，得

[A2（y2-y1）2+B2（x2-x1）2-2AB（x2-x1）（y2-y1）=0]，   ④

[B2（y2-y1）2+A2（x2-x1）2+2AB（x2-x1）（y2-y1）=（Ax1+By1+C）2]，   ⑤

联立④⑤得[（x2-x1）2+（y2-y1）2=（Ax1+By1+C）2A2+B2]，[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2=Ax1+By1+CA2+B2]。

（三）“二生三”——由点到直线的距离公式到点到面的距离公式

高中教材在平面解析幾何中涉及点到直线的距离公式，此公式为点到直线的距离求解提供了便利。然而对于立体几何中点到平面的距离公式，教材未给出相应的内容。

二维空间和三维空间对应的两点的距离公式在形式上是相同的（[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2]与[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2]）。于是可尝试由点到直线的距离公式猜测点到面的距离公式。点到平面的距离界定为平面外一点到平面内一点的最小长度，可采取先猜后证的方式，得到点到平面的距离公式。

（1）公式猜想

【点到线的距离】设直线[l]的方程为[Ax+By+C=0]，点[P]的坐标为[（x0， y0）]，则点[P]到直线[l]的距离[d=Ax0+By0+CA2+B2]。

【点到面的距离】设平面[α]的方程式为[Ax+By+Cz+D=0]，点[P]的坐标为[（x0， y0， z0）]，则点[P]到平面[α]的距离[d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]。

（2）公式推导

前提：在点到面的距离公式推导过程中，均要用到平面法向量，因此先对平面法向量进行说明。

设[（x1， y1， z1）]和[（x2， y2， z2）]为平面内任意两个点，由点在面上得：

[Ax1+By1+Cz1+D=0，        ⑥Ax2+By2+Cz2+D=0，        ⑦]

由⑥-⑦得

[A（x1-x2）+B（y1-y2）+C（z1-z2）=0]，

即 [（A， B， C）?（x1-x2， y1-y2， z1-z2）=0]。

由此得出[n=]（A，B，C）为平面法向量。

方法一：如图2所示，平面法向量为[n=（A， B， C）]，任取平面内一点[M（x1， y1， z1）]，设向量[PM]为[m]，[m]与[n]的夹角为[θ]。

[d=m·cosθ，                          ⑧cosθ=m·nm·n，                      ⑨Ax1+By1+Cz1+D=0，      ⑩]DFFB83B0-4407-4905-8284-77D8DBF246FD

联立⑧⑨⑩得

[d=m·nn=A（x0-x1）+B（y0-y1）+C（z0-z1）A2+B2+C2=（Ax0+By0+Cz0）-（Ax1+By1+Cz1）A2+B2+C2=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]

方法二：如图3所示，平面法向量为[n=（A， B， C）]，[P（x0， y0， z0）]为平面外一点，过点[P]向平面[β]作垂线，交平面[β]于点[M（x， y， z）]，点[P]到平面[β]的距离为[PM]，

[∵PM∥n]

[∴PM·n=PM·n]

即

[PM=PM·nn=A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）A2+B2+C2）]

又[M]在平面[β]上，有[Ax+By+Cz+D=0]，

[PM=Ax-Ax0+By-By0+Cz-Cz0A2+B2+C2]

[=（Ax+By+Cz）-（Ax0+By0+Cz0）A2+B2+C2=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2。]

（3）学以致用

下面利用点到面的距离公式，解决立体几何距离问题以及一类不等式问题。

[例1]（點面距离）如图4，直四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]的底面是菱形，[AA1=4]，[AB=2]，[∠BAD=60°]，[E， M， N]分别是[BC， BB1]，[A1D]的中点。求点[C]到平面[C1DE]的距离。

分析：求点到平面的距离，需要知道点的坐标以及平面方程。首先建立直角坐标系，其次通过[C1]，[D]，[E]三点确定平面[C1DE]的方程，最后将点与平面数据代入公式求解距离。

解答：如图4，四边形[ABCD]为菱形，则连接[AC]、[BD]交点为[O]，且[AC⊥BD]。以点[O]为原点建立空间直角坐标系[O-xyz]。

∵[AA1=4]，[AB=2]，[∠BAD=60°]，[E]是[BC]的中点。

∴[B（1， 0， 0）]，[D（-1， 0， 0）]，[C0，3， 0]，[C10，3， 4 ]，[E12，32， 0]。

设平面[C1DE]的方程式为：[ax+by+cz+d=0]，

则[b+d=0，3b+4c+d=0，12a+32b+d=0，]?平面[C1DE]的方程式为[-3x+y+12z+1=0]。

将[C（0， 3， 0）]和[-3x+y+12z+1=0]代入[d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]，得

[d=-3×3+132+12+122=41717]。

[例2]（面面距离）已知平面[α]：[2x+3y+z+5=0]，平面[β]：[2x+3y+z+18=0]。求两平面的距离。

分析：求解两平面之间的距离，可以转化为求解一平面上的一点到另一平面的距离，因此，在平面[α]找一点[P]，求点[P]到平面[β]的距离。

解答：设[P（x0， y0， z0）]为平面[α]上的一点，则满足[2x0+3y0+z0+5=0]，[P]到平面[β]的距离为

[d=2x0+3y0+z0+1822+32+12]，将[2x0+3y0+z0+5=0]代入上式，得

[d=-5+1822+32+12=131414]。

两平面的距离求解公式：

平面[α：Ax+By+Cz+D1=0]，平面[β：Ax+By+Cz+D2=0]，平面[α]与平面[β]的距离为

[d=D1-D2A2+B2+C2]。

[例3]设[x， y， z∈R]，且[x+y+z=1]。

（1）求[（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2]的最小值。

（2）[（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2≥13]，证明：[a≤-3]或[a≥-1]。

分析：将题干与问题进行转化。

已知平面[x+y+z-1=0]，第（1）问求平面外一点[（1， -1，-1）]到平面的距离的平方;

第（2）问要求证明点[（2， 1， a）]到平面的距离的平方为[13]时，[a]的范围为[a≤-3]或[a≥-1]。

解答：（1）设平面[α]为[x+y+z-1=0]，点[P（1，-1，-1）]为平面外一点，则点[P]到平面[α]的距离的平方为[d2=1-1-1-112+12+122=43]。

（2）设平面[α]为[x+y+z-1=0]，点[Q（2， 1， a）]为平面外一点，点[Q]到平面[α]距离的平方最小值为[13]，则[d2=2+1+a-112+12+122≥13?a+2≥1?a≤-3]或[a≥-1]。

三、小结

本文重点讨论了几何中的距离公式， 从一维到二维再到三维。首先从两点的距离公式（数轴、平面直角坐标系以及空间直角坐标系）： [d=x2-x1]，[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2]，[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2]，引出点到线的距离公式[d=（x2-x1）2+（y2-y1）2=Ax1+By1+CA2+B2]。接着，以先猜后证的方式，得出点到面的距离公式[d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2]。最后，灵活运用“点到面的距离公式”解决立体几何问题和不等式问题。

正如《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”，几何也秉承着一定的逻辑不断衍生变化。学生在学习几何时可采用先观察、再猜想、最后证明的方式抓住其中的逻辑规律，借助相似性展开联想，进行迁移，发展直观想象核心素养。

（责任编辑 黄桂坚）DFFB83B0-4407-4905-8284-77D8DBF246FD