周期结构带阻尼项椭圆边值问题的双尺度有限元误差分析*

李志青, 李远飞, 张文彬

(广州华商学院,广东 广州 511300)

近年来,在科学和工程的计算领域中,复合材料的出现对科学技术的发展产生了极大的推动作用.在新型复合材料的研发过程中,经常需要对一些复合材料进行等效性能评价分析,双尺度方法和均匀化方法因此得到了发展[1-11].以上研究主要对复合材料进行了多尺度分析、均匀化分析、渐近分析以及双尺度解和有限元解的误差估计.本文在以上文献的基础上进一步研究周期结构带阻尼项椭圆边值问题,就其有效算法和近似算法展开讨论，利用均匀化方法及高阶双尺度方法对周期结构带阻尼项椭圆边值问题进行了分析,给出了这类方程的双尺度渐近展开式并分析双尺度有限元解的误差估计,最后设计对应的有限元算法.

周期结构带阻尼项椭圆边值问题可以表示为

其中：

1)i、j、h、k=1,2,…,n.

2)∂Ωε=Γε满足Lipschitz边界条件,并且Γε=∂Ω∩εω,Ωε为与ε有关的小周期状区域,其中ω为以1为周期的无界区域,Ω为Rn中的有界闭区域.

(2)

(3)

1 θε(x)的双尺度渐近展开式及均匀化方程

假设问题(2)有如下的双尺度形式渐近展开式：

(4)

其中Hα1(ξ)、Hα1α2(ξ)、Hα1α2α3(ξ)、…在整个空间Rn上定义,它们在各个方向是关于ξ为周期的标量函数,且可以在单位胞体Q上定解.

联合(4)和(2),再由ε的任意性,通过计算并比较ε-1、ε0和ε1的两边系数及边界条件可知

(5)

而θ0(x)是问题(2)的均匀化解,满足

(6)

其中：

(7)

(8)

2 uε(x)的双尺度渐近展开式及均匀化方程

问题(3)的解uε(x)是与x、ξ和ε有关的函数,假设uε(x)有如下的形式渐近展开式：

(9)

其中，u0(x)是待定的充分光滑函数;M0(ξ)、Mα1(ξ)、Nα1(ξ)、Nα1α2(ξ)、…为在Q上待定义的周期向量函数与周期矩阵函数,它们在各个方向是关于ξ为周期的函数.

联合(9)、(3)和(4),再由ε的任意性,通过计算并比较ε-1、ε0和ε1的两边系数及边界条件可知

(10)

(11)

而u0(x)是问题(3)的均匀化解,满足

(12)

其中：

(13)

(14)

(15)

3 双尺度有限元解构造

在Q和Ω中,引入两个函数空间：

ν={ϑ|ϑ∈H1(Q),ϑ|∂Q=0},

当L≥1时,uε(x)和θε(x)的L-阶双尺度渐近解定义为

一般地取L=1或2,因此可构造(uε(x),θε(x))的L-阶双尺度近似解如下：

在实际数值计算中,用

(16)

的解近似代替均匀化解(u0(x),θ0(x))，其中：

(17)

4 有限元误差估计

成立.特别当L=1时,有

定理2和定理3的证明类似于定理1.根据上述理论推导，设计双尺度有限元算法的计算过程如下:

(1)确定材料或区域属性,特别是小周期内的各种材料的构成；

(6)得到相应的有限元误差估计式.

5 小结