一类非本原传递置换群的块*

李诺， 邓奇， 张华

(云南师范大学 数学学院，云南 昆明 650500)

1 引言

置换群理论是群论中最古老的分支，目前被广泛应用于组合理论、图论、编码理论和计算机理论中.Wielandt、Dixon和Neuman等人对置换群的研究得到了许多优秀成果.本原群在置换群论中处于核心地位，通常被认为是构建一般置换群的基石.在20世纪，Burnside给出了本原群结构的一个初步刻画[1]，而后O′Nan和Scott独立地对有限本原群的结构做了更为具体的描述和刻画，得到了关于有限本原群的结构的O′Nan-Scott定理[2-3].在此之后,Liebeck、Praeger和Cameron等人对本原群的刻画也取得了一些重要成果[4-9].相对于一般传递群，对本原群结构的研究是比较透彻的.通常对一般置换群的研究可归结为对传递置换群的研究，而对传递置换群的研究可以通过考虑其块系转化为对本原群的研究,因此对传递非本原群的块系的研究是很有价值的工作.

设F是一个域，考虑一般线性群GL3(F)在三维向量空间F3上的右乘作用，此作用是非传递的，且有两个轨道：{0}、F3{0}.群GL3(F)作用在F3{0}上传递，但非本原，故存在非平凡块，本文算出G的非平凡块，并确定G{Δ}在包含Δ块系上的轨道.本文主要结果如定理1.

定理1设F是一个域，Ω是三维向量空间中全体非零向量构成的集合，令G是域F上全体3×3阶可逆矩阵构成的群，即G=GL3(F).考虑G在Ω上的右乘作用ρ：ux:=ux(u∈Ω,x∈G),其中u是3维行向量.则

(1)此作用是传递且忠实的；

(2)集合Δ中包含Ω的所有前两个分量为0的向量，即Δ是一个块；

(3)G{Δ}在包含Δ的块系上恰好有两个轨道.

2 预备知识

涉及的一些置换群的基本概念和结果列举如下，详见[10].

定义1设Ω是一个非空集合，Ω中的元素称为点，Ω到自身的一个双射称为Ω上的一个置换，Ω上的全体置换构成的群称为Ω上的对称群，记为Sym(Ω).Ω上的对称群的任意子群称为Ω上的置换群.

定义2设G是一个群,Ω是一个非空集合，假设对∀α∈Ω,∀x∈G,按某种法则，存在Ω中唯一的点αx与之对应.定义G在Ω上的作用，如果

(1)α1=α,∀α∈Ω,其中1表示G中的单位元；

(2)(αx)y=αxy,∀α∈Ω,∀x，y∈G.

也称α被x作用后得到的结果为αx.

定义3设G是一个群，Ω是一个集合，G作用在Ω上，点α被G中的元素变动为其他的点αx,这些像构成的集合称为α在G下的轨道，记为αG:={αx|x∈G}.

群G作用在集合Ω上是传递的，如果αG=Ω,换句话说，即任意的点对α,β∈G,存在x∈Ω,使得αx=β.反之，则称G是非传递的.

定义4设G在Ω上的作用是传递的，Ω中的非空集合Δ称为块，如果对∀x∈G,有Δx=Δ或者Δx∩Δ=∅.Δ=Ω是块，对∀α∈Ω,单元集{α}也是块，这两种块称为平凡块；如果G还存在其他的块，称为非平凡块.记∑={Δx|x∈G},称∑为包含Δ的一个块系.∑是Ω的一个分类.

定义5设群G传递作用在集合Ω上，群G是本原群，如果群G作用在集合Ω上没有非平凡块.否则称G是传递非本原群.

定义6设群G传递作用在集合Ω上，Δ⊆Ω,Δ在G中的逐点稳定子定义为

G(Δ):={x∈G|δx=δ,∀δ∈Δ},

Δ在G中的集合稳定子定义为

G{Δ}:={x∈G|Δx=Δ}.

3 定理1的证明

证明(1)令ρ:ux:=ux(u∈Ω,x∈G),先证G在Ω上传递.即证对∀u=(u1,u2,u3)∈Ω,∀v=(v1,v2,v3)∈Ω,存在G中的元x,使得ux=v.

取

w=(1,0,0)∈Ω,

其中xi和yi均为三维行向量，x1=(u1,u2,u3),x2的取法与x1线性无关，x3的取法与x1和x2均线性无关；y1=(v1,v2,v3),y2的取法与y1线性无关，y3的取法与y1和y2均线性无关，x和y是三阶可逆矩阵.则有

因此w=ux-1=vy-1,故得到ux-1y=v,其中xy-1是三阶可逆矩阵，即xy-1∈G.即对∀u=(u1,u2,u3)∈Ω,∀v=(v1,v2,v3)∈Ω,存在G中的元t=xy-1,使得ut=v,故G在Ω上的作用是传递的.

接下来考虑作用的核ker(ρ).

取u=(1,0,0)∈Ω,v=(0,1,0)∈Ω,w=(0,0,1)∈Ω,若x=(xij)∈ker(ρ),则有

ux=u,vx=v,wx=w,

那么

因此

故ker(ρ)=1,此作用是忠实的.

(2)设Δ是Ω中所有前两个分量为0的向量构成的集合.对

其中

C=(c1,c2),D=(d),A和D均为可逆矩阵，B和C任意.

下面将x分为两种情况讨论

综上所述,对∀x∈G,Δx=Δ或者Δx∩Δ=∅,故Δ是非平凡块.

(3)G{Δ}={x∈G|Δx=Δ},∀u=(0,0,u3)∈Δ,∀v=(0,0,v3)∈Δ,

令d=u3-1v∈F*,则有

ux=(0,0,v3)=v.

即对∀u,v∈Δ,∃x∈G{Δ},使得ux=v,故G{Δ}在Δ上传递.

下证G{Δ}在ΩΔ上传递.∀u=(u1,u2,u3)∈ΩΔ,∀v=(v1,v2,v3)∈ΩΔ,其中(u1,u2)≠(0,0),(v1,v2)≠(0,0).由(1)可知，存在可逆矩阵A,D,使得(u1,u2)A=(v1,v2),u3d=v3.

即对∀u,v∈ΩΔ,∃x∈G{Δ},使得ux=v,故G{Δ}在ΩΔ上传递.

综上所述，G{Δ}在包含Δ的块系上有两个轨道.证毕.