B样条拟插值算子的逼近

郭红焱

(云南民族大学 预科教育学院，云南 昆明 650031)

0 引 言

二十世纪以来，函数逼近论得到了高速发展，它不仅能够研究多项式函数、线性算子等的最佳逼近，还渗透到泛函分析、调和分析、代数、小波分析，成为计算数学、应用数学、优化理论、计算机辅助设计等学科的理论基础和方法依据，特别是应用于计算机领域数据的模拟和分析.我们知道，插值和拟插值是经常用到的两种方法，然而在大规模的数据面前，一般是采用拟插值的方法，它可以直接构造出一个整体逼近的形式，因此构造具有良好性质的拟插值已很有必要[1-6].

在已知节点的情形下，拟插值的标准形式是

(1)局部逼近性，即(Snh)(x)在x点的值仅依赖于h(x)及其若干阶导数在x点的领域上的值；

(2)逼近阶的最佳性，即(Snh)(x)逼近光滑函数h(x)可达到最好可能的样条函数的逼近阶；

(3)对l次多项式的再生性，这里k

(Snp)(x)=P(x).

性质(3)是保证性质(2)的关键，我们的构造也就从抓住性质(3)和性质(1)入手.

1 C空间下B样条拟插值算子的逼近

1.1 B样条的定义及性质

下列性质1到性质3可在参考文献[3]中找到，性质4和性质5可在参考文献[4，6]中找到.

性质1 递推关系：当m≥2时，m阶B样条定义为：

性质2 正定与紧支性：

性质4 对∀τ∈R，

证明我们已经知道对∀m≥2均有

成立，又在性质4中，取τ=0，即可得

1.2 预备知识

我们先给出k泛函与光滑模的定义如下：

我们知道k泛函与光滑模具有等价等质,即

c1wr(f,t)∞≤Kr,∞(f,t)≤c2wr(f,t)∞，c1

其中Zj(h)是h(xj)，h(xj+1)，…，h(xj+m)的组合.

设(Snh)(x)是C[a,b]中的正线性算子系列，如果对于fi(x)=xi，i=0, 1, 2，则该算子在[a,b]上一致收敛于fi(x)，则对于每个函数f(x)∈C[a,b]，(Snf)(x)在[a,b]上一致收敛于f(x).为了得到较高的逼近阶，我们对 B样条拟插值算子进行加权逼近[9-10]，其中Jacobi权为：

满足‖Snh-h‖∞≤c3tr-1‖g(r-1)‖∞.

证明由h(x)满足的性质，先取在x0=0处，由麦克劳林公式可得：

又记

因为对∀x∈R都成立，故在其它点处由Taylor公式同样可得.

此时不妨设|x|

而又因为(Snh)(x)具有局部多项式的再生，所以有：

(Snpx0)(x)=Px0(x).

又因为‖wkSn(h)‖∞≤M‖wkh‖∞，‖wk(Sn(h)-h)‖∞≤Mn-1‖wkh″‖∞(其中M表示与h,n,x无关的正常数)，从而得到：

‖wk(Snh-h)‖∞

=‖wk(Snh-Px0(x)+Px0(x)-h)‖∞

=‖wk(Snh-Px0(x)+Snpx0(x)-h)‖∞

≤‖wk(Snh-Px0(x))‖∞+‖wk(Shpx0(x)-h)‖∞

=(1+‖Sn‖)|h(x)-Px0(x)|≤c3hr-1‖f(r-1)‖≤MKwk(h,n-1).

在这里需要证上面的‖Sn‖有界.

证明因为

‖(Snh)(x)‖≤c‖h‖∞，则‖Sn‖≤c.又其中Zj(h)是h(xj)，h(xj+1),…,h(xj+m)的组合，即

∑Zj(h)=c1h(xj)+c2h(xj+1)+…+cm+1h(xj+m) ≤|c1h(xj)|+|c2h(xj+1)|+…+|cm+1h(xj+m)|≤(k+1)cm‖h(xj+m-1)‖≤(k+1)cm‖h‖∞.

这里取(k+1)cm=c.

2 Lp空间下B样条拟插值算子的逼近

研究本节需用到如下知识.

(1)对每个f∈Lp[a,b]，(1≤p≤∞，本文假设L∞=c)

(2)(Minkowski不等式)设p≥1,f∈Lp[a,b],g∈Lq[a,b] ,那么f+g∈Lp[a,b]，并且下列不等式成立

‖f+g‖p≤‖f‖p+‖g‖p.

‖f-Sh(f)‖p[xi,xi+1]≤c4[‖f-g‖p[xi,xi+1]+hm‖g(m)‖p[xi,xi+1]]，∀g∈cm[xi,xi+1]

证明由定理1可以得到：

|f(x)-Sh(f)(x)|≤c5hr-1w(f(r-1),h)Ii，

‖f-Sh(f)‖p[xi,xi+1]=‖f-g+g-Sh(f)‖p[xi,xi+1]≤‖f-g‖p[xi,xi+1]+‖g-Sh(f)‖p[xi,xi+1].

又因为

‖g-Sh(f)‖p[xi,xi+1]

=‖g-Px0(x)+Px0(x)-Sn(f)‖p[xi,xi+1]

=‖g-Px0(x)+Snpx0(x)-Sn(f)‖p[xi,xi+1]

≤‖g-Px0(x)‖+‖Snpx0(x)-Sn(f)‖p[xi,xi+1]

≤(1+‖Sn‖)|g(x)-Px0(x)|p[xi,xi+1]

≤c6hm‖g(m)‖p[xi,xi+1]，

故

‖f-Sh(f)‖p[xi,xi+1]

≤‖f-g‖p[xi,xi+1]+‖g-Sh(f)‖p[xi,xi+1]

≤‖f-g‖p[xi,xi+1]+c6hm‖g(m)‖p[xi,xi+1]

≤c4[‖f-g‖p[xi,xi+1]+hm‖g(m)‖p[xi,xi+1]] ，∀g∈cm[xi,xi+1] .

定理证毕.