初三压轴题深度探究、解答策略分析

邓勇刚

【摘要】通过引例深入分析初三中考或者中考模拟压轴题，启示一线教师对压轴题教学进行深度探究，积极引导学生寻求思考解答压轴题的方法策略，充分落实数学核心素养的基本要求。

【关键词】压轴题;核心素养;深度探究;方法策略

初中数学整体不难，但是难在中考压轴（模拟）题，基础知识基本都懂，就是无法灵活运用，解题通法一点就明，可是解题“灵感”就是不尽人意，怎么也想不到！探寻其原因主要在于知识的广泛联系不够紧密，思想方法不够灵活和深入，学生无法将已有的知识迁移到新的情境中去解决新问题，提高认知，积累有意义的学习经验的深度学习，进而没有深度探究压轴题的方法策略。

一、深度探究作保障，深度分析压轴题

笔者的学校初三年级曾经进行一次年级考试，我负责阅卷批改以下题目，倒数第二题，属于压轴题。几乎百分之八十的同学基本能完成此题的前两问，第三问只有百分之十的同学答对，究其原因何在？

引例一：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF。

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长;（结果保留π）

（2）求证：OD=OE;

（3）求证：PF是⊙O的切线。

分析：学生在平常学习中，对于切线的证明几乎是遵循两种思路，一是連半径证垂直，一种是作垂直证半径。本题也不另外。很多学生却无从下手，或者中途遇到解题瓶颈，不会深度探究，断然错用条件，究其原因何在？

先从学生的解答看：

错解一：OD⊥AB， BF⊥AB，PD∥BF，直接得到DP⊥PF，错误原因是错用平行线的性质，基础知识不牢固，学生知识的迁移能力也较弱。

错解二：OD⊥AB， BF⊥AB，DB=PF，DF=DF，进而△PDF≌△BFD，得到DP=BF，再证明四边形PDBF是平行四边形，得出DP⊥PF;或者直接得到DP⊥PF，错误原因：有一定的方向，但是无法将需要的条件充分挖掘出来，直觉思维的误用，逻辑思维能力混乱。

错解三：连接PC，很多同学想实现△PEC≌△PFC得到∠PFC=90°，但是出现了PE=PF ，CE=CF ，PC=PC。估计都是想当然的“凑答案”，学生数学阅读能力较差，无法提炼本题所需要的条件，更没有深度分析题设中的条件，对于前一问的条件没有充分体现。

综上，从学生的角度看，主要是基础知识不牢固，基本技能不熟练，知识的迁移能力和数学逻辑思维能力不能有机整合，他们的审题阅读能力也需要进一步提高，本题中数学核心素养包括数逻辑推理，直观想象等方面的落实主要是体现在平时的学习细节中，不是让学生在题海中去毫无头绪地“挣扎”，而是在压轴题训练中精准分析，精准演绎，精准作答中展现出来。

一线教师应当站在深度探究的角度去引导学生对压轴题进行有意义的分析，对于题设中的条件进行执果索因式的探究，在日常的教学中采取“故意设置”法，故意把条件隐藏或者设置条件的难度，或者也可以有由索果实式的有梯度地去探究，可以将条件分成有梯度地去增加，进行循序渐进的“螺旋式地”训练，或者引导学生自我探究，抓住问题的本质，逐渐熟练解决压轴题的策略，积极培育学生的深度探究意识，使之真正内化于学生心，外化于学生行！

二、深度探究来引领，深度思考压轴题

引例二：如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的☉O经过点C，连接AC，OD交于点E.

（1）证明：OD∥BC;

（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与☉O相切;

（3）在（2）条件下，连接BD交于☉O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长.

本压轴题的第（1）（2）问属于简单基础题型，主要是难在第（3）问，难在如何找到具体的解题方法思路。

分析：（1）略（2）略

第（3）问：从学生思考的角度看，根据解题经验和相关图形的直观感知，本问题基本有两个角度去思考，一是直接求EF，利用勾股定理的方法来确定EF所在三角形是直角三角形，学生尝试发现后无法找到直角三角形，用正余弦定理已经超出初中范围！二是常规通性通法，通过深度探究，确定利用相似的方法来求EF，经过尝试，直接利用相似也不行，经过探究需要先确定相似的条件来整体建构，先实现△AFD∽△BAD，得到 DF·BD=AD2，接着实现△AED∽△OAD得到OD·DE=AD2，整个问题的难点是如何利用DF·BD=AD2=OD·DE，这个难点的突破在于深度思考：△EDF∽△BDO成立的条件，利用两组对角相等（比较简单），但是行不通，只能考虑两组对边成比例及夹角相等来实现相似，寻求突破口，此时要引导学生深度探究相似成立的条件，怎么做？为什么这样做？还有什么因素要考虑等等，经过一系列的深度思考，进而探究出解答思路！

由此可知，积极引导学生的深度探究是关键，作为一线教师应当引导学生自主思考、深度思考压轴题的所有条件，充分利用题设中的显性和隐含条件，探究多种思路方向，深度思考，应当尽快精准选择最佳的压轴题解题思路（中考考试时间的限制），达到事半功倍的效果，比如本例中找准相似的方向来求，但是如何找到相似的三角形以及相似三角形的分类讨论都是难点，这里的相似三角形不是特别直观呈现，需要选择精准角度间接地作辅助线去找寻相似三角形，这必然需要学生进行深度思考，积极推理，使得每一步都有逻辑依据，进而顺利地完成解答的全过程！

综上所述，对于初三压轴题的解答，以深度探究为抓手，深度分析，深度思考，这必然需要培养这方面的意识，这个过程绝非一朝一夕能完成的，需要师生通力合作，进行长期有针对性的培养，强化参与，也绝非纯粹的“题海战术”能实现的，需要教师选好压轴题（灵活、典型、有代表性的题型），选好对象（学生基础不一，需因材施教），只有做好前期工作，才能培养学生逐步具备深度探究的意识，具备深度分析深度思考的能力。

参考文献：

[1]吴春.圆的基本性质[J].中学数学教学参考（中旬），2021（2）：38.