勾股定理在实际问题中的应用举例

李念祖 王鹏程

李念祖现任教于金昌市第三中学，高级教师。于2017年9月被甘肃省人民政府授予“甘肃省优秀班主任”、“园丁奖”，主持参与省级课多项，撰写论文多篇。

王鹏程现任教于甘肃省金昌市第三中学，中学高级教师，教育硕士学位。担任中学数学教学及班主任工作二十年，有丰富的理论知识和教学经验，曾在国内知名期刊上发表论文二十余篇。

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把数与形统一了起来，利用勾股定理可以解决实际生活中的许多问题，从数学应用的角度使学生了解到数学的发展主要依赖于生产实践.本文通过以下几种类型的实例说明勾股定理就在我们的身边，数学与实际生活是紧密相连，融于一体的.

类型1 构造直角三角形直接应用勾股定理

例1

如图1所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？

解 如图2所示，

因为两船行驶的方向是东北方向和东南方向，

所以∠BAC=90°，

在Rt△BAC中，

AB=16×3=48，

AC=12×3=36，

所以BC=AB2+AC2

=482+362

=60（海里）.

所以甲、乙两轮船相距60海里.

例2 八（2）班小明和小亮同学学习了勾股定理之后，为了测得风筝的高度CE，如图3，他们进行了如下操作：

①测得BD的长度为15米;（注：BD⊥CE）

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米;

③牵线放风筝的小明身高1.6米.

求风筝的高度CE.

解 在Rt△CDB中，

由勾股定理，得

CD=CB2-BD2=252-152=20，

所以CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），

故风筝的高度CE为21.6米.

注 利用勾股定理解决实际问题时，首先找出直角三角形，把实际问题中的数值转化为直角三角形的三边长，把实际问题转化为数学问题，从而用勾股定理解决数学问题.

类型2 构造直角三角形，连续应用勾股定理

例3如图4，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？

解 由题意有

∠AOB=90°，

在Rt△AOB中，

OB=AB2-BO2

=2.52-22

=1.5，

因为AC=0.5，

所以OC=OA-AC=2-0.5=1.5，

在Rt△ODC中，

OD=CD2-OC2

=2.52-1.52

=2，

所以BD=OD-OB=2-1.5=0.5（m），

所以梯子底端也外移0.5m.

例4 如图5所示，有一根长70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm，30cm，40cm的长方体木箱中，能放进去吗？为什么？

图5图6

解 能放进去，理由如下：

如图6所示，连接A1C1，AC1，

在Rt△A1B1C1中，

A1C21=A1B21+B1C21

=502+302

=3400，

在Rt△AA1C1中，

AC21=AA21+A1C21

=402+3400

=5000，

因为5000>702，

所以A1C1>70，

所以70cm长的木棒能放进木箱中.

注 解决此类问题时，连续运用了勾股定理，通常通过第一次在其中一个三角形中应用勾股定理，求出另一个直角三角形边长，为下一次应用勾股定理创造了的条件.

类型3 构造直角三角形，应用勾股定理列方程

例5 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度.

图7

解 如图7，设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+1）米，

在Rt△ABC中，

BC=5，

因为AB2+BC2=AC2，

所以x2+52=（x+1）2，

解得x=12，

所以AB=12.

所以旗杆的高是12米.

例6 这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千年的《九章算术》中记录的一道古代趣题：

原题：“今有池，方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”

图8

这个问题的意思是：如图8所示，有一个水池，水面是一个边长为1丈（10尺）的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

图9

解 如图9所示，由题意可知

AC=1，

AB=5，

OB=OC.

设OA=x，则

OB=OA+AC=x+1.

在Rt△OAB中，

OA2+AB2=OB2，

所以x2+52=（x+1）2.

解得x=12.

所以x+1=12+1=13，

所以水深12尺，芦苇长13尺.

注 利用勾股定理求线段的长时，往往利用勾股定理中的等量关系列出方程来解决实际问题.另外，当问题中没有给出直角三角形时，常常通过作辅助线构造直角三角形，将问题转化为直角三角形的问题.

类型4 把立体图形侧面展开成平面图形后应用勾股定理

例7 图10

一个圆柱形油罐，如图10所示，要从A点环绕油罐建梯子到B点，B点在A点的正上方，已知油罐的周长为12m，AB长为5m，问：所建梯子最短需多少米？

解 把圆柱形油罐的侧面沿AB展开成平面图形，连接AB，如图11所示是展开图的一部分，图11

因为AC=12，

BC=5，

所以AB=AC2+BC2

=122+52

=13（m），

所以梯子最短需要13m.

图12

例8 如图12所示，长方体的底面边长为4cm，宽为2cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长是cm.

解 如图13所示，把长方体的侧面沿PQ展开成平面图形，

因為长方体的底面边长分别为2和4，高为5. 图13

所以PA=4+2+4+2

=12，

QA=5，

所以PQ=PA2+QA2

=122+52

=13（cm）.

所以蚂蚁爬行的最短路径长为13cm.

注 解决此类为题的关键是把立体图形展开成平面图形，根据两点之间线段最短确定最短路线，从而利用勾股定理解决问题.