与二次函数系数相关的代数式符号问题

2022-05-30 00:22王欢
初中生学习指导·中考版 2022年10期
关键词:对称轴一元二次方程交点

王欢

二次函数是描述现实世界變量之间关系的重要数学模型,在各地中考中均是考查重点,除以最后一题的解答题形式出现外,还经常以多结论类选择题出现,考查与二次函数系数相关的代数式符号问题.下面举例介绍此类题的解题思路.

一、知识梳理

二次函数一般式为y = ax2 + bx + c(a ≠ 0),一般情况下有三个系数,每个系数对图象影响不同.其中:a决定开口方向,a > 0时抛物线开口向上,a < 0时抛物线开口向下;a与b共同作用,决定对称轴的位置,a与b符号相同时对称轴在y轴左侧,a与b符号相反时对称轴在y轴右侧;c决定抛物线与y轴交点的纵坐标;b2  -  4ac决定抛物线与x轴的交点个数.

二、原题重现

例 (2021·黑龙江·齐齐哈尔)如图1,二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1,0),对称轴为直线x =  - 1,结合图象给出下列结论:

①a + b + c = 0;②a - 2b + c < 0;③关于x的一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根分别为 - 3和1;④若点( - 4,y1),( - 2,y2),(3,y3)均在二次函数图象上,则y1 < y2 < y3;⑤a - b < m(am + b)(m为任意实数).其中正确的结论有().

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

分析:(1)将(1,0)代入二次函数y = ax2 + bx + c,可对①进行判断;

(2)根据开口方向和抛物线与y轴的交点位置可得a > 0,c < 0,根据抛物线的对称轴为x = -1得到[-b2a] =  - 1,则可对②进行判断;

(3)利用二次函数的对称性,可对③进行判断;

(4)根据抛物线开口向上,离对称轴越远,函数值越大,可对④进行判断;

(5)根据x =  - 1时y有最小值,可对⑤进行判断.

解:∵二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)图象与x轴的一个交点坐标为(1,0),∴a + b + c = 0,故①正确;

∵抛物线的对称轴为直线x =  - [b2a] =  - 1,∴b = 2a,

∵抛物线开口向上,与y轴交于负半轴,∴a > 0,c < 0,

∴a - 2b + c = c - 3a < 0,故②正确;

由抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一交点坐标为(- 3,0),

∴关于x的一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a≠0)的两根分别为 - 3和1,

故③正确;

∵抛物线的对称轴为直线x =  - 1,且抛物线开口向上,

∴离对称轴越近,y值越小,

∵点(- 4,y1),(- 2,y2),(3,y3)均在二次函数图象上,且[-4 - (-1)] = 3,[-2 - (-1)] = 1,[3 - (-1)] = 4,

∴y2 < y1 < y3,故④错误;

∵x =  - 1时,y有最小值,∴a - b + c ≤ am2 + bm + c(m为任意实数),

∴a - b ≤ m(am + b),故⑤错误.

所以正确的结论有①②③,共3个.

故选C.

三、思路总结

1.同时出现a,b,c,考虑将特殊点代入函数表达式求值.

2.只有a,b 或者只有a,c,可考虑借助对称轴将其拆分成含有a,b,c的形式.

3.函数值比较大小可借助距离对称轴的远近进行比较:若开口向下,距离对称轴越远则函数值越小;若开口向上,距离对称轴越远则函数值越大.

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